Producto de corona - Wreath product

Estructura algebraica → Teoría de
grupos Teoría de grupos
Cyclic group.svg
Nociones basicas
Homomorfismos de grupo
Grupos finitos
Clasificación de grupos simples finitos
Grupos modulares
  • PSL (2, Z )
  • SL (2, Z )
Grupos topológicos y de mentira
Grupos algebraicos

En la teoría de grupos , el producto de corona es una combinación especial de dos grupos basada en el producto semidirecto . Está formado por la acción de un grupo sobre muchas copias de otro grupo, algo análogo a la exponenciación . Los productos de coronas se utilizan en la clasificación de grupos de permutación y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.

Dados dos grupos A y H (a veces conocida como la parte inferior y superior ), existen dos variaciones del producto guirnalda: el producto guirnalda sin restricciones A  Wr  H y el producto guirnalda restringido A  wr  H . La forma general, denotada por A  Wr Ω   H o A  wr Ω   H respectivamente, usa un conjunto Ω con una acción H ; cuando no se especifica, generalmente Ω = H (un producto de corona regular ), aunque a veces se implica un Ω diferente . Las dos variaciones coinciden cuando A , H y Ω son todos finitos. Cualquiera de las variaciones también se indica como (con \ wr para el símbolo de látex) o A  ≀  H ( Unicode U + 2240).

La noción se generaliza a semigrupos y es una construcción central en la teoría de la estructura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definición

Sean A y H grupos y Ω un conjunto con H actuando sobre él (desde la izquierda). Sea K el producto directo

de copias de A ω  : = A indexado por el conjunto Ω. Los elementos de K pueden verse como secuencias arbitrarias ( a ω ) de elementos de A indexados por Ω con multiplicación por componentes. Entonces la acción de H sobre Ω se extiende de forma natural a una acción de H sobre el grupo K por

A continuación, el producto guirnalda sin restricciones A  Wr Ω   H de A por H es el producto semidirecto K  ⋊  H . El subgrupo K de A  Wr Ω   H se denomina base del producto de corona.

El producto de corona restringido A  wr Ω   H se construye de la misma manera que el producto de corona no restringido, excepto que se usa la suma directa

como base del producto de corona. En este caso los elementos de K son secuencias ( un omega ) de los elementos en A indexados por Ω de los cuales todos menos un número finito de un ω son el elemento de identidad de A .

En el caso más común, se toma Ω: =  H , donde H actúa de forma natural sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda. En este caso, el producto de corona restringido y no restringido puede ser indicado por A  Wr  H y A  wr  H respectivamente. A esto se le llama el producto de corona regular .

Notación y convenciones

La estructura del producto de corona de A por H depende del conjunto de H Ω y, en caso de que Ω sea infinito, también depende de si se usa el producto de corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura la notación utilizada puede ser deficiente y hay que prestar atención a las circunstancias.

  • En la literatura A ≀ Ω H puede representar el producto guirnalda sin restricciones A  Wr Ω   H o el producto guirnalda restringido A  wr Ω   H .
  • Del mismo modo, A ≀ H puede representar el producto guirnalda normal sin restricciones A  Wr  H o el restringido regular de producto guirnalda A  wr  H .
  • En la literatura el H -set Ω puede omitirse de la notación incluso si Ω ≠  H .
  • En el caso especial de que H  =  S n es el grupo simétrico de grado n , es común en la literatura suponer que Ω = {1, ..., n } (con la acción natural de S n ) y luego omitir Ω de la notación. Es decir, A ≀ S n normalmente denota A ≀ {1, ..., n } S n en lugar del producto de corona regular A ≀ S n S n . En el primer caso, el grupo base es el producto de n copias de A , en el segundo es el producto de n ! copias de  Una .

Propiedades

Acuerdo de producto de corona restringido y no restringido en Ω finito

Dado que el producto directo finito es igual que la suma directa finita de grupos, se deduce que el producto A  Wr Ω   H no restringido y el producto de corona restringido A  wr Ω   H concuerdan si el conjunto H Ω es finito. En particular, esto es cierto cuando Ω = H es finito.

Subgrupo

A  wr Ω   H es siempre un subgrupo de A  Wr Ω   H .

Cardinalidad

Si A , H y Ω son finitos, entonces

| A ≀ Ω H | = | A | | Ω | | H |.

Teorema de la incrustación universal

Artículo principal: teorema de incrustación universal

Universal incrustación teorema : Si G es una extensión de A por H , entonces existe un subgrupo del producto guirnalda sin restricciones A ≀ H que es isomorfo a G . Esto también se conoce como el teorema de incrustación de Krasner-Kaloujnine . El teorema de Krohn-Rhodes involucra lo que es básicamente el equivalente en semigrupo de este.

Acciones canónicas de productos de coronas

Si el grupo A actúa sobre un conjunto Λ, entonces hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de Ω y Λ sobre los cuales A  Wr Ω   H (y por lo tanto también A  wr Ω   H ) puede actuar.

  • La acción imprimitiva del producto de la corona en Λ × Ω.
    Si (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H y ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , entonces
  • La acción del producto de la corona primitiva en Λ Ω .
    Un elemento en Λ Ω es una secuencia ( λ ω ) indexada por el conjunto H Ω. Dado un elemento (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H su operación en ( λ ω ) ∈ Λ Ω está dada por

Ejemplos de

La base de este producto de corona es el producto directo n- veces
ℤ m n = ℤ m × ... × ℤ m
de copias de ℤ m donde la acción φ:  S n → Aut (ℤ m n ) del grupo simétrico S n de grado n está dada por
φ ( σ ) (α 1 , ..., α n ): = ( α σ (1) , ..., α σ ( n ) ).
La acción de S n en {1, ..., n } es la anterior. Dado que el grupo simétrico S 2 de grado 2 es isomorfo a ℤ 2, el grupo hiperoctaédrico es un caso especial de un grupo simétrico generalizado.
  • El producto de corona no trivial más pequeño es ℤ 2 ≀ℤ 2 , que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaédrico anterior. Es el grupo de simetría del cuadrado, también llamado Dih 4 , el grupo diedro de orden 8.
  • Sea p un primo y sea n ≥1. Deje que P sea un Sylow p -subgroup de la simétrica grupo S p n . Entonces P es isomorfo al producto de corona regular iterado W n = ℤ p ≀ ℤ p ≀ ... ≀ℤ p de n copias de ℤ p . Aquí W 1  : = ℤ p y W k  : = W k -1 ≀ℤ p para todos k  ≥ 2. Por ejemplo, la Sylow 2-subgrupo de S 4 es la anteriormente ℤ 2 ≀ℤ 2 grupo.
  • El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo del índice 12 en el producto de los productos de las guirnaldas, (ℤ 3 ≀ S 8 ) × (ℤ 2 ≀ S 12 ), los factores correspondientes a las simetrías de las 8 esquinas y 12 aristas.
  • El grupo de transformaciones que preservan la validez del Sudoku (VPT) contiene el producto de doble corona ( S 3 ≀ S 3 ) ≀ S 2 , donde los factores son la permutación de filas / columnas dentro de una banda o pila de 3 filas o 3 columnas ( S 3 ), la permutación de las propias bandas / pilas ( S 3 ) y la transposición, que intercambia las bandas y pilas ( S 2 ). Aquí, los conjuntos de índices Ω son el conjunto de bandas (respectivamente pilas) (| Ω | = 3) y el conjunto {bandas, pilas} (| Ω | = 2). En consecuencia, | S 3 ≀ S 3 | = | S 3 | 3 | S 3 | = (3!) 4 y | ( S 3 ≀ S 3 ) ≀ S 2 | = | S 3 ≀ S 3 | 2 | S 2 | = (¡3!) 8 × 2.
  • Los productos de coronas surgen naturalmente en el grupo de simetría de árboles enraizados completos y sus gráficos . Por ejemplo, el producto de corona repetido (iterado) S 2 ≀ S 2 ≀ ... ≀ S 2 es el grupo de automorfismos de un árbol binario completo .

Referencias

enlaces externos