Glosario de geometría algebraica - Glossary of algebraic geometry

Este es un glosario de geometría algebraica .

Véase también el glosario de álgebra conmutativa , el glosario de geometría algebraica clásica y el glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de la teoría de números, consulte el glosario de geometría aritmética y diofántica .

Por simplicidad, a menudo se omite una referencia al esquema básico; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema de base fija S y un morfismo un S -morfismo.

PS

${\ Displaystyle \ eta}$

Un punto genérico . Por ejemplo, el punto asociado al ideal cero para cualquier esquema afín integral.

F ( n ), F ( D )

1. Si X es un esquema proyectivo con la gavilla retorcida de Serre y si F es un módulo, entonces${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle F (n) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} {\ mathcal {O}} _ {X} (n).}$

2. Si D es un divisor de Cartier y F es un módulo-( X arbitrario), entonces si D es un divisor de Weil y F es reflexivo, entonces se reemplaza F ( D ) por su casco reflexivo (y llamar al resultado todavía F ( D ).)${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle F (D) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} {\ mathcal {O}} _ {X} (D).}$

| D |

El sistema lineal completo de un divisor de Weil D en una variedad completa normal X sobre un campo k algebraicamente cerrado ; es decir, . Existe una biyección entre el conjunto de k puntos racionales de | D | y el conjunto de divisores eficaces Weil en X que son linealmente equivalente a D . Se utiliza la misma definición si D es un divisor de Cartier en una variedad completa sobre k .${\ Displaystyle | D | = \ mathbf {P} (\ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (D)))}$

[X / G]

La pila cociente de, digamos, un espacio algebraica X por una acción de un esquema de grupo G .

${\ Displaystyle X / \! / G}$

El cociente GIT de un esquema de X por una acción de un esquema de grupo G .

L ⁿ

Una notación ambigua. Por lo general, significa un n poder tensor -ésimo de L , pero también puede significar el número de auto-intersección de L . Si , la estructura gavilla en X , entonces significa la suma directa de n copias de .${\ Displaystyle L = {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$

El paquete de líneas tautológicas . Es el doble de la gavilla retorcida de Serre .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$

La gavilla retorcida de Serre . Es el dual del paquete de líneas tautológicas . También se le llama paquete de hiperplano.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$

1. Si D es un divisor efectiva Cartier en X , entonces es la inversa de la gavilla ideal de D .

2. La mayoría de las veces, es la imagen de D bajo el homomorfismo de grupos naturales del grupo de divisores Cartier al grupo Picard de X , el grupo de clases de isomorfismo de haces de línea en X .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$

3. En general, ¿ corresponde la gavilla a un divisor de Weil D (en un esquema normal )? No tiene por qué ser localmente libre, solo reflexivo .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$

4. Si D es un -divisor, a continuación, es la parte integral de D .${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p}}$

1.   es la gavilla de los diferenciales de Kähler en X .${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1}}$

2.   es el p -ésimo poder exterior de .${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1}}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$

1. Si p es 1, este es el conjunto de diferenciales logarítmicos de Kähler en X a lo largo de D (formas aproximadamente diferenciales con polos simples a lo largo de un divisor D ).

2.   es el p -ésimo poder exterior de .${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D)}$

P ( V )

La notación es ambigua. Su significado tradicional es la proyectivización de un espacio de vectores k de dimensión finita V ; es decir,

${\ displaystyle \ mathbf {P} (V) = \ operatorname {Proj} (k [V]) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} (V ^ {*}))}$

(la Proj del anillo de funciones polinómicas k [ V ]) sus y k -puntos corresponden a líneas en V . En contraste, Hartshorne y EGA de escritura P ( V ) para la Proj de la álgebra simétrica de V .

Factorial Q

Una variedad normal es -factorial si cada divisor -Weil es -Cartier.${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Especificación ( R )

El conjunto de todos los ideales primos en un anillo R con topología de Zariski; se llama el espectro primordial de R .

Especificación _X ( F )

El Spec relativa de la O _X -algebra F . También se indica mediante Spec ( F ) o simplemente Spec ( F ).

Especificar ^un ( R )

El conjunto de todas las valoraciones para un anillo R con cierta topología débil; se llama el espectro Berkovich de R .

A

abeliano

1. Una variedad abeliana es una variedad de grupo completo. Por ejemplo, considere la variedad compleja o una curva elíptica sobre un campo finito .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {2n}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

2. Un esquema abeliano es una familia (plana) de variedades abelianas.

fórmula adjunta

1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en una variedad algebraica X , ambos admiten gavillas dualizantes , entonces la fórmula adjunta dice: ${\ Displaystyle \ omega _ {D}, \ omega _ {X}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {D} = (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (D)) | _ {D}}$.

2. Si, además, X y D son suaves, entonces la fórmula equivale a decir:

${\ Displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}}$

donde son divisores canónicas en D y X .${\ Displaystyle K_ {D}, K_ {X}}$

afín

1.   El espacio afín es más o menos un espacio vectorial en el que se ha olvidado qué punto es el origen.

2. Una variedad afín es una variedad en un espacio afín

3. Un esquema afín es un esquema que es el espectro principal de algún anillo conmutativo.

4. Un morfismo se llama afín si la preimagen de cualquier subconjunto afín abierto es nuevamente afín. En términos más sofisticados, los morfismos afines se definen mediante la construcción Spec global para haces de O _X -Álgebras, definida por analogía con el espectro de un anillo . Los morfismos afines importantes son los haces de vectores y los morfismos finitos .

5. El cono afín sobre una subvariedad cerrada X de un espacio proyectivo es el Spec de la coordenada anillo homogénea de X .

geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia soluciones a ecuaciones algebraicas.

geometría algebraica sobre el campo con un elemento

Uno de los objetivos es probar la hipótesis de Riemann . Véase también el campo con un elemento y Peña, Javier López; Lorscheid, Oliver (31 de agosto de 2009). "Mapeo de F_1-land: una descripción general de las geometrías sobre el campo con un elemento". arXiv : 0909.0069 . al igual que .

grupo algebraico

Un grupo algebraico es una variedad algebraica que también es un grupo de tal manera que las operaciones de grupo son morfismos de variedades.

esquema algebraico

Un esquema separado de tipo finito sobre un campo. Por ejemplo, una variedad algebraica es un esquema algebraico irreductible reducido.

conjunto algebraico

Un conjunto algebraico sobre un campo k es un esquema separado reducido de tipo finito sobre . Un conjunto algebraico irreducible se llama variedad algebraica.${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (k)}$

espacio algebraico

Un espacio algebraico es un cociente de un esquema por la relación de equivalencia étale .

variedad algebraica

Una variedad algebraica sobre un campo k es un esquema integral separado de tipo finito sobre . Tenga en cuenta que no asumir que k es algebraicamente cerrado causa alguna patología; por ejemplo, no es una variedad ya que el anillo de coordenadas no es un dominio integral .${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (k)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {C} \ times _ {\ mathbb {R}} \ operatorname {Spec} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$

paquete de vectores algebraicos

Una gavilla localmente libre de rango finito.

amplio

Un paquete de líneas en una variedad proyectiva es amplio si su poder tensorial es muy amplio.

Geometría de Arakelov

Geometría algebraica sobre la compactificación de Spec del anillo de enteros racionales . Ver geometría de Arakelov .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

género aritmético

El género aritmético de una variedad proyectiva X de dimensión r es .${\ Displaystyle (-1) ^ {r} (\ chi ({\ mathcal {O}} _ {X}) - 1)}$

Pila de Artin

Otro término para una pila algebraica .

artiniano

0-dimensional y noetheriano. La definición se aplica tanto a un esquema como a un anillo.

B

Función Behrend

La característica de Euler ponderado de un (buen) pila X con respecto a la función Behrend es el grado de la clase fundamental virtuales de X .

Fórmula de trazas de Behrend

La fórmula de trazas de Behrend generaliza la fórmula de trazas de Grothendieck ; ambas fórmulas calculan el rastro de Frobenius en la cohomología l -ádica.

grande

Un paquete de líneas grande L en X de dimensión n es un paquete de líneas tal que .${\ Displaystyle \ Displaystyle \ limsup _ {l \ to \ infty} \ operatorname {dim} \ Gamma (X, L ^ {l}) / l ^ {n}> 0}$

morfismo biracional

Un morfismo biracional entre esquemas es un morfismo que se convierte en isomorfismo después de restringido a algún subconjunto denso abierto. Uno de los ejemplos más comunes de un mapa biracional es el mapa inducido por una explosión.

explotar

Una explosión es una transformación biracional que reemplaza un subesquema cerrado con un divisor Cartier efectivo. Precisamente, dado un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado , el estallido de X a lo largo de Z es un morfismo propio tal que (1) es un divisor de Cartier efectivo, llamado divisor excepcional y (2) es universal con respecto a (1) ). Concretamente, se construye como la relativa Proj del álgebra de Rees de con respecto a la determinación del ideal gavilla Z .${\ Displaystyle Z \ subconjunto X}$${\ Displaystyle \ pi: {\ widetilde {X}} \ to X}$${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (Z) \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle O_ {X}}$

C

Calabi – Yau

1. La métrica de Calabi-Yau es una métrica de Kähler cuya curvatura de Ricci es cero.

canónico

1. El haz canónico en una variedad normal X de dimensión n es donde i es la inclusión del locus liso U y es el haz de formas diferenciales en U de grado n . Si el campo base tiene una característica cero en lugar de normalidad, entonces se puede reemplazar i por una resolución de singularidades.${\ Displaystyle \ omega _ {X} = i _ {*} \ Omega _ {U} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {U} ^ {n}}$

2. La clase canónica en una variedad normal X es la clase divisoria tal que .${\ Displaystyle K_ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (K_ {X}) = \ omega _ {X}}$

3. El divisor canónico es un representante de la clase canónica denotada por el mismo símbolo (y no está bien definido).${\ Displaystyle K_ {X}}$

4. El anillo canónico de una variedad normal X es el anillo de sección de la gavilla canónica .

modelo canónico

1. El modelo canónico es la Proj de un anillo canónica (suponiendo que el anillo es de generación finita.)

Cartier

1. Un divisor de Cartier D efectivo en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuya gavilla ideal es invertible (localmente libre de rango uno).

Regularidad Castelnuovo-Mumford

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de una gavilla coherente F en un espacio proyectivo sobre un esquema S es el menor entero r tal que ${\ Displaystyle f: \ mathbf {P} _ {S} ^ {n} \ to S}$

${\ Displaystyle R ^ {i} f _ {*} F (ri) = 0}$

para todo i > 0.

de cadena

Un esquema es catenario , si todas las cadenas entre dos subesquemas cerrados irreductibles tienen la misma longitud. Los ejemplos incluyen prácticamente todo, por ejemplo, variedades en un campo, y es difícil construir ejemplos que no sean catenarios.

fibra central

1. Una fibra especial.

Grupo Chow

El k -ésimo grupo Chow de una variedad suave X es el grupo abeliano libre generado por subvariedades cerradas de dimensión k (grupo de k - ciclos ) equivalencias módulo racionales .${\ Displaystyle A_ {k} (X)}$

clasificación de pila

Un análogo de un espacio de clasificación para torsores en geometría algebraica; ver pila de clasificación .

cerrado

Los subesquemas cerrados de un esquema X se definen como aquellos que ocurren en la siguiente construcción. Deje que J sea un cuasi-coherente fajo de - ideales . El apoyo de la gavilla cociente es un subconjunto cerrado Z de X y es un esquema llamado el subesquema cerrado definido por el cuasi-coherente haz de ideales J . La razón por la que la definición de subesquemas cerrados se basa en tal construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, un subconjunto cerrado de un esquema no tiene una estructura única como subesquema.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} / J}$${\ Displaystyle (Z, ({\ mathcal {O}} _ {X} / J) | _ {Z})}$

Cohen – Macaulay

Un esquema se llama Cohen-Macaulay si todos los anillos locales son Cohen-Macaulay . Por ejemplo, los esquemas regulares y Spec k [ x, y ] / ( xy ) son Cohen-Macaulay, pero no lo es.

gavilla coherente

Una gavilla coherente en un esquema noetheriano X es una gavilla casi coherente que se genera finitamente como módulo O _X.

cónico

Una curva algebraica de grado dos.

conectado

El esquema está conectado como un espacio topológico. Dado que los componentes conectados refinan los componentes irreductibles, cualquier esquema irreducible está conectado, pero no al revés. Un esquema afín Spec (R) está conectado si el anillo R no posee idempotentes distintos de 0 y 1; dicho anillo también se denomina anillo conectado . Los ejemplos de esquemas conectados incluyen el espacio afín , el espacio proyectivo y un ejemplo de un esquema que no está conectado es Spec ( k [ x ] × k [ x ])

compactificación

Véase, por ejemplo, el teorema de compactación de Nagata .

Anillo de Cox

Una generalización de un anillo de coordenadas homogéneo. Ver anillo de Cox .

crepante

Un morfismo crepante entre variedades normales es un morfismo tal que .${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle f ^ {*} \ omega _ {Y} = \ omega _ {X}}$

curva

Una variedad algebraica de dimensión uno.

D

deformación

Sea un morfismo de esquemas y X un S -esquema. Entonces, una deformación X 'de X es un esquema S ' junto con un cuadrado de retroceso en el que X es el retroceso de X '(normalmente se supone que X ' es plano ).${\ Displaystyle S \ a S '}$

locus de degeneración

Dado un mapa de paquete de vectores sobre una variedad X (es decir, un esquema X -morfismo entre los espacios totales de los paquetes), el locus de degeneración es el locus (teórico del esquema) ${\ Displaystyle f: E \ a F}$

${\ Displaystyle X_ {k} (f) = \ {x \ in X | \ operatorname {rk} (f (x)) \ leq k \}}$.

degeneración

1. Se dice que un esquema X degenera en un esquema (llamado límite de X ) si hay un esquema con fibra genérica X y fibra especial .${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle \ pi: Y \ to \ mathbf {A} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle X_ {0}}$

2. Una degeneración plana es una degeneración plana.${\ Displaystyle \ pi}$

dimensión

La dimensión , por definición la longitud máxima de una cadena de subesquemas cerrados irreductibles, es una propiedad global. Se puede ver localmente si un esquema es irreductible. Depende solo de la topología, no de la estructura de la estructura. Véase también Dimensión global . Ejemplos: esquemas equidimensionales en dimensión 0: esquemas artinianos , 1: curvas algebraicas , 2: superficies algebraicas .

la licenciatura

1. El grado de un paquete de líneas L en una variedad completa es un número entero d tal que .${\ Displaystyle \ chi (L ^ {\ otimes m}) = {d \ over n!} m ^ {n} + O (m ^ {n-1})}$

2. Si x es un ciclo de una variedad completa sobre un campo k , entonces su grado es .${\ Displaystyle f: X \ to \ operatorname {Spec} k}$${\ Displaystyle f _ {*} (x) \ in A_ {0} (\ operatorname {Spec} k) = \ mathbb {Z}}$

2. Para conocer el grado de morfismo finito, véase morfismo de variedades # Grado de morfismo finito .

geometría algebraica derivada

Una aproximación a la geometría algebraica usando espectros de anillo ( conmutativos ) en lugar de anillos conmutativos ; ver geometría algebraica derivada .

divisoria

1. Un divisorial gavilla en una variedad normal es una gavilla reflexiva de la forma O _X ( D ) para algunos Weil divisor D .

2. Un esquema divisorio es un esquema que admite una amplia familia de poleas invertibles. Un esquema que admite una amplia gavilla invertible es un ejemplo básico.

dominante

Un morfismo f  : X → Y se llama dominante , si la imagen f ( X ) es densa . Un morfismo de esquemas afines Spec A → Spec B es denso si y sólo si el núcleo del mapa correspondiente B → A está contenido en el nilradical de B .

complejo dualizante

Ver dualidad coherente .

gavilla dualizadora

En un esquema proyectivo de Cohen-Macaulay de dimensión pura n , el haz de dualización es un haz coherente en X tal que ${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle H ^ {ni} (X, F ^ {\ vee} \ otimes \ omega) \ simeq H ^ {i} (X, F) ^ {*}}$

se mantiene para cualquier gavilla F en X localmente libre ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva suave, entonces es una gavilla canónica .

mi

Éléments de géométrie algébrique

El EGA fue un intento incompleto de sentar las bases de la geometría algebraica basada en la noción de esquema , una generalización de una variedad algebraica. Séminaire de géométrie algébrique retoma donde lo dejó la EGA. Hoy es una de las referencias estándar en geometría algebraica.

curva elíptica

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave del género uno.

esencialmente de tipo finito

Localización de un esquema de tipo finito.

étale

Un morfismo f  : Y → X es étale si es plano y sin ramificar. Hay varias otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades suaves y sobre un campo algebraicamente cerrado , los morfismos étale son precisamente los que inducen un isomorfismo de espacios tangentes , lo que coincide con la noción habitual de mapa étale en geometría diferencial. Los morfismos de Étale forman una clase muy importante de morfismos; se utilizan para construir la topología llamada étale y consecuentemente la cohomología étale , que es hoy en día una de las piedras angulares de la geometría algebraica.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ displaystyle df: T_ {y} Y \ rightarrow T_ {f (y)} X}$

Secuencia de Euler

La secuencia exacta de gavillas:

${\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ to T \ mathbf {P} ^ {n} \ to 0,}$

donde P ⁿ es el espacio proyectivo sobre un campo y el último término distinto de cero es la gavilla tangente , se llama secuencia de Euler .

teoría de la intersección equivariante

Véase el capítulo II de http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F -regular

Relacionado con el morfismo de Frobenius .

Fano

Una variedad Fano es una variedad X suave y proyectiva cuyo haz anticanónico es amplio.${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {- 1}}$

fibra

Dado entre esquemas, la fibra de f sobre y es, como conjunto, la preimagen ; tiene la estructura natural de un esquema sobre el campo de residuos de y como producto de fibra , donde tiene la estructura natural de un esquema sobre Y como Espec del campo de residuos de y .${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ in X | f (x) = y \}}$${\ Displaystyle X \ times _ {Y} \ {y \}}$${\ Displaystyle \ {y \}}$

producto de fibra

1. Otro término para el " retroceso " en la teoría de categorías.

2. Una pila dada para : un objeto sobre B es un triple ( x , y , ψ), x en F ( B ), y en H ( B ), ψ un isomorfismo en G ( B ); una flecha de ( x , y , ψ) a ( x ' , y ' , ψ ') es un par de morfismos tales que . El cuadrado resultante con proyecciones obvias no conmuta; más bien, conmuta al isomorfismo natural; es decir, 2 viajes diarios .${\ Displaystyle F \ times _ {G} H}$${\ Displaystyle f: F \ a G, g: H \ a G}$${\ Displaystyle f (x) {\ overset {\ sim} {\ to}} g (y)}$${\ Displaystyle \ alpha: x \ to x ', \ beta: y \ to y'}$${\ Displaystyle \ psi '\ circ f (\ alpha) = g (\ beta) \ circ \ psi}$

final

Una de las ideas fundamentales de Grothendieck es enfatizar las nociones relativas , es decir, las condiciones de los morfismos en lugar de las condiciones de los esquemas mismos. La categoría de esquemas tiene un objeto final , el espectro del anillo de números enteros; para que cualquier esquema se acabe , y de una manera única.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Spec}} (\ mathbb {Z})}$

finito

El morfismo f  : Y → X es finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada uno sea ​​afín, digamos de la forma , y además se genere finitamente como un módulo. Ver morfismo finito . Los morfismos finitos son cuasi-finitos, pero no todos los morfismos que tienen fibras finitas son cuasi-finitos, y los morfismos de tipo finito no suelen ser cuasi-finitos.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} B}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

tipo finito (localmente)

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra. El morfismo f  : Y → X es de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por un número finito de conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} B}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} B}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

fibras finitas

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.${\ Displaystyle x \ in X}$

presentación finita

Si y es un punto de Y , entonces el morfismo f es de presentación finita en y (o finitamente presentado en y ) si hay un vecindario afín abierto U de f (y) y un vecindario afín abierto V de y tal que f ( V ) ⊆  U y es un álgebra finita sobre . El morfismo f es localmente finita de presentación si se presenta un número finito en todos los puntos de Y . Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente de presentación finita si, y sólo si, es localmente de tipo finito. El morfismo f  : Y → X es de presentación finita (o Y se presenta finitamente sobre X ) si es localmente de presentación finita, cuasi-compacto y cuasi-separado. Si X es localmente noetheriano, entonces f es de presentación finita si, y solo si, es de tipo finito.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$

variedad de bandera

La variedad de banderas parametriza una bandera de espacios vectoriales.

plano

Un morfismo es plano si da lugar a un mapa plano sobre tallos. Al ver un morfismo f  : Y → X como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de , el significado geométrico de la planitud podría describirse aproximadamente diciendo que las fibras no varían demasiado.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (x)}$

formal

Ver esquema formal .

GRAMO

g ^r _d .

Dada una curva C , un divisor D sobre ella y un subespacio vectorial , se dice que el sistema lineal es ag ^r _d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag ^r _d si existe tal sistema lineal.${\ Displaystyle V \ subconjunto H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} (D))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$

Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg

El teorema de reconstrucción Gabriel-Rosenberg establece un esquema de X se puede recuperar de la categoría de gavillas cuasi-coherente en X . El teorema es un punto de partida para la geometría algebraica no conmutativa ya que, tomando el teorema como axioma, definir un esquema no conmutativo equivale a definir la categoría de haces cuasi coherentes en él. Véase también https://mathoverflow.net/q/16257

Paquete G

Un paquete G principal.

punto genérico

Un punto denso.

género

Ver # género aritmético , # género geométrico .

fórmula de género

La fórmula de género para una curva nodal en el plano proyectivo dice que el género de la curva se da como

${\ Displaystyle g = (d-1) (d-2) / 2- \ delta}$

donde d es el grado de la curva y δ es el número de nodos (que es cero si la curva es suave).

género geométrico

El género geométrico de una variedad proyectiva suave X de dimensión n es

${\ Displaystyle \ dim \ Gamma (X, \ Omega _ {X} ^ {n}) = \ dim \ operatorname {H} ^ {n} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

(donde la igualdad es el teorema de dualidad de Serre ).

punto geométrico

El espectro principal de un campo algebraicamente cerrado.

propiedad geométrica

Una propiedad de un esquema X sobre un campo k es " geométrica " si se cumple para cualquier extensión de campo .${\ Displaystyle X_ {E} = X \ times _ {\ operatorname {Spec} k} {\ operatorname {Spec} E}}$${\ Displaystyle E / k}$

cociente geométrico

El cociente geométrico de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un buen cociente tal que las fibras son órbitas.

gerbe

Un gerbe es (reloj) una pila que no está vacía localmente y en la que dos objetos son isomorfos localmente.

Cociente GIT

El cociente GIT es cuándo y cuándo .${\ Displaystyle X / \! / G}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A ^ {G})}$${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} A}$${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} (A ^ {G})}$${\ Displaystyle X = \ operatorname {Proj} A}$

buen cociente

El buen cociente de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un morfismo invariante tal que${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G} = {\ mathcal {O}} _ {Y}.}$

Gorenstein

1. Un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein .

2. Se dice que una variedad normal es -Gorenstein si el divisor canónico en ella es -Cartier (y no es necesario que sea Cohen-Macaulay).${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

3. Algunos autores llaman a una variedad normal Gorenstein si el divisor canónico es Cartier; tenga en cuenta que este uso es incompatible con el significado 1.

Teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider

El teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider extiende el teorema de desaparición de Kodaira a haces de imágenes directas superiores; ver también https://arxiv.org/abs/1404.1827

Anillo de variedades Grothendieck

El anillo de variedades de Grothendieck es el grupo abeliano libre generado por clases de variedades de isomorfismo con la relación:

${\ Displaystyle [X] = [Z] + [XZ]}$

donde Z es una subvariedad cerrada de una variedad X y equipada con la multiplicación

${\ Displaystyle [X] \ cdot [Y] = [X \ times Y].}$

Teorema de desaparición de Grothendieck

El teorema de desaparición de Grothendieck se refiere a la cohomología local .

esquema de grupo

Un esquema de grupo es un esquema cuyos conjuntos de puntos tienen las estructuras de un grupo .

variedad de grupo

Un término antiguo para un grupo algebraico "suave".

H

Polinomio de Hilbert

El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un campo es la característica de Euler .${\ Displaystyle \ chi ({\ mathcal {O}} _ {X} (s))}$

Paquete Hodge

El paquete de Hodge en el espacio de módulos de curvas (de género fijo) es aproximadamente un paquete vectorial cuya fibra sobre una curva C es el espacio vectorial .${\ Displaystyle \ Gamma (C, \ omega _ {C})}$

hiperelíptico

Una curva es hiperelíptica si tiene un g ¹ ₂ (es decir, hay un sistema lineal de dimensión 1 y grado 2).

paquete de hiperplano

Otro término para la gavilla retorcida de Serre . Es el dual del paquete de líneas tautológicas (de ahí el término).${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$

I

imagen

Si f  : Y → X es cualquier morfismo de esquemas, la imagen de la teoría de esquemas de f es el subesquema cerrado único i  : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal :

1. f factores a través de i ,
2. si j  : Z ′ → X es cualquier subesquema cerrado de X tal que f factoriza a través de j , entonces i también factoriza a través de j .

Esta noción es distinta de la imagen habitual de la teoría de conjuntos de f , f ( Y ). Por ejemplo, el espacio subyacente de Z siempre contiene (pero no es necesariamente igual a) el cierre Zariski de f ( Y ) en X , así que si Y es cualquier subesquema abierto (y no cerrado) de X y f es el mapa de la inclusión, entonces Z es diferente de f ( Y ). Cuando Y se reduce, entonces Z es el cierre de Zariski de f ( Y ) dotado de la estructura de subesquema cerrado reducido. Pero, en general, a menos que f es cuasi-compacto, la construcción de Z no es local en X .

inmersión

Las inmersiones f  : Y → X son mapas que factorizan a través de isomorfismos con subesquemas. Específicamente, una inmersión abierta se factores a través de un isomorfismo con un subesquema abierto y un factor de inmersión cerrado a través de un isomorfismo con un subesquema cerrado. De manera equivalente, f es una inmersión cerrada si, y solo si, induce un homeomorfismo desde el espacio topológico subyacente de Y a un subconjunto cerrado del espacio topológico subyacente de X , y si el morfismo es sobreyectivo. Una composición de inmersiones es nuevamente una inmersión. Algunos autores, como Hartshorne en su libro Algebraic Geometry y Q. Liu en su libro Algebraic Geometry and Arithmetic Curves , definen las inmersiones como el compuesto de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada. Estas inmersiones son inmersiones en el sentido anterior, pero lo contrario es falso. Además, según esta definición, la combinación de dos inmersiones no es necesariamente una inmersión. Sin embargo, las dos definiciones son equivalentes cuando f es cuasi-compacto. Tenga en cuenta que una inmersión abierta se describe completamente por su imagen en el sentido de espacios topológicos, mientras que una inmersión cerrada no lo es: y puede ser homeomorfa pero no isomorfa. Esto sucede, por ejemplo, si I es el radical de J pero J no es un ideal radical. Cuando se especifica un subconjunto cerrado de un esquema sin mencionar la estructura del esquema, usualmente se entiende la llamada estructura de esquema reducida , es decir, la estructura del esquema correspondiente al ideal radical único que consiste en todas las funciones que desaparecen en ese subconjunto cerrado.${\ Displaystyle f ^ {\ sharp}: {\ mathcal {O}} _ {X} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A / I}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A / J}$

esquema ind

Un esquema ind es un límite inductivo de inmersiones cerradas de esquemas.

gavilla invertible

Un fajo libre localmente de rango uno. De manera equivalente, es un torsor para el grupo multiplicativo (es decir, paquete de líneas).${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$

integral

Un esquema que es tanto reducido como irreducible se llama integral . Para los esquemas localmente noetherianos, ser integral equivale a ser un esquema conectado que está cubierto por los espectros de dominios integrales . (Estrictamente hablando, esta no es una propiedad local, porque la unión disjunta de dos esquemas integrales no es integral. Sin embargo, para esquemas irreductibles, es una propiedad local). Por ejemplo, el esquema Spec k [ t ] / f , f polinomio irreducible es integral, mientras que Spec A × B . ( A , B ≠ 0) no lo es.

irreducible

Un esquema X se dice que es irreducible cuando (como un espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados excepto si uno es igual a X . Usando la correspondencia de ideales primos y puntos en un esquema afín, esto significa que X es irreductible si X está conectado y todos los anillos A _i tienen exactamente un ideal primo mínimo . (Por lo tanto, los anillos que poseen exactamente un ideal primo mínimo también se denominan irreductibles ). Cualquier esquema noetheriano puede escribirse de manera única como la unión de un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos irreductibles máximos, llamados sus componentes irreductibles . El espacio afín y el espacio proyectivo son irreductibles, mientras que Spec k [ x, y ] / ( xy ) = no lo es.

J

Variedad jacobiana

La variedad jacobiana de una curva proyectiva X es la parte de grado cero de la variedad Picard .${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$

K

Teorema de desaparición de Kempf

El teorema de desaparición de Kempf se refiere a la desaparición de la cohomología superior de una variedad de bandera.

klt

Abreviatura de " kawamata log terminal "

Dimensión de Kodaira

1. La dimensión Kodaira (también llamada la dimensión Iitaka ) de un semi-amplia línea de haz L es la dimensión de Proj del anillo de la sección de L .

2. La dimensión Kodaira de una variedad normal X es la dimensión Kodaira de su haz canónico.

Teorema de desaparición de Kodaira

Vea el teorema de desaparición de Kodaira .

Mapa de Kuranishi

Ver estructura de Kuranishi .

L

Número largo

Consulte el número largo .

estructura de nivel

ver http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

linealización

Otro término para la estructura de un haz equivariante / paquete de vectores.

local

La mayoría de las propiedades importantes de los esquemas son de naturaleza local , es decir, un esquema de X tiene una propiedad determinada P si y sólo si por cualquier cubierta de X por subsistemas abiertos x _i , es decir, X = X _i , cada X _i tiene la propiedad P . Suele darse el caso de que basta con comprobar una portada, no todas las posibles. También se dice que cierta propiedad es Zariski-local , si es necesario distinguir entre la topología Zariski y otras topologías posibles, como la topología étale . Considere un esquema X y una cubierta por subesquemas abiertos afines Spec A _i . Usando el diccionario entre anillos (conmutativos) y esquemas afines, las propiedades locales son, por tanto, propiedades de los anillos A _i . Una propiedad P es local en el sentido anterior, si la propiedad correspondiente de los anillos es estable en la localización . Por ejemplo, podemos hablar de esquemas localmente noetherianos , es decir, aquellos que están cubiertos por los espectros de los anillos noetherianos . El hecho de que las localizaciones de un anillo noetheriano sigan siendo noetheriano significa que la propiedad de un esquema de ser localmente noetheriano es local en el sentido anterior (de ahí el nombre). Otro ejemplo: si un anillo es reducido (es decir, no tiene elementos nilpotentes distintos de cero ), también lo son sus localizaciones. Un ejemplo de propiedad no local es la separación (consulte la definición a continuación). Cualquier esquema afín está separado, por lo tanto, cualquier esquema está separado localmente. Sin embargo, las piezas afines pueden pegarse patológicamente para producir un esquema no separado. La siguiente es una lista (no exhaustiva) de propiedades locales de los anillos, que se aplican a los esquemas. Sea X = Spec A _i una cobertura de un esquema por subesquemas afines abiertos. Para mayor precisión, sea k un campo en el siguiente. Sin embargo, la mayoría de los ejemplos también funcionan con los enteros Z como base, o incluso con bases más generales. Conectado, irreductible, reducido, integral, normal, regular, Cohen-Macaulay, localmente noetheriano, dimensión, catenaria,${\ Displaystyle \ cup}$ ${\ Displaystyle \ cup}$

intersección completa local

Los anillos locales son anillos de intersección completos . Ver también: incrustación regular .

uniformización local

La uniformización local es un método de construcción de una forma más débil de resolución de singularidades mediante anillos de valoración .

localmente factorial

Los anillos locales son dominios de factorización únicos .

localmente de tipo finito

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines de modo que cada imagen inversa esté cubierta por conjuntos abiertos afines donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} B}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$${\ Displaystyle {\ text {Spec}} A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

localmente noetherian

Los A _i son anillos noetherianos . Si además un número finito de tales espectros afines cubre X , el esquema se llama noetheriano . Si bien es cierto que el espectro de un anillo noetheriano es un espacio topológico noetheriano , lo contrario es falso. Por ejemplo, la mayoría de los esquemas en geometría algebraica de dimensión finita son localmente noetherianos, pero no lo son.${\ Displaystyle GL _ {\ infty} = \ cup GL_ {n}}$

geometría logarítmica

estructura de registro

Ver estructura de registro . La noción se debe a Fontaine-Illusie y Kato.

grupo de bucle

Ver grupo de bucles (el artículo vinculado no discute un grupo de bucles en geometría algebraica; por ahora, vea también el esquema ind ).

METRO

módulos

Véase, por ejemplo, el espacio de módulos .

Si bien gran parte del trabajo inicial sobre módulos, especialmente desde [Mum65], puso el énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia módulos functores y pilas de módulos. La tarea principal es comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de "familias agradables", la existencia de un espacio de módulos burdos debería ser casi automática. El espacio de módulos burdos ya no es el objeto fundamental, más bien es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el functor de módulos o en la pila de módulos.

Kollár, János, Capítulo 1 , "Libro sobre módulos de superficies".

Programa de modelo mínimo de Mori

El programa de modelo mínimo es un programa de investigación que tiene como objetivo hacer una clasificación biracional de variedades algebraicas de dimensión mayor que 2.

morfismo

1. Un morfismo de variedades algebraicas viene dado localmente por polinomios.

2. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios anillados localmente .

3. Un morfismo de pilas (sobre, digamos, la categoría de esquemas S ) es un funtor tal que dónde están las estructuras se correlaciona con la categoría base.${\ Displaystyle f: F \ to G}$${\ Displaystyle P_ {G} \ circ f = P_ {F}}$${\ Displaystyle P_ {F}, P_ {G}}$

norte

nef

Ver paquete de líneas nef .

no singular

Un término arcaico para "suave" como en una variedad suave .

normal

1. Un esquema integral se llama normal , si los anillos locales son dominios integralmente cerrados . Por ejemplo, todos los esquemas regulares son normales, mientras que las curvas singulares no lo son.

2. Se dice que una curva suave es k -normal si las hipersuperficies de grado k cortan la serie lineal completa . Es proyectivamente normal si es k -normal para todo k > 0. Por tanto, se dice que "una curva es proyectivamente normal si el sistema lineal que la incrusta está completo". El término "linealmente normal" es sinónimo de 1-normal.${\ Displaystyle C \ subconjunto \ mathbf {P} ^ {r}}$${\ Displaystyle | {\ mathcal {O}} _ {C} (k) |}$

3. Se dice que una subvariedad cerrada es proyectivamente normal si la cobertura afín sobre X es un esquema normal ; es decir, el anillo de coordenadas homogéneo de X es un dominio integralmente cerrado. Este significado es consistente con el de 2.${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbf {P} ^ {r}}$

normal

1. Si X es un subesquema cerrado de un esquema Y con gavilla ideal I , entonces la gavilla normal a X es . Si el incrustado de X en Y es regular , es localmente libre y se llama paquete normal .${\ Displaystyle (I / I ^ {2}) ^ {*} = {\ mathcal {H}} om _ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} (I / I ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

2. El cono normal a X es . si X está incrustado regularmente en Y , a continuación, el cono normal es isomorfo a , el espacio total del haz de normal a X .${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} ({\ mathcal {S}} ym (I / I ^ {2}))}$

cruces normales

Ver cruces normales .

normalmente generado

Se dice que un paquete de líneas L en una variedad X se genera normalmente si, para cada número entero n > 0, el mapa natural es sobreyectivo.${\ Displaystyle \ Gamma (X, L) ^ {\ otimes n} \ to \ Gamma (X, L ^ {\ otimes n})}$

O

abierto

1. Un morfismo f  : Y → X de esquemas se llama abierto ( cerrado ), si el mapa subyacente de espacios topológicos está abierto (cerrado, respectivamente), es decir, si los subesquemas abiertos de Y se asignan a subesquemas abiertos de X (y de manera similar para cerrado). Por ejemplo, los morfismos planos finamente presentados están abiertos y los mapas adecuados están cerrados.

2. Un subesquema abierto de un esquema X es un subconjunto abierto U con estructura de haz .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} | _ {U}}$

orbifold

Hoy en día, un orbifold se define a menudo como una pila de Deligne-Mumford sobre la categoría de variedades diferenciables.

PAG

p -grupo divisible

Ver p -grupo divisible (aproximadamente un análogo de los puntos de torsión de una variedad abeliana).

lápiz

Un sistema lineal de dimensión uno.

Grupo picard

El grupo Picard de X es el grupo de las clases de isomorfismos de haces de líneas en X , siendo la multiplicación el producto tensorial .

Incrustación Plücker

La incrustación de Plücker es la incrustación cerrada de la variedad Grassmannian en un espacio proyectivo.

plurigenus

El n -ésimo plurigenus de una variedad proyectiva suave es . Véase también el número de Hodge .${\ Displaystyle \ dim \ Gamma (X, \ omega _ {X} ^ {\ otimes n})}$

Mapa de residuos de Poincaré

Ver residuo de Poincaré .

punto

Un esquema es un espacio anillado localmente , por lo tanto, a fortiori, un espacio topológico , pero los significados de point of son tres: ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

1. un punto del espacio topológico subyacente;${\ Displaystyle P}$
2. un punto valorado de es un morfismo de a , para cualquier esquema ;${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$
3. un punto geométrico , donde se define sobre (está equipado con un morfismo a) , donde es un

campo , es un morfismo desde a donde es un cierre algebraico de .${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ textrm {Spec}} (K)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ overline {K}}}$${\ Displaystyle K}$ Los puntos geométricos son lo que en los casos más clásicos, por ejemplo las variedades algebraicas que son variedades complejas , serían los puntos de sentido ordinario. Los puntos del espacio subyacente incluyen análogos de los puntos genéricos (en el sentido de Zariski , no el de André Weil ), que se especializan en puntos de sentido ordinario. Los puntos valorados son pensados, a través del lema de Yoneda , como una forma de identificarse con el functor representable que configura. Históricamente, hubo un proceso mediante el cual la geometría proyectiva agregaba más puntos ( por ejemplo , puntos complejos, línea en el infinito ) para simplificar la geometría refinando los objetos básicos. Los puntos valorados fueron un gran paso adelante. Como parte del enfoque predominante de Grothendieck , hay tres nociones correspondientes de fibra de un morfismo: la primera es la simple imagen inversa de un punto. Los otros dos se forman creando productos de fibra de dos morfismos. Por ejemplo, una fibra geométrica de un morfismo se considera como ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle h_ {S}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S ^ {\ prime} \ to S}$

${\ Displaystyle S ^ {\ prime} \ times _ {S} {\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})}$.

Esto hace que la extensión de los esquemas afines , donde es solo el producto tensorial de las álgebras R , a todos los esquemas de la operación del producto de fibra, sea un resultado significativo (aunque técnicamente anodino).

polarización

una incrustación en un espacio proyectivo

Proyecto

Ver construcción del proyecto .

fórmula de proyección

La fórmula de proyección dice que, para un morfismo de esquemas, una -module y un local libre de -module de rango finito, hay un isomorfismo natural, ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ Displaystyle f _ {*} (F \ otimes f ^ {*} E) = (f _ {*} F) \ otimes E}$

(en resumen, es lineal con respecto a la acción de las poleas localmente libres). ${\ Displaystyle f _ {*}}$

descriptivo

1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo.

2. Un esquema proyectivo sobre un sistema S es un S -Esquema que los factores a través de algo de espacio proyectivo como un subesquema cerrado.${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {S} ^ {N} \ to S}$

3. Los morfismos proyectivos se definen de manera similar a los morfismos afines: f  : Y → X se llama proyectivo si se factoriza como una inmersión cerrada seguida de la proyección de un espacio proyectivo a . Tenga en cuenta que esta definición es más restrictiva que la de EGA , II.5.5.2. Este último define que es proyectivo si está dado por el Proj global de un O _X -Álgebra graduada cuasi coherente de manera que se genera finitamente y genera el álgebra . Ambas definiciones coinciden cuando es afín o más en general si es cuasi-compacto, separado y admite un haz amplio, por ejemplo, si es un subesquema abierto de un espacio proyectivo sobre un anillo .${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {X} ^ {n}: = \ mathbb {P} ^ {n} \ times _ {\ mathrm {Spec} \ mathbb {Z}} X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle A}$

paquete proyectivo

Si E es un haz localmente libre en un esquema X , el paquete proyectivo P ( E ) de E es el Proj global del álgebra simétrica del dual de E :

${\ Displaystyle \ mathbf {P} (E) = \ mathbf {Proj} (\ operatorname {Sym} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (E ^ {\ vee})).}$

Tenga en cuenta que esta definición es estándar hoy en día (por ejemplo, la teoría de la intersección de Fulton ) pero difiere de EGA y Hartshorne (no toman un doble).

proyectivamente normal

Ver #normal .

adecuado

Un morfismo es apropiado si está separado, universalmente cerrado (es decir, de manera que los productos de fibra con él sean mapas cerrados) y de tipo finito. Los morfismos proyectivos son apropiados; pero lo contrario no es cierto en general. Véase también variedad completa . Una propiedad profunda de los morfismos propios es la existencia de una factorización de Stein , es decir, la existencia de un esquema intermedio tal que un morfismo puede expresarse como uno con fibras conectadas, seguido de un morfismo finito.

propiedad P

Sea P una propiedad de un esquema que es estable bajo cambio de base (tipo finito, propio, suave, étale, etc.). A continuación, un morfismo representable se dice que tiene la propiedad P si, por cualquier con B un esquema, el cambio de base tiene la propiedad P .${\ Displaystyle f: F \ to G}$${\ Displaystyle B \ to G}$${\ Displaystyle F \ times _ {G} B \ to B}$

dimensión pura

Un esquema tiene dimensión d pura si cada componente irreducible tiene dimensión d .

Q

casi coherente

Una gavilla casi coherente en un esquema X de Noetheiran es una gavilla de módulos O _X que se dan localmente por módulos.

cuasi compacto

Un morfismo f  : Y → X se llama cuasi-compacto , si para alguna (equivalentemente: cada) cubierta afín abierta de X por alguna U _i = Spec B _i , las preimágenes f ⁻¹ ( U _i ) son cuasi-compactas .

cuasi-finito

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.${\ Displaystyle x \ in X}$

cuasi proyectivo

Una variedad cuasi-proyectiva es una subvariedad localmente cerrada de un espacio proyectivo.

casi separado

Un morfismo f  : Y → X se llama cuasi-separado o ( Y está cuasi-separado sobre X ) si el morfismo diagonal Y → Y × _X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y se llama cuasi separado si Y está cuasi separado sobre Spec ( Z ).

Esquema de cotización

Un esquema de cotización parametriza cocientes de roldanas libres localmente en un esquema proyectivo.

pila de cociente

Generalmente denotado por [ X / G ], una pila de cocientes generaliza un cociente de un esquema o variedad.

R

racional

1. Sobre un campo algebraicamente cerrado, una variedad es racional si es biracional para un espacio proyectivo. Por ejemplo, las curvas racionales y las superficies racionales son aquellas biracionales .${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}, \ mathbb {P} ^ {2}}$

2. Dado un campo k y un esquema relativo X → S , un punto k -racional de X es un S -morfismo .${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (k) \ to X}$

función racional

Un elemento en el campo de función donde el límite corre sobre todas las coordenadas anillos de subconjuntos abiertos U de un (irreducible) variedad algebraica X . Véase también campo de función (teoría de esquemas) .${\ Displaystyle k (X) = \ varinjlim k [U]}$

curva normal racional

Una curva normal racional es la imagen de

${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} \ to \ mathbf {P} ^ {d}, \, (s: t) \ mapsto (s ^ {d}: s ^ {d-1} t: \ cdots: t ^ {d})}$.

Si d = 3, también se le llama cúbico retorcido .

singularidades racionales

Una variedad X sobre un campo de característica cero tiene singularidades racionales si hay una resolución de singularidades tal que y .${\ Displaystyle f: X '\ a X}$${\ Displaystyle f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X '}) = {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle R ^ {i} f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X '}) = 0, \, i \ geq 1}$

reducido

1. Un anillo conmutativo es reducida si no tiene elementos no nulos nilpotentes, es decir, su nilradical es el ideal cero, . De manera equivalente, se reduce si es un esquema reducido.${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ sqrt {(0)}} = (0)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

2. Un esquema X se reduce si sus tallos son anillos reducidos. De manera equivalente, X se reduce si, para cada subconjunto abierto , es un anillo reducido, es decir, no tiene secciones nilpotentes distintas de cero.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ Displaystyle X}$

gavilla reflexiva

Un haz coherente es reflexivo si el mapa canónico del segundo dual es un isomorfismo.

regular

Un esquema regular es un esquema en el que los anillos locales son anillos locales regulares . Por ejemplo, las variedades suaves sobre un campo son regulares, mientras que Spec k [ x, y ] / ( x ² + x ³ - y ² ) = no lo es.

incrustación regular

Una inmersión cerrada es una incrustación regular si cada punto de X tiene una vecindad afín en Y, de modo que el ideal de X se genera mediante una secuencia regular . Si i es una incrustación regular, entonces la gavilla conormal de i , es decir, cuando es la gavilla ideal de X , está localmente libre.${\ Displaystyle i: X \ hookrightarrow Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$

función regular

Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín .

morfismo representable

Un morfismo de pilas tal que, para cualquier morfismo de un esquema B , el cambio de base es un espacio algebraico. Si "espacio algebraico" se reemplaza por "esquema", entonces se dice que es fuertemente representable.${\ Displaystyle F \ to G}$${\ Displaystyle B \ to G}$${\ Displaystyle F \ times _ {G} B}$

resolución de singularidades

Una resolución de singularidades de un esquema X es un morfismo biracional apropiado tal que Z es suave .${\ Displaystyle \ pi: Z \ to X}$

Fórmula de Riemann-Hurwitz

Dado un morfismo separable finito entre curvas proyectivas suaves, si está dócilmente ramificado (sin ramificación salvaje); por ejemplo, sobre un campo de característica cero, la fórmula de Riemann-Hurwitz relaciona el grado de π, los géneros de X , Y y los índices de ramificación : ${\ Displaystyle \ pi: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle 2g (X) -2 = \ operatorname {deg} (\ pi) (2g (Y) -2) + \ sum _ {y \ in Y} (e_ {y} -1)}$.

Hoy en día, la fórmula se ve como una consecuencia de la fórmula más general (que es válida incluso si π no es dócil):

${\ Displaystyle K_ {X} \ sim \ pi ^ {*} K_ {Y} + R}$

donde significa una equivalencia lineal y es el divisor de la gavilla cotangente relativa (llamada diferente ).${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle R = \ sum _ {P \ in X} \ operatorname {length} _ {{\ mathcal {O}} _ {P}} (\ Omega _ {X / Y}) P}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$

Fórmula de Riemann-Roch

1. Si L es un haz de líneas de grado d en una curva proyectiva suave del género g , entonces la fórmula de Riemann-Roch calcula la característica de Euler de L :

${\ Displaystyle \ chi (L) = d-g + 1}$.

Por ejemplo, la fórmula implica que el grado del divisor canónico K es 2 g - 2.

2. La versión general se debe a Grothendieck y se llama fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch . Dice: si es un morfismo adecuado con X suave , S y si E es un paquete de vectores en X , entonces como igualdad en el grupo de Chow racional${\ Displaystyle \ pi: X \ to S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ch} (\ pi _ {!} E) \ cdot \ operatorname {td} (S) = \ pi _ {*} (\ operatorname {ch} (E) \ cdot \ operatorname {td} (X))}$

donde , significa un carácter de Chern y una clase de Todd del haz tangente de un espacio y, sobre los números complejos, es una integración a lo largo de las fibras . Por ejemplo, si la base S es un punto, X es una curva suave de género g y E es una línea de haz de L , entonces el lado izquierdo se reduce a la característica de Euler mientras que el lado derecho es${\ Displaystyle \ pi _ {!} = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} R ^ {i} \ pi _ {*}}$${\ Displaystyle \ operatorname {ch}}$${\ Displaystyle \ operatorname {td}}$${\ Displaystyle \ pi _ {*}}$${\ Displaystyle \ pi _ {*} (e ^ {c_ {1} (L)} (1-c_ {1} (T ^ {*} X) / 2)) = \ operatorname {deg} (L) - g + 1.}$

rígido

Toda deformación infinitesimal es trivial. Por ejemplo, el espacio proyectivo es rígido desde (y usando el mapa Kodaira-Spencer ).${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {1} (\ mathbf {P} ^ {n}, T _ {\ mathbf {P} ^ {n}}) = 0}$

rigidizar

Un término heurístico, aproximadamente equivalente a "matar automorfismos". Por ejemplo, se podría decir "introducimos estructuras de nivel para rigidizar la situación geométrica".

S

Según el propio punto de vista de Grothendieck, casi no debería haber una historia de los esquemas, sino sólo una historia de la resistencia a ellos: ... No hay una pregunta histórica seria de cómo Grothendieck encontró su definición de esquemas. Estaba en el aire. Serre ha dicho bien que nadie inventó esquemas (conversación 1995). La pregunta es, ¿qué le hizo creer a Grothendieck que debería usar esta definición para simplificar un artículo de 80 páginas de Serre en unas 1000 páginas de Éléments de géométrie algébrique ?

[1]

esquema

Un esquema es un espacio anillado localmente que es localmente un espectro principal de un anillo conmutativo .

Schubert

1. Una celda de Schubert es una órbita B en el Grassmannian donde B es el Borel estándar; es decir, el grupo de matrices triangulares superiores.${\ Displaystyle \ operatorname {Gr} (d, n)}$

2. Una variedad de Schubert es el cierre de una celda de Schubert.

variedad secante

La variedad secante a una variedad proyectiva es el cierre de la unión de todas las líneas secantes a V in .${\ Displaystyle V \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}}$

anillo de sección

El anillo de sección o el anillo de secciones de un haz de líneas L en un esquema X es el anillo graduado .${\ Displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} \ Gamma (X, L ^ {n})}$

Condiciones de Serre S _n

Ver condiciones de normalidad de Serre . Véase también https://mathoverflow.net/q/22228

Dualidad serre

Ver #dualización de gavilla

apartado

Un morfismo separado es un morfismo tal que el producto de la fibra de consigo mismo a lo largo tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

gavilla generada por secciones globales

Una gavilla con un conjunto de secciones globales que abarcan el tallo de la gavilla en cada punto. Ver Gavilla generada por secciones globales .

sencillo

El término "punto simple" es un término antiguo para un "punto liso".

liso

1.  

Artículo principal: morfismo suave

El análogo de dimensiones superiores de los morfismos étale son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f  : Y → X :

1) para cualquier y ∈ Y , hay abierto barrios afines V y U de y , x = f ( y ), respectivamente, tal que la restricción de f a V factores como un morfismo étale seguido por la proyección de afín n -space más de U .

2) f es plana, localmente de presentación finita, y para cada punto geométrico de Y (un morfismo del espectro de un campo algebraicamente cerrado a Y ), la fibra geométrica es una variedad suave n- dimensional en el sentido del algebraico clásico geometría.${\ Displaystyle {\ bar {y}}}$${\ Displaystyle k ({\ bar {y}})}$${\ Displaystyle X _ {\ bar {y}}: = X \ times _ {Y} \ mathrm {Spec} (k ({\ bar {y}}))}$${\ Displaystyle k ({\ bar {y}})}$

2. Un esquema uniforme sobre un campo perfecto k es un esquema X que es localmente de tipo finito y regular sobre k .

3. Un esquema uniforme sobre un campo k es un esquema X que es geométricamente suave: es suave.${\ Displaystyle X \ times _ {k} {\ overline {k}}}$

especial

Un divisor D en una curva suave C es especial si , que se llama índice de especialidad, es positivo.${\ Displaystyle h ^ {0} ({\ mathcal {O}} (KD))}$

variedad esférica

Una variedad esférica es una normal de G -Variedad ( G conectado reductora) con una densa órbita abierta por un subgrupo Borel de G .

estable

1. Una curva estable es una curva con alguna singularidad "leve", que se utiliza para construir un espacio de curvas de módulos de buen comportamiento .

2. Se utiliza un paquete de vectores estable para construir el espacio de módulos de los paquetes de vectores .

apilar

Una pila parametriza conjuntos de puntos junto con automorfismos.

transformación estricta

Dada una explosión a lo largo de un subesquema cerrado Z y un morfismo , la transformada estricta de Y (también llamada transformación propia) es la explosión de Y a lo largo del subesquema cerrado . Si f es una inmersión cerrada, entonces el mapa inducido también es una inmersión cerrada.${\ Displaystyle \ pi: {\ widetilde {X}} \ to X}$${\ Displaystyle f: Y \ a X}$${\ Displaystyle {\ widetilde {Y}} \ to Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} Z}$${\ displaystyle {\ widetilde {Y}} \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}$

subesquema

A subesquema , sin calificador, de X es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de X .

superficie

Una variedad algebraica de dimensión dos.

variedad simétrica

Un análogo de un espacio simétrico . Ver variedad simétrica .

T

espacio tangente

Ver espacio tangente de Zariski .

paquete de línea tautológica

El haz de líneas tautológicas de un esquema proyectivo X es el dual del haz retorcido de Serre ; es decir, .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$

teorema

Ver teorema principal de Zariski , teorema de funciones formales , teorema de cambio de base de cohomología , Categoría: Teoremas en geometría algebraica .

incrustación de toro

Un término antiguo para una variedad tórica

variedad tórica

Una variedad tórica es una variedad normal con la acción de un toro, de manera que el toro tiene una órbita densa abierta.

geometría tropical

Una especie de geometría algebraica lineal por partes. Ver geometría tropical .

toro

Un toro dividido es el producto de un número finito de grupos multiplicativos .${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$

U

universal

1. Si un funtor módulos F está representada por algún esquema o espacio algebraica M , a continuación, un objeto universal es un elemento de F ( M ) que corresponde a la morfismo identidad M → M (que es una M -punto de M ). Si los valores de F son clases de isomorfismo de curvas con estructura extra, digamos, entonces un objeto universal se llama curva universal . Un paquete tautológico sería otro ejemplo de objeto universal.

2. Sea ser los módulos de curvas proyectivas lisas de género g y la de curvas proyectivas lisas de género g con puntos marcados individuales. En literatura, el mapa olvidadizo ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{g} = {\ mathcal {M}} _ {g, 1}}$

${\ Displaystyle \ pi: {\ mathcal {C}} _ ​​{g} \ to {\ mathcal {M}} _ {g}}$

a menudo se denomina curva universal.

universalmente

Un morfismo tiene alguna propiedad universalmente si todos los cambios de base del morfismo tienen esta propiedad. Los ejemplos incluyen catenaria universal , inyectiva universal .

desarraigado

Para un punto en , considerar el morfismo correspondiente de los anillos locales ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle f ^ {\ #} \ colon {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} \ to {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}$.

Sea el ideal máximo de , y sea ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}} = f ^ {\ #} ({\ mathfrak {m}}) {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}$

ser el ideal generado por la imagen de en . El morfismo está sin ramificar (resp. G-sin ramificar ) si es localmente de tipo finito (resp. Localmente de presentación finita) y si es para todo adentro , es el ideal máximo de y el mapa inducido ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} / {\ mathfrak {m}} \ to {\ mathcal {O}} _ {Y, y} / {\ mathfrak {n}} }$

es una extensión de campo separable finita . Esta es la versión geométrica (y generalización) de una extensión de campo sin ramificar en la teoría algebraica de números .

V

variedad

un sinónimo de "variedad algebraica".

muy amplio

Un haz de líneas L en una variedad X es muy amplio si X se puede incrustar en un espacio proyectivo de modo que L es la restricción de la gavilla torcida O (1) de Serre en el espacio proyectivo.

W

débilmente normal

un esquema es débilmente normal si cualquier morfismo biracional finito es un isomorfismo.

Divisor de Weil

Otro término más estándar para un "ciclo de codimensión uno"; ver divisor .

Buena reciprocidad

Ver reciprocidad de Weil .

Z

Espacio Zariski – Riemann

Un espacio de Zariski-Riemann es un espacio anillado localmente cuyos puntos son anillos de valoración.

Notas

Referencias

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, MR  1644323
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor  0217083 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor  0217084 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor  0217085 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 17 . doi : 10.1007 / bf02684890 . Señor  0163911 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor  0173675 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor  0199181 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor  0217086 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor  0238860 .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Kollár, János , "Book on Moduli of Surfaces" disponible en su sitio web [2]
• Notas del curso de Martin's Olsson escritas por Anton, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• Un libro elaborado por muchos autores.

Ver también

• Glosario de geometría aritmética y diofántica
• Glosario de geometría algebraica clásica
• Glosario de topología y geometría diferencial
• Glosario de geometría riemanniana y métrica
• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Lista de superficies
• Lista de curvas