Esquema normal - Normal scheme

En geometría algebraica , una variedad algebraica o esquema X es normal si es normal en todos los puntos, lo que significa que el anillo local en el punto es un dominio integralmente cerrado . Una variedad afín X (entendida como irreducible) es normal si y solo si el anillo O ( X ) de funciones regulares en X es un dominio integralmente cerrado. Una variedad X sobre un campo es normal si y solo si todo morfismo biracional finito de cualquier variedad Y a X es un isomorfismo.

Las variedades normales fueron introducidas por Zariski  ( 1939 , sección III).

Interpretaciones geométricas y algebraicas de la normalidad.

Un morfismo de variedades es finito si la imagen inversa de cada punto es finita y el morfismo es el adecuado . Un morfismo de variedades es biracional si se restringe a un isomorfismo entre subconjuntos abiertos densos. Entonces, por ejemplo, la curva cuspidal cúbica X en el plano afín A ² definido por x ² = y ³ no es normal, porque hay un morfismo biracional finito A ¹ → X (es decir, t se asigna a ( t ³ , t ² )) que no es un isomorfismo. Por el contrario, la línea afín A ¹ es normal: no se puede simplificar más mediante morfismos biracionales finitos.

Una variedad compleja normal X tiene la propiedad, cuando se ve como un espacio estratificado utilizando la topología clásica, de que todos los enlaces están conectados. De manera equivalente, todo punto complejo x tiene vecindarios U arbitrariamente pequeños, de modo que U menos el conjunto singular de X está conectado. Por ejemplo, se deduce que la curva cúbica nodal X en la figura, definida por x ² = y ² ( y + 1), no es normal. Esto también se sigue de la definición de normalidad, ya que hay un morfismo biracional finito de A ¹ a X que no es un isomorfismo; envía dos puntos de un ¹ a un mismo punto en X .

De manera más general, un esquema X es normal si cada uno de sus anillos locales

O _{X, x}

es un dominio integralmente cerrado . Es decir, cada uno de estos anillos es una integral dominio R , y cada anillo de S con R ⊆ S ⊆ Frac ( R ) tal que S es de generación finita como un R -módulo es igual a R . (Aquí Frac ( R ) denota el campo de fracciones de R. ) Esta es una traducción directa, en términos de anillos locales, de la condición geométrica de que todo morfismo biracional finito a X es un isomorfismo.

Una noción más antigua es que una subvariedad X del espacio proyectivo es linealmente normal si el sistema lineal que da la incrustación está completo. De manera equivalente, X ⊆ P ⁿ no es la proyección lineal de una incrustación X ⊆ P ^{n + 1} (a menos que X esté contenido en un hiperplano P ⁿ ). Este es el significado de "normal" en las frases curva normal racional y desplazamiento normal racional .

Todo esquema regular es normal. Por el contrario, Zariski (1939 , teorema 11) mostró que toda variedad normal es regular fuera de un subconjunto de codimensión al menos 2, y un resultado similar es cierto para los esquemas. Entonces, por ejemplo, cada curva normal es regular.

La normalización

Cualquier esquema reducido X tiene un único normalización : un esquema normal de Y con un morfismo birracional integral Y → X . (Para X una variedad sobre un campo, el morfismo Y → X es finito, que es más fuerte que "integral".) La normalización de un esquema de dimensión 1 es regular, y la normalización de un esquema de dimensión 2 solo tiene singularidades aisladas . La normalización no se suele utilizar para la resolución de singularidades para esquemas de mayor dimensión.

Para definir la normalización, primero suponga que X es un esquema X reducido irreductible . Cada subconjunto abierto afín de X tiene la forma Spec R con R un dominio integral . Escriba X como una unión de subconjuntos abiertos afines Spec A _i . Sea B _i el cierre integral de A _i en su campo de fracción. Luego, la normalización de X se define uniendo los esquemas afines Spec B _i .

Ejemplos de

Si el esquema inicial no es irreductible, la normalización se define como la unión disjunta de las normalizaciones de los componentes irreducibles.

Normalización de una cúspide

Considere la curva afín

${\ Displaystyle C = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} \ right)}$

con la singularidad de la cúspide en el origen. Su normalización puede estar dada por el mapa.

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (k [t]) \ to C}$

inducido a partir del mapa de álgebra

${\ displaystyle x \ mapsto t ^ {2}, y \ mapsto t ^ {5}}$

Normalización de ejes en plano afín

Por ejemplo,

${\ Displaystyle X = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

no es un esquema irreductible ya que tiene dos componentes. Su normalización viene dada por el esquema morfismo

${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] / (x) \ times \ mathbb {C} [x, y] / (y)) \ to {\ text {Spec} } (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

inducido a partir de los dos mapas de cocientes

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy) \ to \ mathbb {C} [x, y] / (x, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (x) }$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy) \ to \ mathbb {C} [x, y] / (y, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (y) }$

Normalización de la variedad proyectiva reducible

De manera similar, para polinomios irreducibles homogéneos en un UFD, la normalización de ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \derecho)}$

viene dado por el morfismo

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left (\ prod {\ frac {k [x_ {0} \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {i}, g)}} \ right) \ to {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \ right) }$

Ver también

• Noether lema de normalización
• Resolución de singularidades

Notas

Referencias

• Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica. , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN   978-0-387-94268-1 , MR   1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157 , pag. 91
• Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de las variedades algebraicas", Amer. J. Math. , 61 (2): 249–294, doi : 10.2307 / 2371499 , JSTOR   2371499 , MR   1507376