Dimensión global - Global dimension

En teoría de anillos y álgebra homológica , la dimensión global (o dimensión homológica global ; a veces simplemente llamada dimensión homológica ) de un anillo A denotado gl dim A , es un número entero no negativo o infinito que es un invariante homológico del anillo. Se define como el extremo superior del conjunto de dimensiones proyectivas de todos A - módulos . La dimensión global es una noción técnica importante en la teoría de la dimensión de los anillos noetherianos. Por un teorema de Jean-Pierre Serre , la dimensión global se puede utilizar para caracterizar dentro de la clase de anillos locales conmutativos noetherianos aquellos anillos que son regulares . Su dimensión global coincide con la dimensión de Krull , cuya definición es módulo-teórico.

Cuando el anillo A es no conmutativo, inicialmente hay que considerar dos versiones de esta noción, la dimensión global derecha que surge de la consideración de los módulos A derechos y la dimensión global izquierda que surge de la consideración de los módulos A izquierdos. Para un anillo A arbitrario, las dimensiones globales derecha e izquierda pueden diferir. Sin embargo, si A es un anillo noetheriano , ambas dimensiones resultan ser iguales a una dimensión global débil , cuya definición es simétrica de izquierda a derecha. Por tanto, para los anillos noetherianos no conmutativos, estas dos versiones coinciden y una se justifica al hablar de la dimensión global.

Ejemplos

Deje que A  =  K [ x ₁ , ..., x _n ] ser el anillo de polinomios en n variables de más de un campo K . Entonces la dimensión global de A es igual a n . Esta afirmación se remonta al trabajo fundamental de David Hilbert sobre las propiedades homológicas de los anillos polinomiales, véase el teorema de la sicigia de Hilbert . De manera más general, si R es un anillo noetheriano de dimensión global finita k y A  =  R [x] es un anillo de polinomios en una variable sobre R, entonces la dimensión global de A es igual a k  + 1.

El primer álgebra de Weyl A ₁ es un dominio noetheriano no conmutativo de dimensión global uno.

Un anillo tiene dimensión global cero si y solo si es semisimple . La dimensión global de un anillo A es menor o igual a uno si y solo si A es hereditario . En particular, un dominio ideal principal conmutativo que no es un campo tiene una dimensión global.

• Si un anillo es noetheriano correcto, entonces la dimensión global derecha es la misma que la dimensión global débil, y es como mucho la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es Noetheriano de derecha e izquierda, las dimensiones globales izquierda y derecha y la dimensión global débil son todas iguales.
• El anillo de la matriz triangular tiene una dimensión global derecha 1, una dimensión global débil 1, pero una dimensión global izquierda 2. Es Noetheriano derecho pero no Noetheriano izquierdo.${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbb {Z} & \ mathbb {Q} \\ 0 & \ mathbb {Q} \ end {bmatrix}}}$

Caracterizaciones alternativas

La dimensión global derecha de un anillo A se puede definir alternativamente como:

• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los módulos A derechos cíclicos;
• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los módulos A derechos finitos ;
• el supremo de las dimensiones inyectivas de todos los módulos A correctos;
• cuando A es un anillo local noetheriano conmutativo con ideal máximo m , la dimensión proyectiva del campo de residuos A / m .

La dimensión global izquierda de A tiene caracterizaciones análogas obtenidas al reemplazar "derecha" por "izquierda" en la lista anterior.

Serre demostró que un conmutativa Noetherian anillo local A es normal si y sólo si tiene dimensión global finito, en cuyo caso los coincide dimensión global con la dimensión Krull de A . Este teorema abrió la puerta a la aplicación de métodos homológicos al álgebra conmutativa.

Referencias

• Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150 (3.a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings , Chicago Lectures in Mathematics (2a ed.), University Of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl  1001.16500
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6.
• McConnell, JC; Robson, JC; Small, Lance W. (2001), Revisado (ed.), Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de posgrado en matemáticas , 30 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2169-5.