Función parcial - Partial function

En matemáticas , una función parcial f de un conjunto X a un conjunto Y es una función de un subconjunto S de X (posiblemente X en sí) a Y . El subconjunto S , es decir, el dominio de f visto como una función, se denomina dominio de definición de f . Si S es igual a X , es decir, si f se define en cada elemento de X , entonces se dice que f es total .

Más técnicamente, una función parcial es una relación binaria sobre dos conjuntos que asocia cada elemento del primer conjunto como máximo a un elemento del segundo conjunto; por tanto, es una relación binaria funcional . Generaliza el concepto de función (total) al no requerir que cada elemento del primer conjunto esté asociado exactamente a un elemento del segundo conjunto.

Una función parcial se utiliza a menudo cuando su dominio de definición exacto no se conoce o es difícil de especificar. Este es el caso del cálculo , donde, por ejemplo, el cociente de dos funciones es una función parcial cuyo dominio de definición no puede contener los ceros del denominador. Por esta razón, en cálculo, y más generalmente en análisis matemático , una función parcial generalmente se llama simplemente una función . En la teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial de los enteros a los enteros; para muchos de ellos no puede existir ningún algoritmo para decidir si son de hecho totales.

Cuando se usa la notación de flechas para funciones, una función parcial de a a veces se escribe como f : X ⇸ Y , o Sin embargo, no hay una convención general, y la última notación se usa más comúnmente para funciones inyectivas . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ rightharpoonup Y,}$ ${\ Displaystyle f: X \ nrightarrow Y,}$${\ Displaystyle f: X \ hookrightarrow Y.}$

Específicamente, para una función parcial y cualquiera tiene: ${\ Displaystyle f: X \ rightharpoonup Y,}$${\ Displaystyle x \ in X,}$

• ${\ Displaystyle f (x) = y \ en Y}$(es un solo elemento en Y ), o
• ${\ Displaystyle f (x)}$ es indefinido.

Por ejemplo, si es la función raíz cuadrada restringida a los enteros${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N},}$ definido por:

${\ Displaystyle f (n) = m}$ si y solo si, ${\ Displaystyle m ^ {2} = n,}$ ${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {N}, n \ in \ mathbb {Z},}$

entonces solo se define si es un cuadrado perfecto (es decir, ). Entonces, pero no está definido. ${\ Displaystyle f (n)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 0,1,4,9,16, \ ldots}$${\ Displaystyle f (25) = 5}$${\ Displaystyle f (26)}$

Conceptos básicos

Un ejemplo de una función parcial que es inyectiva .

Un ejemplo de una función que no es inyectiva.

Se dice que una función parcial es inyectiva , sobreyectiva o biyectiva cuando la función dada por la restricción de la función parcial a su dominio de definición es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, respectivamente.

Debido a que una función es trivialmente sobreyectiva cuando se restringe a su imagen, el término biyección parcial denota una función parcial que es inyectiva.

Una función parcial inyectiva puede invertirse en una función parcial inyectiva, y una función parcial que es tanto inyectiva como sobreyectiva tiene una función inyectiva como inversa. Además, una función inyectiva puede invertirse en una función inyectiva parcial.

La noción de transformación también se puede generalizar a funciones parciales. Una transformación parcial es una función en la que ambos y son subconjuntos de algún conjunto${\ Displaystyle f: A \ rightharpoonup B,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X.}$

Función

Una función es una relación binaria que es funcional (también llamada derecha-única) y serial (también llamada izquierda-total). Esta es una definición más fuerte que la de una función parcial que solo requiere la propiedad funcional.

Espacios funcionales

El conjunto de todas las funciones parciales de un conjunto a un conjunto denotado por es la unión de todas las funciones definidas en subconjuntos de con el mismo codominio : ${\ Displaystyle f: X \ rightharpoonup Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle [X \ rightharpoonup Y],}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle [X \ rightharpoonup Y] = \ bigcup _ {D \ subseteq {X}} [D \ to Y],}$

este último también escrito como En caso finito, su cardinalidad es ${\ textstyle \ bigcup _ {D \ subseteq {X}} Y ^ {D}.}$

${\ Displaystyle | [X \ rightharpoonup Y] | = (| Y | +1) ^ {| X |},}$

porque cualquier función parcial puede extenderse a una función por cualquier valor fijo no contenido en, de modo que el codominio es una operación que es inyectiva (única e invertible por restricción). ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle Y \ cup \ {c \},}$

Discusión y ejemplos

El primer diagrama en la parte superior del artículo representa una función parcial que no es una función ya que el elemento 1 en el conjunto de la izquierda no está asociado con nada en el conjunto de la derecha. Considerando que, el segundo diagrama representa una función ya que cada elemento en el conjunto de la izquierda está asociado con exactamente un elemento en el conjunto de la derecha.

Logaritmo natural

Considere la función de logaritmo natural mapeando los números reales a sí mismos. El logaritmo de un real no positivo no es un número real, por lo que la función de logaritmo natural no asocia ningún número real en el codominio con ningún número real no positivo en el dominio. Por lo tanto, la función logaritmo natural no es una función cuando se ve como una función de los reales a sí mismos, sino que es una función parcial. Si el dominio está restringido para incluir solo los reales positivos (es decir, si la función del logaritmo natural se ve como una función de los reales positivos a los reales), entonces el logaritmo natural es una función.

Resta de números naturales

La resta de números naturales ( enteros no negativos ) se puede ver como una función parcial:

${\ Displaystyle f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ rightharpoonup \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle f (x, y) = xy.}$

Se define solo cuando ${\ Displaystyle x \ geq y.}$

Elemento inferior

En semántica denotacional , se considera que una función parcial devuelve el elemento inferior cuando no está definido.

En informática, una función parcial corresponde a una subrutina que genera una excepción o se repite para siempre. El estándar de coma flotante IEEE define un valor que no es un número que se devuelve cuando una operación de coma flotante no está definida y se suprimen las excepciones, por ejemplo, cuando se solicita la raíz cuadrada de un número negativo.

En un lenguaje de programación donde los parámetros de función se escriben estáticamente , una función puede definirse como una función parcial porque el sistema de tipos del lenguaje no puede expresar el dominio exacto de la función, por lo que el programador le da el dominio más pequeño que se puede expresar como un tipo y contiene el dominio de definición de la función.

En teoría de categorías

En la teoría de categorías , al considerar la operación de composición del morfismo en categorías concretas , la operación de composición es una función si y solo si tiene un elemento. La razón de esto es que dos morfismos y solo se pueden componer como si es decir, el codominio de debe ser igual al dominio de${\ Displaystyle \ circ \;: \; \ hom (C) \ times \ hom (C) \ to \ hom (C)}$${\ Displaystyle \ operatorname {ob} (C)}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle g: U \ a V}$${\ Displaystyle g \ circ f}$${\ Displaystyle Y = U,}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g.}$

La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente, pero no isomórfica, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que conservan puntos. Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos" impropios "," infinitos "se reinventó muchas veces, en particular, en la topología ( compactación de un punto ) y en la informática teórica ".

La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es equivalente a su dual . Es la categoría inversa prototípica .

En álgebra abstracta

El álgebra parcial generaliza la noción de álgebra universal a operaciones parciales . Un ejemplo sería un campo , en el que la inversión multiplicativa es la única operación parcial adecuada (porque la división por cero no está definida).

El conjunto de todas las funciones parciales ( transformaciones parciales ) en un conjunto base dado, forma un semigrupo regular llamado el semigrupo de todas las transformaciones parciales (o el semigrupo de transformación parcial en ), típicamente denotado por El conjunto de todas las biyecciones parciales en forma la inversa simétrica semigrupo . ${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {PT}} _ {X}.}$${\ Displaystyle X}$

Gráficos y atlas para colectores y haces de fibras

Los gráficos de los atlas que especifican la estructura de las variedades y los haces de fibras son funciones parciales. En el caso de las variedades, el dominio es el conjunto de puntos de la variedad. En el caso de los haces de fibras, el dominio es el espacio del haz de fibras. En estas aplicaciones, la construcción más importante es el mapa de transición , que es la combinación de un gráfico con el inverso de otro. La clasificación inicial de variedades y haces de fibras se expresa en gran medida en términos de restricciones en estos mapas de transición.

La razón para el uso de funciones parciales en lugar de funciones es permitir que las topologías globales generales se representen uniendo parches locales para describir la estructura global. Los "parches" son los dominios donde se definen los gráficos.

Ver también

• Continuación analítica  : extensión del dominio de una función analítica (matemáticas)
• Función multivalor  : generalización de una función que puede producir varias salidas para cada entrada.
• Operador densamente definido  : función que se define en casi todas partes (matemáticas)

Referencias

• Martin Davis (1958), Computabilidad e Inestabilidad , McGraw – Hill Book Company, Inc, Nueva York. Reeditado por Dover en 1982. ISBN  0-486-61471-9 .
• Stephen Kleene (1952), Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Países Bajos, décima edición con correcciones añadidas en la séptima edición (1974). ISBN  0-7204-2103-9 .
• Harold S. Stone (1972), Introducción a la organización informática y las estructuras de datos , McGraw – Hill Book Company, Nueva York.