Groupoid - Groupoid

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías y teoría de homotopía , un grupoide (con menos frecuencia grupoide de Brandt o grupo virtual ) generaliza la noción de grupo de varias formas equivalentes. Un grupoide puede verse como:

• Agrupar con una función parcial que reemplaza la operación binaria ;
• Categoría en la que todo morfismo es invertible. Una categoría de este tipo puede verse como aumentada con una operación unaria , llamada inversa por analogía con la teoría de grupos . Un grupoide donde solo hay un objeto es un grupo habitual.

En presencia de tipificación dependiente , una categoría en general puede verse como un monoide tipificado y, de manera similar, un grouppoide puede verse simplemente como un grupo tipificado. Los morfismos toman uno de un objeto a otro, y forman una familia depende de tipos, por lo tanto morfismos pueden ser escritos , , dicen. La composición es entonces una función total:, de modo que . ${\ displaystyle g: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle h: B \ rightarrow C}$${\ displaystyle \ circ: (B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow B) \ rightarrow A \ rightarrow C}$${\ Displaystyle h \ circ g: A \ rightarrow C}$

Los casos especiales incluyen:

• Setoides : conjuntos que vienen con una relación de equivalencia ,
• G-sets : conjuntos equipados con una acción de grupo.${\ Displaystyle G}$

Los grupoides se utilizan a menudo para razonar sobre objetos geométricos como variedades . Heinrich Brandt  ( 1927 ) introdujo los grupos de forma implícita a través de los semigrupos de Brandt .

Definiciones

Un grupoide es una estructura algebraica que consta de un conjunto no vacío y una función parcial binaria ' ' definida en . ${\ Displaystyle (G, \ ast)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ ast}$${\ Displaystyle G}$

Algebraico

Un grupoide es un conjunto con una operación unaria y una función parcial . Aquí * no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de . Las condiciones precisas bajo las cuales se define no se articulan aquí y varían según la situación. ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {} ^ {- 1}: G \ a G,}$ ${\ Displaystyle *: G \ times G \ rightharpoonup G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle *}$

${\ Displaystyle \ ast}$y ^-1 tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todos , y en , ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle G}$

1. Asociatividad : siyestán definidos, entoncesyestán definidos y son iguales. Por el contrario, sise defineuno dey, también lo son ambosyasí como=.${\ Displaystyle a * b}$${\ Displaystyle b * c}$${\ Displaystyle (a * b) * c}$${\ Displaystyle a * (b * c)}$${\ Displaystyle (a * b) * c}$${\ Displaystyle a * (b * c)}$${\ Displaystyle a * b}$${\ Displaystyle b * c}$${\ Displaystyle (a * b) * c}$${\ Displaystyle a * (b * c)}$
2. Inverso :ysiempre están definidos.${\ Displaystyle a ^ {- 1} * a}$${\ Displaystyle a * {a ^ {- 1}}}$
3. Identidad : Sise define, entonces, y. (Los dos axiomas anteriores ya muestran que estas expresiones están definidas y son inequívocas).${\ Displaystyle a * b}$${\ Displaystyle a * b * {b ^ {- 1}} = a}$${\ Displaystyle {a ^ {- 1}} * a * b = b}$

De estos axiomas se derivan dos propiedades fáciles y convenientes:

• ${\ Displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {- 1} = a}$,
• Si está definido, entonces .${\ Displaystyle a * b}$${\ Displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$

Teórico de la categoría

Un grupoide es una pequeña categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo , es decir, invertible. Más precisamente, un grupoide G es:

• Un conjunto G ₀ de objetos ;
• Para cada par de objetos x y Y en G ₀ , existe una (posiblemente vacío) establecer G ( x , y ) de morfismos (o flechas ) a partir de x a y . Escribimos f  : x → y para indicar que f es un elemento de G ( x , y ).
• Para cada objeto x , un elemento designado de G ( x , x );${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {x}}$
• Para cada triple de objetos x , y y z , una función ;${\ Displaystyle \ mathrm {comp} _ {x, y, z}: G (y, z) \ times G (x, y) \ rightarrow G (x, z) :( g, f) \ mapsto gf}$
• Para cada par de objetos x , y una función ;${\ displaystyle \ mathrm {inv}: G (x, y) \ rightarrow G (y, x): f \ mapsto f ^ {- 1}}$

satisfactorio, para cualquier f  : x → y , g  : y → z , y h  : z → w :

• ${\ Displaystyle f \ \ mathrm {id} _ {x} = f}$y ;${\ Displaystyle \ mathrm {id} _ {y} \ f = f}$
• ${\ Displaystyle (hg) f = h (gf)}$;
• ${\ displaystyle ff ^ {- 1} = \ mathrm {id} _ {y}}$y .${\ displaystyle f ^ {- 1} f = \ mathrm {id} _ {x}}$

Si f es un elemento de G ( x , y ), entonces x se llama la fuente de f , se escribe s ( f ), e y se llama el objetivo de f , se escribe t ( f ). Un grupoide G a veces se denota como , donde es el conjunto de todos los morfismos, y las dos flechas representan la fuente y el objetivo. ${\ displaystyle G_ {1} \ rightrightarrows G_ {0}}$${\ Displaystyle G_ {1}}$${\ Displaystyle G_ {1} \ to G_ {0}}$

De manera más general, se puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admite productos de fibra finitos.

Comparando las definiciones

Las definiciones algebraicas y teóricas de categorías son equivalentes, como mostramos ahora. Dado un groupoid en el sentido de categoría-teórico, deja que G sea la unión de la desunión de todos los conjuntos de G ( x , y ) (es decir, los conjuntos de morfismos de x a y ). Entonces y se convertirán en operaciones parciales sobre G , y de hecho se definirán en todas partes. Definimos ∗ como y ⁻¹ como ser , lo que da un grupoide en el sentido algebraico. La referencia explícita a G ₀ (y por lo tanto a ) puede descartarse. ${\ Displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ Displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ Displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ Displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ Displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {id}}$

Por el contrario, dado un grupoide G en el sentido algebraico, defina una relación de equivalencia en sus elementos por iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Sea G ₀ el conjunto de clases de equivalencia de , es decir . Denote a ∗ a ⁻¹ por si con . ${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle a \ sim b}$${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle G_ {0}: = G / \! \! \ sim}$${\ Displaystyle 1_ {x}}$${\ Displaystyle a \ in G}$${\ Displaystyle x \ en G_ {0}}$

Ahora defina como el conjunto de todos los elementos f tal que exista. Dado y su compuesto se define como . Para ver que esto está bien definido, observe que desde y existe, también existe . El morfismo de identidad en x es entonces , y la inversa de la teoría de categorías de f es f ⁻¹ . ${\ Displaystyle G (x, y)}$${\ Displaystyle 1_ {x} * f * 1_ {y}}$${\ displaystyle f \ en G (x, y)}$${\ Displaystyle g \ en G (y, z),}$${\ Displaystyle gf: = f * g \ in G (x, z)}$${\ Displaystyle (1_ {x} * f) * 1_ {y}}$${\ Displaystyle 1_ {y} * (g * 1_ {z})}$${\ Displaystyle (1_ {x} * f * 1_ {y}) * (g * 1_ {z}) = f * g}$${\ Displaystyle 1_ {x}}$

Los conjuntos en las definiciones anteriores pueden reemplazarse con clases , como suele ser el caso en la teoría de categorías.

Grupos de vértices y órbitas

Dado un groupoid G , los grupos de vértices o grupos isotropía o grupos de objetos en G son los subconjuntos de la forma G ( x , x ), donde x es cualquier objeto de G . De los axiomas anteriores se deduce fácilmente que estos son grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices.

La órbita de un grupoide G en un punto viene dada por el conjunto que contiene todos los puntos que pueden unirse ax por un morfismo en G. Si dos puntos y están en las mismas órbitas, sus vértices se agrupan y son isomorfos : si es cualquier morfismo de a , entonces el isomorfismo dado por el mapeo . ${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle s (t ^ {- 1} (x)) \ subconjunto X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle G (x)}$${\ Displaystyle G (y)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle g \ to fgf ^ {- 1}}$

Las órbitas forman una partición del conjunto X, y un grupoide se llama transitivo si solo tiene una órbita (de manera equivalente, si está conectado como una categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomórficos (por otro lado, esta no es una condición suficiente para la transitividad; consulte la sección siguiente para ver contraejemplos).

Subgrupos y morfismos

Un subgrupoide de es una subcategoría que es en sí misma un grupoide. Se llama ancho o completo si es ancho o completo como subcategoría, es decir, respectivamente, si o para todos . ${\ displaystyle G \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle H \ rightrightarrows Y}$${\ Displaystyle X = Y}$${\ Displaystyle G (x, y) = H (x, y)}$${\ Displaystyle x, y \ en Y}$

Un morfismo grupoide es simplemente un functor entre dos grupoides (teóricos de categorías).

Son de interés los tipos particulares de morfismos de los grupoides. Un morfismo de groupoides se llama fibración si para cada objeto de y cada morfismo de comenzar en hay un morfismo de comenzar en tal que . Una fibración se denomina morfismo de recubrimiento o recubrimiento de grupoides si además es único. Los morfismos de cobertura de los grupoides son especialmente útiles porque se pueden utilizar para modelar mapas de cobertura de espacios. ${\ Displaystyle p: E \ to B}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle p (e) = b}$${\ Displaystyle e}$

También es cierto que la categoría de morfismos de cobertura de un grupoide dado es equivalente a la categoría de acciones del grupoide sobre conjuntos. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Ejemplos de

Topología

Dado un espacio topológico , sea ​​el conjunto . Los morfismos de un punto a otro son clases de equivalencia de trayectorias continuas de a , siendo dos trayectorias equivalentes si son homotópicas . Dos de estos morfismos se componen siguiendo primero el primer camino, luego el segundo; la equivalencia de homotopía garantiza que esta composición es asociativa . Este grupoide se denomina grupoide fundamental de , denotado (o, a veces, ). El grupo fundamental habitual es entonces el grupo de vértices para el punto . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G_ {0}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$ ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ Displaystyle x}$

Las órbitas del grupoide fundamental son los componentes conectados a la ruta de . En consecuencia, el grupoide fundamental de un espacio conectado por caminos es transitivo, y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupo fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (ver la sección siguiente para la teoría general). ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle X}$

Una extensión importante de esta idea es considerar el grupoide fundamental donde es un conjunto elegido de "puntos base". Aquí hay un subgrupo (ancho) de , donde se consideran solo las rutas cuyos extremos pertenecen . El conjunto puede elegirse de acuerdo con la geometría de la situación en cuestión. ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ Displaystyle A \ subconjunto X}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Relación de equivalencia

Si es un setoide , es decir, un conjunto con una relación de equivalencia , entonces un grupoide "que representa" esta relación de equivalencia se puede formar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ sim}$

• Los objetos del grupoide son los elementos de ;${\ Displaystyle X}$
• Para dos elementos cualesquiera y en , hay un solo morfismo de a (denotar por ) si y solo si ;${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle (y, x)}$${\ Displaystyle x \ sim y}$
• La composición de y es .${\ Displaystyle (z, y)}$${\ Displaystyle (y, x)}$${\ Displaystyle (z, x)}$

Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide no es en general transitivo y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:

• Si cada elemento de está en relación con todos los demás elementos de , obtenemos el par groupoid de , que tiene el conjunto completo de flechas y que es transitivo.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ times X}$
• Si cada elemento de está solo en relación consigo mismo, se obtiene la unidad groupoid , que tiene un conjunto de flechas , y que es completamente intransitivo (cada singleton es una órbita).${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle s = t = id_ {X}}$${\ Displaystyle \ {x \}}$

Ejemplos de

Por ejemplo, si es un suave sobreyectiva sumersión de múltiples lisos , a continuación, es una relación de equivalencia desde tiene una topología isomorfo a la topología cociente de virtud de la hoja sobreyectiva de espacios topológicos. Si escribimos, obtenemos un grupoide${\ Displaystyle f: X_ {0} \ to Y}$ ${\ Displaystyle X_ {0} \ times _ {Y} X_ {0} \ subset X_ {0} \ times X_ {0}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle X_ {1} = X_ {0} \ times _ {Y} X_ {0}}$

${\ Displaystyle X_ {1} \ rightrightarrows X_ {0}}$

que a veces se llama el grupoide banal de una inmersión sobreyectiva de variedades suaves.

Čech groupoid

Un groupoid Čech ^{pg 5} es un tipo especial de groupoid asociado a una relación de equivalencia dada por una tapa abierta de alguna variedad . Sus objetos están dados por la unión disjunta.${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} = \ coprod U_ {i}}$

y sus flechas son las intersecciones

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} = \ coprod U_ {ij}}$

Los mapas de origen y destino son dados por los mapas inducidos.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} s = \ phi _ {j}: U_ {ij} \ to U_ {j} \\ t = \ phi _ {i}: U_ {ij} \ to U_ {i} \ final {alineado}}}$

y el mapa de inclusión

${\ Displaystyle \ varepsilon: U_ {i} \ to U_ {ii}}$

dando la estructura de un grupoide. De hecho, esto se puede ampliar aún más estableciendo

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = {\ mathcal {G}} _ {1} \ times _ {{\ mathcal {G}} _ {0}} \ cdots \ times _ {{\ mathcal {G}} _ {0}} {\ mathcal {G}} _ {1}}$

como el producto de fibra enumerado donde representa las tuplas de flechas componibles. El mapa de estructura del producto de fibra es implícitamente el mapa de destino, ya que${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} U_ {ijk} & \ to & U_ {ij} \\\ downarrow && \ downarrow \\ U_ {ik} & \ to & U_ {i} \ end {matrix}}}$

es un diagrama cartesiano donde los mapas son los mapas de destino. Esta construcción puede verse como un modelo para algunos grupos ∞ . Además, otro artefacto de esta construcción son las k-cocycles${\ Displaystyle U_ {i}}$

${\ Displaystyle [\ sigma] \ in {\ check {H}} ^ {k} ({\ mathcal {U}}, {\ underline {A}})}$

porque una gavilla constante de grupos abelianos puede representarse como una función

${\ Displaystyle \ sigma: \ coprod U_ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \ to A}$

dando una representación explícita de las clases de cohomología.

Acción de grupo

Si el grupo actúa sobre el conjunto , entonces podemos formar el grupo de acción (o grupo de transformación ) que representa esta acción de grupo de la siguiente manera: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

• Los objetos son los elementos de ;${\ Displaystyle X}$
• Para cualquier par de elementos y en , los morfismos de a corresponden a los elementos de tal manera que ;${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ displaystyle gx = y}$
• La composición de morfismos interpreta la operación binaria de .${\ Displaystyle G}$

Más explícitamente, el grupo de acción es una categoría pequeña con y y con mapas de origen y destino y . A menudo se denota (o por una acción correcta). La multiplicación (o composición) en el grupoide es entonces lo que se define proporcionado . ${\ Displaystyle \ mathrm {ob} (C) = X}$${\ Displaystyle \ mathrm {hom} (C) = G \ times X}$${\ Displaystyle s (g, x) = x}$${\ Displaystyle t (g, x) = gx}$${\ Displaystyle G \ ltimes X}$${\ Displaystyle X \ rtimes G}$${\ Displaystyle (h, y) (g, x) = (hg, x)}$${\ Displaystyle y = gx}$

Para en , el grupo de vértices consiste en aquellos con , que es sólo el subgrupo isotropía en la acción dada (que es la razón por grupos de vértices también se denominan grupos isotropía). De manera similar, las órbitas del grupo de acción son la órbita de la acción del grupo, y el grupo es transitivo si y solo si la acción del grupo es transitiva . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (g, x)}$${\ Displaystyle gx = x}$${\ Displaystyle x}$

Otra forma de describir -sets es la categoría de functor , donde es el grupoide (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo . De hecho, cada funtor de esta categoría define un conjunto y para cada en (es decir, para cada morfismo en ) induce una biyección  : . La estructura categórica del funtor nos asegura que define una -acción sobre el conjunto . El functor representable (único)  : es la representación de Cayley de . De hecho, este funtor es isomorfo ay envía al conjunto que es por definición el "conjunto" y el morfismo de (es decir, el elemento de ) a la permutación del conjunto . Deducimos de la incrustación de Yoneda que el grupo es isomorfo al grupo , un subgrupo del grupo de permutaciones de . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Set}]}$${\ Displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X = F (\ mathrm {Gr})}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {Gr}}$ ${\ Displaystyle F_ {g}}$${\ Displaystyle X \ a X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} \ to \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, -)}$${\ Displaystyle \ mathrm {ob} (\ mathrm {Gr})}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Gr})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F_ {g}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ {F_ {g} \ mid g \ in G \}}$${\ Displaystyle G}$

Conjunto finito

Considere la acción de grupo de sobre el conjunto finito que lleva cada número a su negativo, entonces y . El cociente groupoid es el conjunto de clases de equivalencia de esta acción de grupo , y tiene una acción de grupo de sobre él. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle X = \ {- 2, -1,0,1,2 \}}$${\ displaystyle -2 \ mapsto 2}$${\ Displaystyle 1 \ mapsto -1}$${\ Displaystyle [X / G]}$${\ Displaystyle \ {[0], [1], [2] \}}$${\ Displaystyle [0]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$

Variedad de cociente

Cualquier grupo finito que se mapea para dar una acción grupal en el espacio afín (ya que este es el grupo de automorfismos). Entonces, un cociente grupoide puede ser de las formas , que tiene un punto con estabilizador en el origen. Ejemplos como estos forman la base de la teoría de los orbifolds . Otra familia de orbifolds comúnmente estudiada son los espacios proyectivos ponderados y los subespacios de ellos, como los orbifolds de Calabi-Yau . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle GL (n)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle [\ mathbb {A} ^ {n} / G]}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (n_ {1}, \ ldots, n_ {k})}$

Producto de fibra de groupoides

Dado un diagrama de groupoids con morfismos de groupoid

${\ displaystyle {\ begin {alineado} && X \\ && \ flecha abajo \\ Y & \ rightarrow & Z \ end {alineado}}}$

donde y , podemos formar el groupoid cuyos objetos son triples , donde , y en . Los morfismos se pueden definir como un par de morfismos donde y de tal manera que para las triples , hay un diagrama conmutativo en de , y el . ${\ Displaystyle f: X \ to Z}$${\ Displaystyle g: Y \ to Z}$${\ Displaystyle X \ times _ {Z} Y}$${\ Displaystyle (x, \ phi, y)}$${\ Displaystyle x \ in {\ text {Ob}} (X)}$${\ Displaystyle y \ in {\ text {Ob}} (Y)}$${\ Displaystyle \ phi: f (x) \ a g (y)}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta)}$${\ Displaystyle \ alpha: x \ to x '}$${\ Displaystyle \ beta: y \ to y '}$${\ Displaystyle (x, \ phi, y), (x ', \ phi', y ')}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle f (\ alpha): f (x) \ to f (x ')}$${\ Displaystyle g (\ beta): g (y) \ a g (y ')}$${\ Displaystyle \ phi, \ phi '}$

Álgebra homológica

Un complejo de dos términos

${\ displaystyle C_ {1} {\ overset {d} {\ rightarrow}} C_ {0}}$

de objetos en una categoría abeliana concreta se puede utilizar para formar un grupoide. Tiene como objetos el conjunto y como flechas el conjunto ; el morfismo de origen es solo la proyección sobre, mientras que el morfismo de destino es la adición de proyección sobre compuesto con y proyección sobre . Es decir, dado , tenemos ${\ Displaystyle C_ {0}}$${\ Displaystyle C_ {1} \ oplus C_ {0}}$${\ Displaystyle C_ {0}}$${\ Displaystyle C_ {1}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle C_ {0}}$${\ Displaystyle c_ {1} + c_ {0} \ in C_ {1} \ oplus C_ {0}}$

${\ Displaystyle t (c_ {1} + c_ {0}) = re (c_ {1}) + c_ {0}.}$

Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes en un esquema, entonces esta construcción se puede utilizar para formar un prefabricado de grupoides.

Rompecabezas

Si bien los acertijos como el Cubo de Rubik se pueden modelar utilizando la teoría de grupos (ver el grupo Cubo de Rubik ), ciertos acertijos se modelan mejor como grupos.

Las transformaciones del rompecabezas de los quince forman un grupoide (no un grupo, ya que no se pueden componer todos los movimientos). Este grupoide actúa sobre las configuraciones.

Mathieu grupoide

El groupoid de Mathieu es un groupoid introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos, de modo que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo M _{12 de} Mathieu .

Relación con los grupos

Estructuras de tipo grupal
	Totalidad	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	Conmutatividad
Semigropoide	Innecesario	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario
Magma	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Requerido	Innecesario	Innecesario	Requerido	Innecesario
Magma unital	Requerido	Innecesario	Requerido	Innecesario	Innecesario
Círculo	Requerido	Innecesario	Requerido	Requerido	Innecesario
Semigroup	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigrupo inverso	Requerido	Requerido	Innecesario	Requerido	Innecesario
Monoide	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario
Monoide conmutativo	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario	Requerido
Grupo	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario
Grupo abeliano	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Si un grupoide tiene un solo objeto, entonces el conjunto de sus morfismos forma un grupo . Usando la definición algebraica, tal grupoide es literalmente solo un grupo. Muchos conceptos de la teoría de grupos se generalizan a los grupoides, y la noción de functor reemplaza a la de homomorfismo de grupo .

Cada grupoide transitivo / conectado, es decir, como se explicó anteriormente, uno en el que dos objetos cualesquiera están conectados por al menos un morfismo, es isomorfo a un grupoide de acción (como se definió anteriormente) . Por transitividad, solo habrá una órbita bajo la acción. ${\ Displaystyle (G, X)}$

Tenga en cuenta que el isomorfismo que se acaba de mencionar no es único y no existe una opción natural . Elegir un isomorfismo de este tipo para un grupoide transitivo equivale esencialmente a elegir un objeto , un isomorfismo de grupo de a , y para cada otro que , un morfismo en de a . ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle G (x_ {0})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle x}$

Si un groupoide no es transitivo, entonces es isomorfo a una unión disjunta de groupoids del tipo anterior, también llamados sus componentes conectados (posiblemente con diferentes grupos y conjuntos para cada componente conectado). ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

En términos de teoría de categorías, cada componente conectado de un grupoide es equivalente (pero no isomórfico ) a un grupoide con un solo objeto, es decir, un solo grupo. Por tanto, cualquier grupoide equivale a un conjunto múltiple de grupos no relacionados. En otras palabras, para la equivalencia en lugar de isomorfismo, no es necesario especificar los conjuntos , sino solo los grupos.Por ejemplo, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G.}$

• El groupoid fundamental de es equivalente a la colección de los grupos fundamentales de cada componente de trayectoria conectada de , pero un isomorfismo requiere especificar el conjunto de puntos en cada componente;${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• El conjunto con la relación de equivalencia es equivalente (como grupoide) a una copia del grupo trivial para cada clase de equivalencia , pero un isomorfismo requiere especificar qué es cada clase de equivalencia:${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sim}$
• El conjunto equipado con una acción del grupo es equivalente (como grupoide) a una copia de para cada órbita de la acción, pero un isomorfismo requiere especificar qué conjunto es cada órbita.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

El colapso de un grupoide en una mera colección de grupos pierde algo de información, incluso desde un punto de vista teórico de categorías, porque no es natural . Por lo tanto, cuando los grupoides surgen en términos de otras estructuras, como en los ejemplos anteriores, puede ser útil mantener todo el grupoide. De lo contrario, se debe elegir una forma de ver cada uno en términos de un solo grupo, y esta elección puede ser arbitraria. En el ejemplo de la topología , se tendría que hacer una elección coherente de rutas (o clases de rutas de equivalencia) desde cada punto a cada punto en el mismo componente conectado a la ruta. ${\ Displaystyle G (x)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$

Como ejemplo más esclarecedor, la clasificación de los grupoides con un endomorfismo no se reduce a consideraciones puramente teóricas de grupos. Esto es análogo al hecho de que la clasificación de espacios vectoriales con un endomorfismo no es trivial.

Los morfismos de los grupoides son de más clases que los de los grupos: tenemos, por ejemplo, fibraciones , morfismos de cobertura , morfismos universales y morfismos de cociente . Así, un subgrupo de un grupo produce una acción de sobre el conjunto de clases sociales de in y, por tanto, un morfismo de cobertura de, digamos, a , donde es un grupoide con grupos de vértices isomórficos a . De esta manera, las presentaciones del grupo se pueden "levantar" a presentaciones del grupo , y esta es una forma útil de obtener información sobre las presentaciones del subgrupo . Para obtener más información, consulte los libros de Higgins y Brown en las Referencias. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle H}$

Categoría de grupoides

La categoría cuyos objetos son groupoides y cuyos morfismos son morfismos groupoides se denomina categoría groupoide , o categoría de groupoides , y se denota por Grpd .

La categoría Grpd es, como la categoría de categorías pequeñas, cartesiana cerrada : para cualquier grupoide podemos construir un grupoide cuyos objetos son los morfismos y cuyas flechas son las equivalencias naturales de morfismos. Entonces, si son solo grupos, entonces tales flechas son conjugaciones de morfismos. El resultado principal es que para cualquier grupoide hay una biyección natural. ${\ Displaystyle H, K}$${\ Displaystyle \ operatorname {GPD} (H, K)}$${\ Displaystyle H \ to K}$${\ Displaystyle H, K}$${\ Displaystyle G, H, K}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Grpd} (G \ times H, K) \ cong \ operatorname {Grpd} (G, \ operatorname {GPD} (H, K)).}$

Este resultado es de interés incluso si todos los grupos son solo grupos. ${\ Displaystyle G, H, K}$

Otra propiedad importante de Grpd es que es tanto completo como cocompleto .

Relación con el gato

La inclusión tiene un adjunto izquierdo y derecho : ${\ Displaystyle i: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {Cat}}$

${\ Displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (C [C ^ {- 1}], G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (C, i (G))}$

${\ Displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (i (G), C) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (G, \ mathrm {Core} (C))}$

Aquí, denota la localización de una categoría que invierte cada morfismo y denota la subcategoría de todos los isomorfismos. ${\ Displaystyle C [C ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle \ mathrm {Core} (C)}$

Relación con sSet

El funtor nervioso incorpora Grpd como una subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un grupoide es siempre un complejo de Kan . ${\ Displaystyle N: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {sSet}}$

El nervio tiene un adjunto izquierdo

${\ Displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (\ pi _ {1} (X), G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {sSet}} (X, N (G))}$

Aquí, denota el grupoide fundamental del conjunto simplicial X. ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Groupoids en Grpd

Existe una estructura adicional que se puede derivar de los grupoides internos a la categoría de los grupoides, los dobles grupoides . Debido a que Grpd es una categoría 2, estos objetos forman una categoría 2 en lugar de una categoría 1, ya que hay una estructura adicional. Esencialmente, estos son grupoides con functores${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1}, {\ mathcal {G}} _ {0}}$

${\ Displaystyle s, t: {\ mathcal {G}} _ {1} \ to {\ mathcal {G}} _ {0}}$

y una incrustación dada por un funtor de identidad

${\ Displaystyle i: {\ mathcal {G}} _ {0} \ to {\ mathcal {G}} _ {1}}$

Una forma de pensar en estos 2 grupos es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse juntos vertical y horizontalmente. Por ejemplo, cuadrados dados

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \ end {matrix}}}$ y ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ to & \ bullet \ end {matrix}}}$

con el mismo morfismo, se pueden unir verticalmente dando un diagrama${\ Displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ a & \ bullet \ end {matriz}}}$

que se puede convertir en otro cuadrado componiendo las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para las uniones horizontales de cuadrados.

Groupoids con estructuras geométricas

Cuando se estudian objetos geométricos, los grupos que surgen a menudo llevan una topología , convirtiéndolos en grupos topológicos , o incluso en alguna estructura diferenciable , convirtiéndolos en grupos de Lie . Estos últimos objetos también pueden estudiarse en términos de sus álgebroides de Lie asociados , en analogía con la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie .

Los grupos que surgen de la geometría a menudo poseen estructuras adicionales que interactúan con la multiplicación de los grupos. Por ejemplo, en la geometría de Poisson se tiene la noción de un groupoide simpléctico , que es un groupoide de Lie dotado de una forma simpléctica compatible . De manera similar, se pueden tener grupos con una métrica de Riemann compatible , una estructura compleja , etc.

Ver también

• Cohomología grupoide
• ∞-grupoide
• 2 grupos
• Teoría del tipo de homotopía
• Categoría inversa
• Álgebra grupoide (no confundir con grupoide algebraica )
• R-algebroide

Notas

Referencias

• Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007 / BF01209171 , S2CID  119597988
• Brown, Ronald, 1987, " De grupos a groupoids: una breve encuesta ", Bull. London Math. Soc. 19 : 113-34. Repasa la historia de los grupoides hasta 1987, comenzando con el trabajo de Brandt sobre formas cuadráticas. La versión descargable actualiza las numerosas referencias.
• -, 2006. Topología y agrupaciones. Booksurge. Edición revisada y ampliada de un libro publicado anteriormente en 1968 y 1988. Los grupoides se introducen en el contexto de su aplicación topológica.
• -, Teoría de grupos de dimensión superior Explica cómo el concepto de grupoide ha llevado a grupos de homotopía de dimensión superior, que tiene aplicaciones en la teoría de homotopía y en la cohomología de grupo . Numerosas referencias.
• Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre , Encuestas y monografías matemáticas, 195 , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Dokuchaev, M .; Exel, R .; Piccione, P. (2000). "Representaciones parciales y álgebras de grupos parciales". Revista de álgebra . Elsevier. 226 : 505–532. arXiv : matemáticas / 9903129 . doi : 10.1006 / jabr.1999.8204 . ISSN  0021-8693 . S2CID  14622598 .
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Teorías de Galois. Cambridge Univ. Presionar. Muestra cómo las generalizaciones de la teoría de Galois conducen a los grupoides de Galois .
• Cannas da Silva, A. y A. Weinstein , Modelos geométricos para álgebras no conmutativas. Especialmente la Parte VI.
• Golubitsky, M. , Ian Stewart, 2006, " Dinámica no lineal de redes: el formalismo grupoide ", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 43 : 305-64
• "Groupoid" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Higgins, PJ, "El grupo fundamental de un gráfico de grupos ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145-149.
• Higgins, PJ y Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy cross cross complex of a orbit space ", en Teoría de categorías (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volumen 962. Springer, Berlín (1982), 115 —122.
• Higgins, PJ, 1971. Categorías y agrupaciones. Notas de Van Nostrand en matemáticas. Publicado nuevamente en Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías , No. 7 (2005) págs. 1-195; descargable gratuitamente . Introducción sustancial a la teoría de categorías con especial énfasis en los grupoides. Presenta aplicaciones de los grupoides en la teoría de grupos, por ejemplo, a una generalización del teorema de Grushko , y en topología, por ejemplo, los grupoides fundamentales .
• Mackenzie, KCH, 2005. Teoría general de los grupoides de Lie y los algebroides de Lie. Cambridge Univ. Presionar.
• Weinstein, Alan, " Groupoids: unificando la simetría interna y externa - Un recorrido por algunos ejemplos " . También disponible en Postscript. , Notices of the AMS, julio de 1996, págs. 744–752.
• Weinstein, Alan, " La geometría del impulso " (2002)
• RT Zivaljevic. "Groupoids en combinatoria: aplicaciones de una teoría de simetrías locales". En combinatoria algebraica y geométrica , volumen 423 de Contemp. Math ., 305–324. Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI (2006)
• groupoid fundamental en nLab
• núcleo en nLab