Morfismo plano - Flat morphism

En matemáticas , en particular en la teoría de esquemas en geometría algebraica , un morfismo plano f de un esquema X a un esquema Y es un morfismo tal que el mapa inducido en cada tallo es un mapa plano de anillos, es decir,

${\ Displaystyle f_ {P} \ colon {\ mathcal {O}} _ {Y, f (P)} \ to {\ mathcal {O}} _ {X, P}}$

es un mapa plano para todos P en X . Un mapa de anillos se llama plano si es un homomorfismo que convierte a B en un módulo A plano . Un morfismo de esquemas se llama fielmente plano si es tanto sobreyectivo como plano. ${\ Displaystyle A \ to B}$

Dos intuiciones básicas con respecto a los morfismos planos son:

• la planitud es una propiedad genérica ; y
• el fracaso de la planitud se produce en el conjunto de salto del morfismo.

El primero de ellos proviene del álgebra conmutativa : sujeto a algunas condiciones de finitud en f , se puede demostrar que hay un subesquema abierto no vacío de Y , de modo que f restringido a Y ′ es un morfismo plano ( planitud genérica ). Aquí 'restricción' se interpreta por medio del producto de fibra de esquemas , aplicado a f y el mapa inclusión de en Y . ${\ Displaystyle Y '}$${\ Displaystyle Y '}$

Para el segundo, la idea es que los morfismos en geometría algebraica pueden exhibir discontinuidades de un tipo que se detectan por planitud. Por ejemplo, la operación de soplar hacia abajo en la geometría biracional de una superficie algebraica , puede dar una sola fibra que es de dimensión 1 cuando todas las demás tienen dimensión 0. Resulta (retrospectivamente) que la planitud en los morfismos está directamente relacionada con el control este tipo de semicontinuidad o salto unilateral.

Los morfismos planos se utilizan para definir (más de una versión de) el topos plano y la cohomología plana de las poleas a partir de él. Esta es una teoría profunda y no se ha encontrado que sea fácil de manejar. El concepto de morfismo étale (y por lo tanto cohomología étale ) depende del concepto de morfismo plano: un morfismo étale es plano, de tipo finito y no ramificado .

Ejemplos / no ejemplos

Considere el esquema afín

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \ right) \ to \ nombre de operador {Spec} (\ mathbb {C} [t])}$

inducida por el morfismo obvio de las álgebras

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {C} [t] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t }} \\ t \ mapsto t \\\ end {cases}}}$

Dado que demostrar la planitud de este morfismo equivale a calcular

${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {C} [t]} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}}, \ mathbb {C} \ right),}$

resolvemos los números complejos

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcccc} 0 & \ to & \ mathbb {C} [t] & {\ xrightarrow {\ cdot t}} & \ mathbb {C} [t] & \ to & 0 \\\ flecha hacia abajo && \ flecha hacia abajo && \ flecha hacia abajo && \ flecha hacia abajo \\ 0 & \ to & 0 & \ to & \ mathbb {C} & \ to & 0 \\\ end {array}}}$

y tensor por el módulo que representa nuestro esquema dando la secuencia de -modules ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [t]}$

${\ Displaystyle 0 \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} {\ xrightarrow {\ cdot t}} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} \ to 0}$

Como t no es un divisor de cero , tenemos un núcleo trivial, por lo que el grupo de homología desaparece.

Planitud milagrosa

Se pueden encontrar otros ejemplos de morfismos planos usando "planitud milagrosa", que establece que si tiene un morfismo entre un esquema de Cohen-Macaulay y un esquema regular con fibras equidimensionales, entonces es plano. Ejemplos fáciles de esto son las fibraciones elípticas , los morfismos suaves y los morfismos a variedades estratificadas que satisfacen la planitud milagrosa en cada uno de los estratos. ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

Esquemas de Hilbert

Los ejemplos universales de morfismos planos de esquemas los dan los esquemas de Hilbert . Esto se debe a que los esquemas de Hilbert parametrizan clases universales de morfismos planos, y cada morfismo plano es el retroceso de algún esquema de Hilbert. Es decir, si es plano, existe un diagrama conmutativo ${\ Displaystyle f \ colon X \ to S}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} X & \ to & \ operatorname {Hilb} _ {S} \\\ downarrow && \ downarrow \\ S & \ to & S \ end {matrix}}}$

para el esquema de Hilbert de todos los morfismos planos a . Como es plano, todas las fibras tienen el mismo polinomio de Hilbert , por lo que podríamos haber escrito de manera similar para el esquema de Hilbert anterior. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {s} \ colon X_ {s} \ to s}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ text {Hilb}} _ {S} ^ {\ Phi}}$

No ejemplos

Explotar

Los mapas ampliados dan una clase de no ejemplos

${\ Displaystyle \ operatorname {Bl} _ {I} X \ a X.}$

Un ejemplo sencillo es la ampliación de un punto . Si tomamos el origen, este viene dado por el morfismo ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, s, t]} {xt-ys}}}$ enviando ${\ displaystyle x \ mapsto x, y \ mapsto y,}$

donde la fibra sobre un punto es una copia de , es decir, ${\ Displaystyle (a, b) \ neq (0,0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, s, t]} {xt-ys}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} {\ frac {\ mathbb { C} [x, y]} {(xa, yb)}} \ cong \ mathbb {C},}$

que se sigue de

${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} {\ frac {R} {I}} \ cong {\ frac {M} {IM}}.}$

Pero para , obtenemos el isomorfismo ${\ Displaystyle a = b = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, s, t]} {xt-ys}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} {\ frac {\ mathbb { C} [x, y]} {(x, y)}} \ cong \ mathbb {C} [s, t].}$

La razón por la que esto no es plano es debido al lema de planitud milagrosa, que se puede comprobar localmente.

Resolución infinita

Un simple no ejemplo de morfismo plano es Esto se debe a que ${\ Displaystyle k [\ varepsilon] = k [x] / (x ^ {2}) \ to k.}$

${\ Displaystyle k \ otimes _ {k [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L}} k}$

es un complejo infinito, que podemos encontrar tomando una resolución plana de k ,

${\ displaystyle \ cdots ~ {\ xrightarrow {{\ overset {} {\ cdot}} \ varepsilon}} ~ k [\ varepsilon] ~ {\ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon}} ~ k [\ varepsilon] {\ xrightarrow {\ cdot \ varepsilon}} k [\ varepsilon] \ to k}$

y tensor de la resolución con k , encontramos que

${\ Displaystyle k \ otimes _ {k [\ varepsilon]} ^ {\ mathbf {L}} k \ simeq \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} k [+ i]}$

mostrando que el morfismo no puede ser plano. Otro no ejemplo de morfismo plano es una explosión, ya que un morfismo plano tiene necesariamente fibras equidimensionales.

Propiedades de los morfismos planos

Sea un morfismo de esquemas. Para un morfismo , sea y El morfismo f es plano si y solo si para cada g , el retroceso es un funtor exacto de la categoría de módulos cuasi coherentes a la categoría de módulos cuasi coherentes . ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle g \ colon Y \ to Y}$${\ Displaystyle X '= X \ times _ {Y} Y'}$${\ Displaystyle f '= (f, 1_ {Y}) \ colon X' \ to Y '.}$${\ displaystyle f '^ {*}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y '}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X '}}$

Asumir y son morfismos de esquemas y f es plana en x en X . Entonces g es plano en si y solo si gf es plano en x . En particular, si f es fielmente plano, entonces g es plano o fielmente plano si y solo si gf es plano o fielmente plano, respectivamente. ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle g \ colon Y \ to Z}$${\ Displaystyle f (x)}$

Propiedades fundamentales

• El compuesto de dos morfismos planos es plano.
• El producto de la fibra de dos morfismos planos o fielmente planos es un morfismo plano o fielmente plano, respectivamente.
• La planitud y la planitud fiel se conservan mediante el cambio de base: si f es plano o fielmente plano y , entonces el producto de fibra es plano o fielmente plano, respectivamente.${\ Displaystyle g \ colon Y '\ to Y}$${\ Displaystyle f \ times g \ colon X \ times _ {Y} Y '\ to Y'}$
• El conjunto de puntos donde un morfismo (localmente de presentación finita) es plano está abierto.
• Si f es fielmente plano y de presentación finita, y si gf es de tipo finito o presentación finita, entonces g es de tipo finito o presentación finita, respectivamente.

Supongamos que es un morfismo plano de esquemas. ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

• Si F es un haz cuasi-coherente de presentación finita en Y (en particular, si F es coherente), y si J es el aniquilador de F en Y , entonces , el retroceso del mapa de inclusión es una inyección, y la imagen de en es el aniquilador de en X .${\ Displaystyle f ^ {*} J \ a {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle f ^ {*} J}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle f ^ {*} F}$
• Si f es fielmente plano y si G es un módulo cuasi coherente , entonces el mapa de retroceso en las secciones globales es inyectivo.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle \ Gamma (Y, G) \ to \ Gamma (X, f ^ {*} G)}$

Supongamos que es plano. Deje que X y Y sean S -schemes, y permiten y ser su cambio de base por h . ${\ Displaystyle h \ colon S '\ to S}$${\ Displaystyle X '}$${\ Displaystyle Y '}$

• Si es cuasi-compacto y dominante, entonces su cambio de base es cuasi-compacto y dominante.${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle f '\ colon X' \ to Y '}$
• Si h es fielmente plano, entonces el mapa de retroceso es inyectivo.${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (X, Y) \ to \ operatorname {Hom} _ {S '} (X', Y ')}$
• Suponga que es cuasi-compacto y cuasi-separado. Sea Z la imagen cerrada de X , y sea ​​la inyección canónica. Entonces, el subesquema cerrado determinado por el cambio de base es la imagen cerrada de .${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle j \ colon Z \ to Y}$${\ Displaystyle j '\ colon Z' \ to Y '}$${\ Displaystyle X '}$

Propiedades topologicas

Si es plano, entonces posee todas las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

• Para cada punto x de X y cada generación y ′ de y = f ( x ) , hay una generación x ′ de x tal que y ′ = f ( x ′) .
• Para cada punto x de X , .${\ Displaystyle f (\ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {X, x}) = \ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {Y, f (x)}}$
• Para cada subconjunto cerrado irreducible Y ′ de Y , cada componente irreducible de f ⁻¹ ( Y ′) domina Y ′.
• Si Z y Z ′ son dos subconjuntos cerrados irreductibles de Y con Z contenido en Z ′, entonces para cada componente irreducible T de f ⁻¹ ( Z ), hay un componente irreducible T ′ de f ⁻¹ ( Z ′) que contiene T .
• Para cada componente irreducible T de X , el cierre de f ( T ) es un componente irreducible de Y .
• Si Y es irreducible con el punto genérico y , y si f ⁻¹ ( y ) es irreducible, entonces X es irreducible.
• Si f también está cerrado, la imagen de cada componente conectado de X es un componente conectado de Y .
• Para cada subconjunto pro-construible Z de Y , .${\ Displaystyle f ^ {- 1} ({\ bar {Z}}) = {\ overline {f ^ {- 1} (Z)}}}$

Si f es plano y localmente de presentación finita, entonces f es universalmente abierto. Sin embargo, si f es fielmente plano y cuasi-compacto, en general no es cierto que f sea ​​abierto, incluso si X e Y son noetherianos. Además, no se cumple lo contrario a esta afirmación: si f es el mapa canónico del esquema reducido X _rojo a X , entonces f es un homeomorfismo universal, pero para X no reducido y noetheriano, f nunca es plano.

Si es fielmente plano, entonces: ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

• La topología en Y es la topología del cociente en relación con f .
• Si f también es cuasi-compacto, y si Z es un subconjunto de Y , a continuación, Z es un subconjunto pro-construible localmente cerrado de Y si y sólo si f ^-1 ( Z ) es un cerrado localmente subconjunto pro-construible de X .

Si f es plano y localmente de presentación finita, entonces para cada una de las siguientes propiedades P , el conjunto de puntos donde f tiene P está abierto:

• Condición de Serre S _k (para cualquier k fijo ).
• Geométricamente regular.
• Geométricamente normal.

Si además f es propia, entonces lo mismo es cierto para cada una de las siguientes propiedades:

• Reducido geométricamente.
• Geométricamente reducido y con k componentes geométricos conectados (para cualquier k fijo ).
• Geométricamente integral.

Planitud y dimensión

Supongamos y son localmente noetherianos, y dejemos . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

• Sea x un punto de X e y = f ( x ) . Si f es plano, entonces dim _x X = dim _y Y + dim _x f ⁻¹ ( y ) . Por el contrario, si esta igualdad se cumple para todo x , X es Cohen-Macaulay e Y es regular , y además f mapea puntos cerrados a puntos cerrados, entonces f es plano.
• Si f es fielmente plano, entonces para cada subconjunto cerrado Z de Y , codim _Y ( Z ) = codim _X ( f ⁻¹ ( Z )) .
• Supongamos que f es plana y F es un módulo de cuasi-coherente sobre Y . Si F tiene dimensión proyectiva como máximo n , entonces tiene dimensión proyectiva como máximo n .${\ Displaystyle f ^ {*} F}$

Propiedades de descenso

• Supongamos f es plana en x en X . Si X es reducido o normal en x , entonces Y es reducido o normal, respectivamente, en f ( x ). Por el contrario, si f también es de presentación finita y f ⁻¹ ( y ) es reducido o normal, respectivamente, en x , entonces X es reducido o normal, respectivamente, en x .
• En particular, si f es fielmente plano, entonces X reducido o normal implica que Y es reducido o normal, respectivamente. Si f es fielmente plano y de presentación finita, entonces todas las fibras de f reducidas o normales implican que X es reducida o normal, respectivamente.
• Si f es plano en x en X , y si X es integral o integralmente cerrado en x , entonces Y es integral o integralmente cerrado, respectivamente, en f ( x ).
• Si f es fielmente plano, X es localmente integral y el espacio topológico de Y es localmente noetheriano, entonces Y es localmente integral.
• Si f es fielmente plano y cuasi compacto, y si X es localmente noetheriano, entonces Y también es localmente noetheriano.
• Suponga que f es plano y X e Y son localmente noetherianos. Si X es regular en x , entonces Y es regular en f ( x ). Por el contrario, si Y es regular en f ( x ) y f ⁻¹ ( f ( x )) es regular en x , entonces X es regular en x .
• Suponga que f es plano y X e Y son localmente noetherianos. Si X es normal en x , entonces Y es normal en f ( x ). Por el contrario, si Y es normal en f ( x ) y f ⁻¹ ( f ( x )) es normal en x , entonces X es normal en x .

Sea g  : Y ′ → Y fielmente plano. Sea F una gavilla casi coherente en Y , y sea F ′ el retroceso de F a Y ′. Entonces F es plano sobre Y si y solo si F ′ es plano sobre Y ′.

Suponga que f es fielmente plano y casi compacto. Deje que G sea una gavilla cuasi-coherente en Y , y dejar que F denotan su retroceso a X . Entonces F es de tipo finito, presentación finita o localmente libre de rango n si y solo si G tiene la propiedad correspondiente.

Suponga que f  : X → Y es un S -morfismo de S -esquemas. Sea g  : S ′ → S fielmente plano y cuasi-compacto, y sean X ′, Y ′ y f ′ los cambios de base por g . Entonces, para cada una de las siguientes propiedades P , si f 'tiene P , entonces f tiene P .

• Abierto.
• Cerrado.
• Cuasi-compacto y un homeomorfismo en su imagen.
• Un homeomorfismo.

Adicionalmente, para cada una de las siguientes propiedades P , f tiene P si y sólo si f 'tiene P .

• Universalmente abierto.
• Universalmente cerrado.
• Un homeomorfismo universal.
• Cuasi-compacto.
• Casi compacto y dominante.
• Cuasi-compacto y universalmente bicontinuo.
• Apartado.
• Casi separados.
• Localmente de tipo finito.
• Localmente de presentación finita.
• Tipo finito.
• Presentación finita.
• Adecuado.
• Un isomorfismo.
• Un monomorfismo.
• Una inmersión abierta.
• Una inmersión casi compacta.
• Una inmersión cerrada.
• Afín.
• Cuasi-afín.
• Finito.
• Cuasi-finito.
• Integral.

Es posible que f ′ sea un isomorfismo local sin que f sea ​​ni siquiera una inmersión local.

Si f es cuasi-compacto y L es un fajo invertible en X , entonces L es f -Amplio o f -muy amplio si y sólo si su retroceso L 'es f ' -Amplio o f '-muy amplio, respectivamente. Sin embargo, no es cierto que f sea ​​proyectiva si y solo si f ′ es proyectiva. Ni siquiera es cierto que si f es adecuada y f 'es proyectivo, entonces f es cuasi-proyectiva, ya que es posible tener un f ' -Amplio gavilla en X ', que no descienda a X .

Ver también

• morfismo fpqc
• Divisor de Cartier relativamente efectivo , un ejemplo de morfismo plano
• Degeneración (geometría algebraica)

Notas

Referencias

• Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960 , ISBN  978-0-387-94269-8, sección 6.
• Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802 / aif.59 , ISSN  0373-0956 , MR  0082175
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor  0217083 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor  0199181 .
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor  0217086 .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157