Grupo Poincaré - Poincaré group

Henri Poincaré

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble acción Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
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El grupo de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré (1906), fue definido por primera vez por Hermann Minkowski (1908) como el grupo de isometrías espaciotemporales de Minkowski . Es un grupo de Lie no abeliano de diez dimensiones , que es de importancia como modelo en nuestra comprensión de los fundamentos más básicos de la física .

Descripción general

Una isometría del espacio-tiempo de Minkowski tiene la propiedad de que el intervalo entre eventos se deja invariante. Por ejemplo, si todo se pospusiera dos horas, incluidos los dos eventos y el camino que tomaste para ir de uno a otro, entonces el intervalo de tiempo entre los eventos registrados por un cronómetro que llevaste contigo sería el mismo. O si todo se desplazara cinco kilómetros hacia el oeste o se girara 60 grados a la derecha, tampoco vería ningún cambio en el intervalo. Resulta que la longitud adecuada de un objeto tampoco se ve afectada por tal cambio. Una inversión temporal o espacial (una reflexión) también es una isometría de este grupo.

En el espacio de Minkowski (es decir, ignorando los efectos de la gravedad ), hay diez grados de libertad de las isometrías , que pueden considerarse como traslación a través del tiempo o el espacio (cuatro grados, uno por dimensión); reflexión a través de un plano (tres grados, la libertad de orientación de este plano); o un " impulso " en cualquiera de las tres direcciones espaciales (tres grados). La composición de las transformaciones es la operación del grupo de Poincaré, produciéndose rotaciones propias como la composición de un número par de reflejos.

En física clásica , el grupo galileano es un grupo comparable de diez parámetros que actúa sobre el tiempo y el espacio absolutos . En lugar de refuerzos, presenta mapeos de corte para relacionar marcos de referencia en movimiento.

Simetría de Poincaré

La simetría de Poincaré es la simetría completa de la relatividad especial . Incluye:

• traducciones (desplazamientos) en tiempo y espacio ( P ), formando el grupo abeliano de traducciones Lie sobre espacio-tiempo;
• rotaciones en el espacio, formando el grupo de Lie no abeliano de rotaciones tridimensionales ( J );
• impulsos , transformaciones que conectan dos cuerpos en movimiento uniforme ( K ).

Las dos últimas simetrías, J y K , juntas forman el grupo de Lorentz (ver también invariancia de Lorentz ); el producto semidirecto del grupo de traducciones y el grupo Lorentz producen luego el grupo Poincaré. Se dice que los objetos que son invariantes en este grupo poseen invariancia de Poincaré o invariancia relativista .

10 generadores (en cuatro dimensiones espaciotemporales) asociados con la simetría de Poincaré, por el teorema de Noether , implican 10 leyes de conservación: 1 para la energía, 3 para el momento, 3 para el momento angular y 3 para la velocidad del centro de masa.

Grupo Poincaré

El grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski . Es un grupo de Lie no compacto de diez dimensiones . El grupo abeliano de traducciones es un subgrupo normal , mientras que el grupo de Lorentz también es un subgrupo, el estabilizador del origen. El propio grupo de Poincaré es el subgrupo mínimo del grupo afín que incluye todas las traducciones y transformaciones de Lorentz . Más precisamente, es un producto semidirecto de las traducciones y del grupo Lorentz,

${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes \ mathrm {O} (1,3) \ ,,}$

con multiplicación de grupos

${\ Displaystyle (\ alpha, f) \ cdot (\ beta, g) = (\ alpha + f \ cdot \ beta, \; f \ cdot g)}$.

Otra forma de decirlo es que el grupo de Poincaré es una extensión grupal del grupo de Lorentz mediante una representación vectorial del mismo; a veces se le llama, informalmente, el grupo de Lorentz no homogéneo . A su vez, también se puede obtener como una contracción grupal del grupo de Sitter SO (4,1) ~ Sp (2,2), ya que el radio de De Sitter llega al infinito.

Sus representaciones unitarias irreducibles de energía positiva están indexadas por masa (número no negativo) y espín ( entero o medio entero) y están asociadas con partículas en mecánica cuántica (ver clasificación de Wigner ).

De acuerdo con el programa de Erlangen , la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo Poincaré: el espacio de Minkowski se considera un espacio homogéneo para el grupo.

En la teoría cuántica de campos , la cobertura universal del grupo de Poincaré

${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes \ mathrm {SL} (2, \ mathbf {C}),}$

que puede identificarse con la doble tapa

${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes \ mathrm {Spin} (1,3),}$

es más importante, porque las representaciones de no pueden describir campos con spin 1/2, es decir, fermiones . Aquí está el grupo de matrices complejas con determinante unitario, isomorfo al grupo de espín de firma de Lorentz . ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (1,3)}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbf {C})}$${\ Displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Spin} (1,3)}$

Álgebra de Poincaré

Grupos de mentiras
Grupos clásicos
Grupos de Simple Lie Clásico Un n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira
Álgebra de mentira semimple
Teoría de la representación
Grupos de mentiras en física
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
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El álgebra de Poincaré es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré. Es una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Más específicamente, la parte apropiada ( ), ortocrónica ( ) del subgrupo de Lorentz (su componente de identidad ) , está conectada a la identidad y, por lo tanto, es proporcionada por la exponenciación de este álgebra de Lie . En forma de componentes, el álgebra de Poincaré viene dada por las relaciones de conmutación: ${\ textstyle \ det \ Lambda = 1}$${\ textstyle \ Lambda _ {\ \ 0} ^ {0} \ geq 1}$${\ textstyle SO (1,3) _ {+} ^ {\ uparrow}}$ ${\ textstyle \ exp (ia _ {\ mu} P ^ {\ mu}) \ exp \ left ({\ frac {i} {2}} \ omega _ {\ mu \ nu} M ^ {\ mu \ nu} \derecho)}$

donde es el generador de traslaciones, es el generador de transformaciones de Lorentz y es la métrica de Minkowski (ver Convención de signos ). ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle (+, -, -, -)}$

La relación de conmutación inferior es el ( "homogéneo") grupo de Lorentz, que consta de rotaciones, y aumenta, . En esta notación, todo el álgebra de Poincaré se puede expresar en lenguaje no covariante (pero más práctico) como ${\ textstyle J_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {imn} M ^ {mn}}$${\ textstyle K_ {i} = M_ {i0}}$

${\ Displaystyle [J_ {m}, P_ {n}] = i \ epsilon _ {mnk} P_ {k} ~,}$

${\ Displaystyle [J_ {i}, P_ {0}] = 0 ~,}$

${\ Displaystyle [K_ {i}, P_ {k}] = i \ eta _ {ik} P_ {0} ~,}$

${\ Displaystyle [K_ {i}, P_ {0}] = - iP_ {i} ~,}$

${\ Displaystyle [J_ {m}, J_ {n}] = i \ epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

${\ Displaystyle [J_ {m}, K_ {n}] = i \ epsilon _ {mnk} K_ {k} ~,}$

${\ Displaystyle [K_ {m}, K_ {n}] = - i \ epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

donde el conmutador de línea inferior de dos impulsos a menudo se denomina "rotación de Wigner". La simplificación permite la reducción de la subálgebra de Lorentz y el tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas . En cuanto a los parámetros físicos, tenemos ${\ textstyle [J_ {m} + iK_ {m}, \, J_ {n} -iK_ {n}] = 0}$${\ textstyle {\ mathfrak {su}} (2) \ oplus {\ mathfrak {su}} (2)}$

${\ Displaystyle \ left [{\ mathcal {H}}, p_ {i} \ right] = 0}$

${\ Displaystyle \ left [{\ mathcal {H}}, L_ {i} \ right] = 0}$

${\ Displaystyle \ left [{\ mathcal {H}}, K_ {i} \ right] = i \ hbar cp_ {i}}$

${\ Displaystyle \ left [p_ {i}, p_ {j} \ right] = 0}$

${\ Displaystyle \ left [p_ {i}, L_ {j} \ right] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} p_ {k}}$

${\ Displaystyle \ left [p_ {i}, K_ {j} \ right] = {\ frac {i \ hbar} {c}} {\ mathcal {H}} \ delta _ {ij}}$

${\ Displaystyle \ left [L_ {i}, L_ {j} \ right] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

${\ Displaystyle \ left [L_ {i}, K_ {j} \ right] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} K_ {k}}$

${\ Displaystyle \ left [K_ {i}, K_ {j} \ right] = - i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

Los invariantes de Casimir de este álgebra son y dónde está el pseudovector de Pauli-Lubanski ; sirven como etiquetas para las representaciones del grupo. ${\ estilo de texto P _ {\ mu} P ^ {\ mu}}$${\ textstyle W _ {\ mu} W ^ {\ mu}}$${\ textstyle W _ {\ mu}}$

El grupo de Poincaré es el grupo de simetría completo de cualquier teoría de campo relativista . Como resultado, todas las partículas elementales caen en representaciones de este grupo . Por lo general, se especifican por el cuadrado de cuatro momentos de cada partícula (es decir, su masa al cuadrado) y los números cuánticos intrínsecos , donde es el número cuántico de espín , es la paridad y es el número cuántico de carga-conjugación . En la práctica, la conjugación de cargas y la paridad son violadas por muchas teorías cuánticas de campos ; donde esto ocurre, y se pierden. Dado que la simetría CPT es invariante en la teoría cuántica de campos, se puede construir un número cuántico de inversión del tiempo a partir de los dados. ${\ textstyle J ^ {PC}}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle C}$

Como espacio topológico , el grupo tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente de tiempo invertido; el componente de inversión espacial; y el componente que está invertido tanto en el tiempo como en el espacio.

Otras dimensiones

Las definiciones anteriores se pueden generalizar a dimensiones arbitrarias de una manera sencilla. El grupo de Poincaré d- dimensional se define análogamente por el producto semidirecto

${\ Displaystyle \ mathrm {IO} (1, d-1): = \ mathbf {R} ^ {1, d-1} \ rtimes \ mathrm {O} (1, d-1)}$

con la multiplicación análoga

${\ Displaystyle (\ alpha, f) \ cdot (\ beta, g) = (\ alpha + f \ cdot \ beta, \; f \ cdot g)}$.

El álgebra de Lie conserva su forma, con índices µ y ν que ahora toman valores entre 0 y d - 1 . La representación alternativa en términos de J _i y K _i tiene ningún análogo en dimensiones más altas.

Álgebra superpoincaré

Una observación relacionada es que las representaciones del grupo de Lorentz incluyen un par de representaciones de espinor complejas bidimensionales desiguales y cuyo producto tensorial es la representación adjunta . Uno puede identificar este último bit con el propio espacio de Minkowski de cuatro dimensiones (en lugar de identificarlo con una partícula de espín-1, como se haría normalmente para un par de fermiones , por ejemplo, un pión compuesto por un par de quark -anti-quark ). Esto sugiere fuertemente que podría ser posible extender el álgebra de Poincaré para incluir también espinores. Esto conduce directamente a la noción de álgebra superpoincaré . El atractivo matemático de esta idea es que se trabaja con las representaciones fundamentales , en lugar de las representaciones adjuntas. El atractivo físico de esta idea es que las representaciones fundamentales corresponden a fermiones , que se ven en la naturaleza. Hasta ahora, sin embargo, la supersimetría implícita aquí, de una simetría entre las direcciones espacial y fermiónica, no puede verse experimentalmente en la naturaleza. La cuestión experimental puede plantearse a grandes rasgos como la pregunta: si vivimos en la representación adjunta (espacio-tiempo de Minkowski), ¿dónde se esconde la representación fundamental? ${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle {\ overline {2}}}$ ${\ Displaystyle 2 \ otimes {\ overline {2}} = 3 \ oplus 1}$

Ver también

• Grupo euclidiano
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Clasificación de Wigner
• Simetría en mecánica cuántica
• Centro de masa (relativista)
• Pseudovector de Pauli – Lubanski
• Física de partículas y teoría de la representación.
• Partícula de giro continuo

Notas

Referencias

• Wu-Ki Tung (1985). Teoría de grupos en física . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 9971-966-57-3.
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de los campos . 1 . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55001-7.
• LH Ryder (1996). Teoría cuántica de campos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 62. ISBN 0-52147-8146.