Teoría de la homotopía - Homotopy theory

En matemáticas , la teoría de la homotopía es un estudio sistemático de situaciones en las que los mapas vienen con homotopías entre ellos. Se originó como un tema de topología algebraica pero hoy en día se estudia como una disciplina independiente. Además de la topología algebraica, la teoría también se ha utilizado en otras áreas de las matemáticas, como la geometría algebraica (por ejemplo, la teoría de la homotopía A¹ ) y la teoría de categorías (específicamente el estudio de categorías superiores ).

Conceptos

Espacios y mapas

En la teoría de la homotopía y la topología algebraica, la palabra "espacio" denota un espacio topológico . Para evitar patologías , rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en cambio, se requieren espacios para cumplir con restricciones adicionales, como ser generados de forma compacta , Hausdorff o un complejo CW .

En la misma línea que antes, un " mapa " es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

A menudo, se trabaja con un espacio puntiagudo , es decir, un espacio con un "punto distinguido", llamado punto base. Un mapa puntiagudo es entonces un mapa que conserva los puntos base; es decir, envía el punto base del dominio al del codominio. Por el contrario, un mapa gratuito es aquel que no necesita conservar los puntos base.

Homotopía

Deja que denotan el intervalo unidad. Una familia de aplicaciones indexados por I , se llama homotopía de que si es un mapa (por ejemplo, debe ser una función continua ). Cuando X , Y son espacios puntiagudos, se requieren para preservar los puntos base. Se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia . Dado un espacio puntiagudo X y un número entero , por no ser las clases de homotopía de mapas basados de una (puntas) n -sphere a X . Resulta que son grupos ; En particular, se llama el grupo fundamental de X .

Si se prefiere trabajar con un espacio en lugar de un espacio puntiagudo, existe la noción de un grupoide fundamental (y variantes superiores): por definición, el grupoide fundamental de un espacio X es la categoría donde los objetos son los puntos de X y los morfismos son caminos.

Cofibración y fibración

Un mapa se llama cofibración si se le da (1) un mapa y (2) una homotopía , existe una homotopía que se extiende y tal que . En cierto sentido, es un análogo del diagrama de definición de un módulo inyectivo en álgebra abstracta . El ejemplo más básico es un par CW ; Dado que muchos trabajan solo con complejos CW, la noción de cofibración suele estar implícita.

Una fibración en el sentido de Serre es la noción dual de una cofibración: es decir, un mapa es una fibración si se le da (1) un mapa y (2) una homotopía , existe una homotopía tal que es la dada y . Un ejemplo básico es un mapa de cobertura (de hecho, una fibración es una generalización de un mapa de cobertura). Si es un paquete G principal , es decir, un espacio con una acción de grupo libre y transitiva (topológica) de un grupo ( topológico ), entonces el mapa de proyección es un ejemplo de una fibración.

Clasificación de espacios y operaciones de homotopía

Dado un grupo topológico G , el espacio de clasificación para los paquetes G principales ("el" hasta la equivalencia) es un espacio tal que, para cada espacio X ,

{ paquete G principal en X  } / ~

dónde

  • el lado izquierdo es el conjunto de clases de homotopía de mapas ,
  • ~ se refiere al isomorfismo de haces, y
  • = Se da tirando-back el haz distinguido en (llamado paquete universal) a lo largo de un mapa .

El teorema de representabilidad de Brown garantiza la existencia de espacios de clasificación.

Espectro y cohomología generalizada

La idea de que un espacio de clasificación clasifica los paquetes principales puede llevarse más lejos. Por ejemplo, se podría intentar clasificar las clases de cohomología: dado un grupo abeliano A (como ),

¿Dónde está el espacio Eilenberg – MacLane ? La ecuación anterior conduce a la noción de una teoría de cohomología generalizada; es decir, un funtor contravariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface los axiomas que generalizan la teoría de la cohomología ordinaria. Resulta que tal functor puede no ser representable por un espacio, pero siempre puede ser representado por una secuencia de espacios (puntiagudos) con mapas de estructura llamados espectro. En otras palabras, dar una teoría de la cohomología generalizada es dar un espectro.

Un ejemplo básico de un espectro es un espectro de esfera :

Teoremas clave

Teoría de la obstrucción y clase característica.

Ver también: clase de característica , torre Postnikov , torsión de Whitehead

Localización y finalización de un espacio

Teorías específicas

Hay varias teorías específicas

Hipótesis de homotopía

Una de las cuestiones básicas en los fundamentos de la teoría de la homotopía es la naturaleza de un espacio. La hipótesis de la homotopía pregunta si un espacio es algo fundamentalmente algebraico.

Teoría de la homotopía abstracta

Conceptos

Categorías de modelos

Teoría de la homotopía simple

Ver también

Referencias

  • May, J. Un curso conciso en topología algebraica
  • George William Whitehead (1978). Elementos de la teoría de la homotopía . Textos de Posgrado en Matemáticas. 61 (3ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. págs. xxi + 744. ISBN   978-0-387-90336-1 . Señor   0516508 . Consultado el 6 de septiembre de 2011 .
  • Ronald Brown, Topología y agrupaciones (2006) Booksurge LLC ISBN   1-4196-2722-8 .

Otras lecturas

enlaces externos