Variedad proyectiva - Projective variety

En geometría algebraica , una variedad proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n- espacio proyectivo sobre k que es el locus cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k , que generan un ideal primordial , el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si se puede incrustar como una subvariedad cerrada de Zariski de . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es una; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene; en este caso es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo .

Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I , entonces el anillo del cociente

${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] / I}$

se llama el coordinar anillo homogénea de X . Los invariantes básicos de X , como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .

Las variedades proyectivas surgen de muchas formas. Están completos , lo que se puede expresar a grandes rasgos diciendo que no hay puntos "faltantes". Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación de estas dos nociones. Demostrando que es una variedad proyectiva se realiza mediante el estudio de la línea paquetes o divisores de X .

Una característica sobresaliente de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud en la cohomología de la gavilla. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de curvas proyectivas es particularmente rica, incluyendo una clasificación por género de la curva. El programa de clasificación de variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados de con el polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los Grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de la invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio Teichmüller y las variedades Chow . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, está disponible para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen a X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de los haces de vectores holomórficos (más generalmente haces analíticos coherentes ) sobre X coincide con la de los haces de vectores algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar geométrico cero de una familia de funciones holomórficas si y solo si es el lugar geométrico cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge .

Variedad y estructura del esquema

Estructura de variedades

Sea k un campo algebraicamente cerrado. La base de la definición de variedades proyectivas es el espacio proyectivo , que se puede definir de formas diferentes pero equivalentes: ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

• como el conjunto de todas las líneas a través del origen en (es decir, todos los subespacios vectoriales unidimensionales de )${\ Displaystyle k ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle k ^ {n + 1}}$
• como el conjunto de tuplas , con no todo cero, módulo la relación de equivalencia${\ Displaystyle (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ in k ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$
  $${\ Displaystyle (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ sim \ lambda (x_ {0}, \ dots, x_ {n})}$$

  
  para cualquiera . La clase de equivalencia de tal tupla se denota por${\ Displaystyle \ lambda \ in k \ setminus \ {0 \}}$
  $${\ Displaystyle [x_ {0}: \ dots: x_ {n}].}$$

  
  Esta clase de equivalencia es el punto general del espacio proyectivo. Los números se denominan coordenadas homogéneas del punto.${\ Displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$

Una variedad proyectiva es, por definición, una subvariedad cerrada de , donde cerrada se refiere a la topología de Zariski . En general, los subconjuntos cerrados de la topología de Zariski se definen como el locus cero común de una colección finita de funciones polinomiales homogéneas. Dado un polinomio , la condición ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle f \ in k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}$

${\ Displaystyle f ([x_ {0}: \ dots: x_ {n}]) = 0}$

no tiene sentido para polinomios arbitrarios, pero solo si f es homogéneo , es decir, los grados de todos los monomios (cuya suma es f ) son iguales. En este caso, la desaparición de

${\ Displaystyle f (\ lambda x_ {0}, \ dots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {\ deg f} f (x_ {0}, \ dots, x_ {n})}$

es independiente de la elección de . ${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$

Por tanto, las variedades proyectivas surgen de ideales primos homogéneos I de y ${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}$

${\ Displaystyle X = \ left \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}] \ in \ mathbb {P} ^ {n}, f ([x_ {0}: \ dots: x_ {n} " ]) = 0 {\ text {para todos}} f \ in I \ right \}.}$

Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Por tanto, el estudio local de X (por ejemplo, la singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente. El espacio proyectivo está cubierto por los gráficos afines abiertos estándar. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle U_ {i} = \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}], x_ {i} \ neq 0 \},}$

que son n- espacios afines con el anillo de coordenadas

${\ Displaystyle k \ left [y_ {1} ^ {(i)}, \ dots, y_ {n} ^ {(i)} \ right], \ quad y_ {j} ^ {(i)} = x_ { j} / x_ {i}.}$

Diga i = 0 para la simplicidad de la notación y elimine el superíndice (0). Entonces es una subvariedad cerrada de definida por el ideal de generado por ${\ Displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ Displaystyle U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle k [y_ {1}, \ dots, y_ {n}]}$

${\ Displaystyle f (1, y_ {1}, \ dots, y_ {n})}$

para todos los f en yo . Por tanto, X es una variedad algebraica cubierta por ( n +1) gráficos afines abiertos . ${\ Displaystyle X \ cap U_ {i}}$

Tenga en cuenta que X es el cierre de la variedad afín en . Por el contrario, a partir de alguna variedad cerrada (afín) , el cierre de V en es la variedad proyectiva llamada${\ Displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle V \ subconjunto U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ finalización proyectiva deV. SidefineV, entonces el ideal definitorio de este cierre es el ideal homogéneo degenerado por ${\ Displaystyle I \ subconjunto k [y_ {1}, \ dots, y_ {n}]}$${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}$

${\ Displaystyle x_ {0} ^ {\ deg (f)} f (x_ {1} / x_ {0}, \ dots, x_ {n} / x_ {0})}$

para todos los f en yo .

Por ejemplo, si V es una curva afín dada por, digamos, en el plano afín, entonces su terminación proyectiva en el plano proyectivo viene dada por${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ Displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} + axz ^ {2} + bz ^ {3}.}$

Esquemas proyectivos

Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos algebro-geométricos más generales que las variedades proyectivas, es decir, esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo con una estructura de esquema, de una manera refinando la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir, es un esquema que es una unión de ( n + 1) copias del afín n -espacio k ⁿ . De manera más general, el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}$

${\ Displaystyle U_ {i} = \ operatorname {Spec} A [x_ {1} / x_ {i}, \ dots, x_ {n} / x_ {i}], \ quad 0 \ leq i \ leq n,}$

de tal manera que las variables coincidan como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de , para campos k algebraicamente cerrados , es entonces el espacio proyectivo en el sentido habitual. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}$

Una construcción equivalente pero simplificada viene dada por la construcción Proj , que es un análogo del espectro de un anillo , denominado "Spec", que define un esquema afín . Por ejemplo, si A es un anillo, entonces

${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}$

Si R es un cociente de por un ideal homogéneo I , entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Proyecto} R \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}.}$

En comparación con las variedades proyectivas, se abandonó la condición de que el ideal yo fuera un ideal primordial. Esto conduce a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico puede tener múltiples componentes irreductibles . Por otra parte, puede haber nilpotentes funciones en X . ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Proj} R}$

Subsistemas cerrados de la corresponden bijectively a los ideales homogéneos I de que son saturado ; es decir, este hecho puede considerarse como una versión refinada del Nullstellensatz proyectivo . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle I: (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) = I.}$

Podemos dar un análogo sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k , dejamos

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V) = \ operatorname {Proj} k [V]}$

donde está el álgebra simétrica de . Es la proyectivización de V ; es decir, se parametriza líneas en V . Hay un mapa sobreyectivo canónico , que se define utilizando la tabla descrita anteriormente. Un uso importante de la construcción es este (cf., § Dualidad y sistema lineal ). Un divisor D en un proyectivas variedad X corresponde a una línea haz L . Uno luego establece ${\ displaystyle k [V] = \ operatorname {Sym} (V ^ {*})}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle \ pi: V \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {P} (V)}$

${\ Displaystyle | D | = \ mathbb {P} (\ Gamma (X, L))}$;

se llama el sistema lineal completa de D .

El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S puede definirse como un producto de fibra de esquemas

${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} = \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n} \ times _ {\ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}} S .}$

Si es la gavilla torsión de Serre en , dejamos que denotamos la retirada de a ; es decir, para el mapa canónico${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1) = g ^ {*} ({\ mathcal {O}} (1))}$${\ Displaystyle g: \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} \ to \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}.}$

Un esquema X → S se llama proyectivo sobre S si se factoriza como una inmersión cerrada

${\ Displaystyle X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

seguido de la proyección de S .

Se dice que un haz de líneas (o haz invertible) en un esquema X sobre S es muy amplio en relación con S si hay una inmersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada) ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle i: X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

para algunos n para que retroceda a . A continuación, un S -Esquema X es proyectivo si y sólo si es apropiada y existe una muy amplia gavilla en X con respecto a S . De hecho, si X es apropiado, entonces una inmersión correspondiente al haz de líneas muy amplio está necesariamente cerrada. Por el contrario, si X es proyectivo, entonces el retroceso de la inmersión cerrada de X en un espacio proyectivo es muy amplio. Que "proyectivo" implica "adecuado" es más profundo: el teorema principal de la teoría de la eliminación . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

Relación con variedades completas

Por definición, una variedad está completa , si es adecuada sobre k . El criterio valorativo de propiedad expresa la intuición de que en una variedad propia no hay puntos "faltantes".

Existe una estrecha relación entre las variedades completas y proyectivas: por un lado, el espacio proyectivo y por tanto cualquier variedad proyectiva es completa. Lo contrario no es cierto en general. Sin embargo:

• Una curva suave C es proyectiva si y solo si está completa . Esto se prueba identificando C con el conjunto de anillos de valoración discretos del campo de función k ( C ) sobre k . Este conjunto tiene una topología de Zariski natural llamada espacio de Zariski-Riemann .
• Lema de Chow estados que para cualquier variedad completa X , existe una variedad proyectiva Z y un morfismo birracional Z → X . (Además, a través de la normalización , se puede asumir que esta variedad proyectiva es normal).

Algunas propiedades de una variedad proyectiva se derivan de la completitud. Por ejemplo,

${\ Displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = k}$

para cualquier variedad proyectiva X sobre k . Este hecho es un análogo algebraico del teorema de Liouville (cualquier función holomórfica en una variedad compleja compacta conectada es constante). De hecho, la similitud entre geometría analítica compleja y geometría algebraica en variedades proyectivas complejas va mucho más allá, como se explica a continuación.

Las variedades cuasi-proyectivas son, por definición, aquellas que son subvariedades abiertas de variedades proyectivas. Esta clase de variedades incluye variedades afines . Las variedades afines casi nunca son completas (o proyectivas). De hecho, una subvariedad proyectiva de una variedad afín debe tener dimensión cero. Esto se debe a que solo las constantes son funciones globales regulares en una variedad proyectiva.

Ejemplos e invariantes básicos

Por definición, cualquier ideal homogéneo en un anillo polinomial produce un esquema proyectivo (requerido para ser ideal primo para dar una variedad). En este sentido, abundan los ejemplos de variedades proyectivas. La siguiente lista menciona varias clases de variedades proyectivas que son dignas de mención ya que han sido estudiadas de manera particularmente intensa. La clase importante de variedades proyectivas complejas, es decir, el caso , se analiza más adelante. ${\ Displaystyle k = \ mathbb {C}}$

El producto de dos espacios proyectivos es proyectivo. De hecho, existe la inmersión explícita (llamada incrustación de Segre )

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {P} ^ {n} \ times \ mathbb {P} ^ {m} \ to \ mathbb {P} ^ {(n + 1) (m + 1) -1 } \\ (x_ {i}, y_ {j}) \ mapsto x_ {i} y_ {j} \ end {cases}}}$

Como consecuencia, el producto de variedades proyectivas sobre k es nuevamente proyectivo. La incrustación de Plücker exhibe un Grassmannian como variedad proyectiva. Las variedades de bandera como el cociente del grupo lineal general módulo el subgrupo de matrices triangulares superiores , también son proyectivas, lo cual es un hecho importante en la teoría de grupos algebraicos . ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (k)}$

Anillo de coordenadas homogéneo y polinomio de Hilbert

Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneo

${\ Displaystyle R = k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] / P}$

es un anillo graduado , es decir, se puede expresar como la suma directa de sus componentes graduados:

${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} R_ {n}.}$

Existe un polinomio P tal que para todo n suficientemente grande ; se llama el polinomio de Hilbert de X . Es un invariante numérico que codifica alguna geometría extrínseca de X . ¡El grado de P es la dimensión r de X y su coeficiente principal multiplicado por r! es el grado de la variedad X . El género aritmético de X es (−1) ^r ( P (0) - 1) cuando X es suave. ${\ Displaystyle \ dim R_ {n} = P (n)}$

Por ejemplo, el anillo de coordenadas homogéneo de es y su polinomio de Hilbert es ; su género aritmético es cero. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle P (z) = {\ binom {z + n} {n}}}$

Si el anillo de coordenadas homogéneo R es un dominio integralmente cerrado , entonces se dice que la variedad proyectiva X es proyectivamente normal . Tenga en cuenta que, a diferencia de la normalidad , la normalidad proyectiva depende de R , la incrustación de X en un espacio proyectivo. La normalización de una variedad proyectiva es proyectiva; de hecho, es el Proj del cierre integral de algunas coordenadas homogéneas anillo de X .

La licenciatura

Sea una variedad proyectiva. Hay al menos dos formas equivalentes de definir el grado de X en relación con su incrustación. La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito ${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ Displaystyle \ # (X \ cap H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {d})}$

donde d es la dimensión de X y H _i son hiperplanos en "posiciones generales". Esta definición corresponde a una idea intuitiva de un título. En efecto, si X es una hipersuperficie, entonces el grado de X es el grado de la homogénea definir polinomio X . Las "posiciones generales" pueden precisarse, por ejemplo, mediante la teoría de la intersección ; se requiere que la intersección sea adecuada y que las multiplicidades de componentes irreducibles sean todas una.

La otra definición, que se menciona en la sección anterior, es que el grado de X es el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de X veces (dim X ) !. Geométricamente, esto significa definición que el grado de X es la multiplicidad del vértice del cono sobre afín X .

Sean subesquemas cerrados de dimensiones puras que se intersecan adecuadamente (están en posición general). Si m _i denota la multiplicidad de un componente irreducible Z _i en la intersección (es decir, multiplicidad de intersección ), entonces la generalización del teorema de Bézout dice: ${\ Displaystyle V_ {1}, \ dots, V_ {r} \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {1} ^ {s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ prod _ {1} ^ {r} \ deg V_ {i}.}$

La multiplicidad de intersección m _i se puede definir como el coeficiente de Z _i en el producto de intersección en el anillo de Chow de . ${\ Displaystyle V_ {1} \ cdot \ cdots \ cdot V_ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {N}}$

En particular, si es una hipersuperficie que no contiene X , entonces ${\ Displaystyle H \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {1} ^ {s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ deg (X) \ deg (H)}$

donde Z _i son los componentes irreductibles de la intersección de la teoría del esquema de X y H con multiplicidad (longitud del anillo local) m _i .

Una variedad proyectiva compleja puede verse como una variedad compleja compacta ; el grado de la variedad (relativo a la incrustación) es entonces el volumen de la variedad como una variedad con respecto a la métrica heredada del espacio proyectivo complejo ambiental . Una variedad proyectiva compleja se puede caracterizar como un minimizador del volumen (en cierto sentido).

El anillo de secciones

Sea X una variedad proyectiva y L un paquete de líneas sobre ella. Entonces el anillo graduado

${\ Displaystyle R (X, L) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes n})}$

se llama el anillo de secciones de L . Si L es amplia , entonces Proj de este anillo es X . Además, si X es normal y L es muy amplio, entonces el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneo de X está determinado por L ; es decir, de modo que tirones-de nuevo a L . ${\ Displaystyle R (X, L)}$${\ Displaystyle X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {N}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {N}} (1)}$

Para las aplicaciones, es útil permitir divisores (o -divisores) no solo paquetes de líneas; suponiendo que X es normal, el anillo resultante se denomina anillo generalizado de secciones. Si es un divisor canónico en X , entonces el anillo generalizado de secciones ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle K_ {X}}$

${\ Displaystyle R (X, K_ {X})}$

se llama el anillo canónica de X . Si el anillo canónica es de generación finita, entonces Proj del anillo se llama el modelo canónico de X . El anillo o modelo canónico se puede utilizar para definir la dimensión de X de Kodaira .

Curvas proyectivas

Los esquemas proyectivos de dimensión uno se denominan curvas proyectivas . Gran parte de la teoría de las curvas proyectivas trata de curvas proyectivas suaves, ya que las singularidades de las curvas se pueden resolver mediante normalización , que consiste en tomar localmente el cierre integral del anillo de funciones regulares. Las curvas proyectivas suaves son isomorfas si y solo si sus campos funcionales son isomorfos. El estudio de extensiones finitas de

${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (t),}$

o curvas proyectivas suaves equivalentes es una rama importante en la teoría algebraica de números . ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

Una curva proyectiva suave del género uno se llama curva elíptica . Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch , dicha curva se puede incrustar como una subvariedad cerrada en . En general, se puede incrustar cualquier curva proyectiva (suave) (para una prueba, consulte la variedad secante # Ejemplos ). A la inversa, cualquier curva cerrada suave de grado tres tiene género uno por la fórmula de género y, por lo tanto, es una curva elíptica. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

Una curva completa suave de género mayor o igual a dos se llama curva hiperelíptica si hay un morfismo finito de grado dos. ${\ Displaystyle C \ a \ mathbb {P} ^ {1}}$

Hiperuperficies proyectivas

Todo subconjunto cerrado irreducible de codimensión uno es una hipersuperficie ; es decir, el conjunto cero de algún polinomio irreducible homogéneo. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Variedades abelianas

Otro invariante importante de una variedad proyectiva X es el grupo de Picard de X , el conjunto de clases de isomorfismo de haces de línea en X . Es isomórfico y, por lo tanto, una noción intrínseca (independiente de la incrustación). Por ejemplo, el grupo Picard de es isomorfo a través del mapa de grados. El núcleo de no es solo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X , Jac ( X ), cuyos puntos son iguales a este grupo. El jacobiano de una curva (suave) juega un papel importante en el estudio de la curva. Por ejemplo, el jacobiano de una curva elíptica E es la propia E. Para una curva X del género g , Jac ( X ) tiene dimensión g . ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ deg: \ operatorname {Pic} (X) \ to \ mathbb {Z}}$

Las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo, se conocen como variedades abelianas , en honor a Niels Abel . En marcado contraste con los grupos algebraicos afines como , tales grupos son siempre conmutativos, de ahí el nombre. Además, admiten un amplio haz de líneas y, por tanto, son proyectivas. Por otro lado, un esquema abeliano puede no ser proyectivo. Ejemplos de variedades abelianas son curvas elípticas, variedades jacobianas y superficies K3 . ${\ Displaystyle GL_ {n} (k)}$

Proyecciones

Sea un subespacio lineal; es decir, para algunos funcionales lineales linealmente independientes s _i . Entonces la proyección de E es el morfismo (bien definido) ${\ Displaystyle E \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle E = \ {s_ {0} = s_ {1} = \ cdots = s_ {r} = 0 \}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ phi: \ mathbb {P} ^ {n} -E \ to \ mathbb {P} ^ {r} \\ x \ mapsto [s_ {0} (x): \ cdots : s_ {r} (x)] \ end {cases}}}$

La descripción geométrica de este mapa es la siguiente:

• Vemos así que es disjunta de E . Entonces, para cualquiera ,${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r} \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {P} ^ {n} \ setminus E}$
  $${\ Displaystyle \ phi (x) = W_ {x} \ cap \ mathbb {P} ^ {r},}$$

  
  donde denota el espacio lineal más pequeño que contiene E y x (llamado la unión de E y x ).${\ Displaystyle W_ {x}}$
• ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ {y_ {i} \ neq 0 \}) = \ {s_ {i} \ neq 0 \},}$¿Dónde están las coordenadas homogéneas en${\ Displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}.}$
• Para cualquier subesquema cerrado separado de E , la restricción es un morfismo finito .${\ Displaystyle Z \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ phi: Z \ to \ mathbb {P} ^ {r}}$

Las proyecciones se pueden utilizar para reducir la dimensión en la que se inserta una variedad proyectiva, hasta morfismos finitos . Empiece con alguna variedad proyectiva Si la proyección desde un punto que no está en X da Por otra parte, es un mapa finito a su imagen. Así, iterando el procedimiento, se ve que hay un mapa finito ${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbb {P} ^ {n}.}$${\ Displaystyle n> \ dim X,}$${\ Displaystyle \ phi: X \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}.}$${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle X \ to \ mathbb {P} ^ {d}, \ quad d = \ dim X.}$

Este resultado es el análogo proyectivo del lema de normalización de Noether . (De hecho, produce una prueba geométrica del lema de normalización).

El mismo procedimiento se puede utilizar para mostrar el siguiente resultado un poco más preciso: dada una variedad proyectiva X sobre un campo perfecto, hay un morfismo biracional finito de X a una hipersuperficie H en particular, si X es normal, entonces es el normalización de H . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {d + 1}.}$

Dualidad y sistema lineal

Mientras que un n- espacio proyectivo parametriza las líneas en un n- espacio afín , el dual parametriza los hiperplanos en el espacio proyectivo, de la siguiente manera. Corregir un campo k . Por , nos referimos a un n- espacio proyectivo${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n} = \ operatorname {Proj} (k [u_ {0}, \ dots, u_ {n}])}$

equipado con la construcción:

${\ Displaystyle f \ mapsto H_ {f} = \ {\ alpha _ {0} x_ {0} + \ cdots + \ alpha _ {n} x_ {n} = 0 \}}$, un hiperplano en ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$

donde es un L -punto de una extensión de campo L de k y${\ Displaystyle f: \ operatorname {Spec} L \ to {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {i} = f ^ {*} (u_ {i}) \ in L.}$

Para cada L , la construcción es una biyección entre el conjunto de puntos L de y el conjunto de hiperplanos en . Debido a esto, se dice que el espacio proyectivo dual es el espacio de módulos de hiperplanos en . ${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$

Una línea de entrada se llama lápiz : es una familia de hiperplanos en parametrizados por . ${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre k , entonces, por la misma razón que antes, está el espacio de hiperplanos en . Un caso importante es cuando V consta de secciones de un paquete de líneas. Es decir, sea X una variedad algebraica, L un conjunto de líneas en X y un subespacio vectorial de dimensión positiva finita. Luego hay un mapa: ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V ^ {*}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} (V))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$${\ Displaystyle V \ subconjunto \ Gamma (X, L)}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ varphi _ {V}: X \ setminus B \ to \ mathbb {P} (V ^ {*}) \\ x \ mapsto H_ {x} = \ {s \ in V | s (x) = 0 \} \ end {casos}}}$

determinado por el sistema lineal V , donde B , llamado el lugar de la base , es la intersección de los divisores de cero de secciones distintas de cero en V (ver Sistema lineal de divisores # Un mapa determinado por un sistema lineal para la construcción del mapa).

Cohomología de poleas coherentes

Sea X un esquema proyectivo sobre un campo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano A ). La cohomología de haces coherentes en X satisface los siguientes teoremas importantes debidos a Serre: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. ${\ Displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}})}$es un espacio de vectores k de dimensión finita para cualquier p .
2. Existe un número entero (dependiendo de ; véase también la regularidad de Castelnuovo-Mumford ) tal que${\ Displaystyle n_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$
   $${\ Displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}} (n)) = 0}$$

   
   para todos y p > 0, donde es la torsión con una potencia de un paquete de líneas muy amplio${\ Displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (n) = {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {O}} (n)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1).}$

Estos resultados están comprobados reduciendo al caso usando el isomorfismo ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}}) = H ^ {p} (\ mathbb {P} ^ {r}, {\ mathcal {F}}), p \ geq 0}$

donde en el lado derecho se ve como una gavilla en el espacio proyectivo por extensión por cero. El resultado sigue entonces por un cálculo directo para n cualquier entero, y para arbitrario se reduce a este caso sin mucha dificultad. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {r}} (n),}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Como corolario de 1. anterior, si f es un morfismo proyectivo de un esquema noetheriano a un anillo noetheriano, entonces la imagen directa superior es coherente. El mismo resultado es válido para los morfismos propios f , como se puede demostrar con la ayuda del lema de Chow . ${\ Displaystyle R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$

Los grupos de cohomología de gavilla H ⁱ en un espacio topológico noetheriano se desvanecen por i estrictamente mayor que la dimensión del espacio. Así, la cantidad, llamada característica de Euler de , ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}}) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {i} \ dim H ^ {i} (X, {\ mathcal { F}})}$

es un entero bien definido (para X proyectivo). Entonces se puede mostrar para algún polinomio P sobre números racionales. La aplicación de este procedimiento a la gavilla estructura , se recupera el polinomio de Hilbert de X . En particular, si X es irreducible y tiene dimensión r , el género aritmético de X viene dado por ${\ Displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}} (n)) = P (n)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle (-1) ^ {r} (\ chi ({\ mathcal {O}} _ {X}) - 1),}$

que es manifiestamente intrínseco; es decir, independiente de la incrustación.

El género aritmético de una hipersuperficie de grado d está en . En particular, una curva suave de grado d en tiene género aritmético . Esta es la fórmula del género . ${\ Displaystyle {\ binom {d-1} {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ Displaystyle (d-1) (d-2) / 2}$

Variedades proyectivas suaves

Sea X una variedad proyectiva suave donde todos sus componentes irreductibles tienen dimensión n . En esta situación, el haz canónico ω _X , definido como el haz de diferenciales de Kähler de grado superior (es decir, formas n algebraicas ), es un haz de líneas.

Dualidad serre

La dualidad de Serre establece que para cualquier gavilla libre localmente en X , ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ simeq H ^ {ni} (X, {\ mathcal {F}} ^ {\ vee} \ otimes \ omega _ {X}) '}$

donde el superíndice primo se refiere al espacio dual y es el haz dual de . Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad Verdier . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {\ vee}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Teorema de Riemann-Roch

Para una curva (proyectiva suave) X , H ² y superior se desvanecen por razones dimensionales y el espacio de las secciones globales de la estructura es unidimensional. Por tanto, el género aritmético de X es la dimensión de . Por definición, el género geométrico de X es la dimensión de H ⁰ ( X , ω _X ). La dualidad de Serre implica así que el género aritmético y el género geométrico coinciden. Ellos simplemente se llama el género de la X . ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

La dualidad de Serre también es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Riemann-Roch . Dado que X es suave, hay un isomorfismo de grupos

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Cl} (X) \ to \ operatorname {Pic} (X) \\ D \ mapsto {\ mathcal {O}} (D) \ end {cases}}}$

desde el grupo de divisores (Weil) módulo divisores principales hasta el grupo de clases de isomorfismos de haces de líneas. Un divisor correspondiente a ω _X se llama el divisor canónica y se representa por K . Sea l ( D ) la dimensión de . Entonces, el teorema de Riemann-Roch establece: si g es un género de X , ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} (D))}$

${\ Displaystyle l (D) -l (KD) = \ deg D + 1-g,}$

para cualquier divisor D en X . Por la dualidad de Serre, esto es lo mismo que:

${\ Displaystyle \ chi ({\ mathcal {O}} (D)) = \ deg D + 1-g,}$

que se puede probar fácilmente. Una generalización del teorema de Riemann-Roch a una dimensión superior es el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , así como el teorema de gran alcance de Grothendieck-Riemann-Roch .

Esquemas de Hilbert

Esquemas de Hilbert parametrizar todas las subvariedades cerrados de un esquema proyectiva X en el sentido de que los puntos (en el sentido funtorial) de H corresponden a los subsistemas cerrados de X . Como tal, el esquema de Hilbert es un ejemplo de un espacio de módulos , es decir, un objeto geométrico cuyos puntos parametrizan otros objetos geométricos. Más precisamente, el esquema de Hilbert parametriza subvariedades cerrados cuyo polinomio de Hilbert es igual a un polinomio prescrito P . Es un teorema profundo de Grothendieck que existe un esquemasobre k tal que, para cualquier k -esquema T , hay una biyección ${\ Displaystyle H_ {X} ^ {P}}$

${\ Displaystyle \ {{\ text {morfismos}} T \ to H_ {X} ^ {P} \} \ \ \ longleftrightarrow \ \ \ {{\ text {subesquemas cerrados de}} X \ times _ {k} T {\ text {plano sobre}} T, {\ text {con polinomio de Hilbert}} P. \}}$

El subesquema cerrado que corresponde al mapa de identidad se llama familia universal . ${\ Displaystyle X \ times H_ {X} ^ {P}}$${\ Displaystyle H_ {X} ^ {P} \ a H_ {X} ^ {P}}$

Para , el esquema de Hilbert se llama el Grassmannian de r -planes en y, si X es un esquema proyectiva, se llama el esquema de Fano de r -planes en X . ${\ Displaystyle P (z) = {\ binom {z + r} {r}}}$${\ Displaystyle H _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {P}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle H_ {X} ^ {P}}$

Variedades proyectivas complejas

En esta sección, todas las variedades algebraicas son variedades algebraicas complejas . Una característica clave de la teoría de variedades proyectivas complejas es la combinación de métodos algebraicos y analíticos. La transición entre estas teorías es proporcionada por el siguiente enlace: dado que cualquier polinomio complejo es también una función holomórfica, cualquier variedad compleja X produce un espacio analítico complejo , denotado . Además, las propiedades geométricas de X se reflejan en las de . Por ejemplo, este último es una variedad compleja si y solo si X es suave; es compacto si y solo si X es apropiado . ${\ Displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Relación con las variedades complejas de Kähler

El espacio proyectivo complejo es una variedad de Kähler . Esto implica que, para cualquier variedad algebraica proyectiva X , es una variedad Kähler compacta. Lo contrario no es cierto en general, pero el teorema de incrustación de Kodaira da un criterio para que una variedad de Kähler sea proyectiva. ${\ Displaystyle X (\ mathbb {C})}$

En dimensiones reducidas, se obtienen los siguientes resultados:

• (Riemann) Una superficie compacta de Riemann (es decir, una variedad compleja compacta de dimensión uno) es una variedad proyectiva. Según el teorema de Torelli , está determinado únicamente por su jacobiano.
• (Chow-Kodaira) Una variedad compleja compacta de dimensión dos con dos funciones meromórficas algebraicamente independientes es una variedad proyectiva.

Teorema de GAGA y Chow

El teorema de Chow proporciona una manera sorprendente de ir en sentido contrario, de la geometría analítica a la algebraica. Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica. Se puede interpretar que el teorema dice que una función holomórfica que satisface cierta condición de crecimiento es necesariamente algebraica: "proyectiva" proporciona esta condición de crecimiento. Se puede deducir del teorema lo siguiente:

• Las funciones meromórficas en el espacio proyectivo complejo son racionales.
• Si un mapa algebraico entre variedades algebraicas es un isomorfismo analítico , entonces es un isomorfismo (algebraico). (Esta parte es un hecho básico en el análisis complejo). En particular, el teorema de Chow implica que un mapa holomórfico entre variedades proyectivas es algebraico. (considere el gráfico de dicho mapa).
• Cada paquete de vectores holomórficos en una variedad proyectiva es inducido por un paquete de vectores algebraicos único.
• Cada paquete de líneas holomórficas en una variedad proyectiva es un paquete de líneas de un divisor.

El teorema de Chow se puede mostrar mediante el principio GAGA de Serre . Su principal teorema establece:

Sea X un esquema proyectivo terminado . Entonces, el funtor que asocia las gavillas coherentes en X a las gavillas coherentes en el correspondiente espacio analítico complejo X ^an es una equivalencia de categorías. Además, los mapas naturales ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ to H ^ {i} (X ^ {\ text {an}}, {\ mathcal {F}})}$

son isomorfismos para todo i y todas las gavillas coherentes en X .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Tori complejo vs.variedades abelianas complejas

La variedad compleja asociada a una variedad abeliana A over es un grupo de Lie complejo compacto . Se puede demostrar que son de la forma ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$

y también se conocen como toros complejos . Aquí, g es la dimensión del toro y L es una celosía (también conocida como celosía de período ).

De acuerdo con el teorema de uniformización ya mencionado anteriormente, cualquier toro de dimensión 1 surge de una variedad abeliana de dimensión 1, es decir, de una curva elíptica . De hecho, la función elíptica de Weierstrass unida a L satisface una determinada ecuación diferencial y, como consecuencia, define una inmersión cerrada: ${\ Displaystyle \ wp}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {C} / L \ to \ mathbb {P} ^ {2} \\ L \ mapsto (0: 0: 1) \\ z \ mapsto (1: \ wp ( z): \ wp '(z)) \ end {casos}}}$

Hay un análogo p -ádico, el teorema de uniformización p-ádico .

Para dimensiones más altas, las nociones de variedades abelianas complejas y toros complejos difieren: solo toros complejos polarizados provienen de variedades abelianas.

Kodaira desapareciendo

El teorema fundamental de desaparición de Kodaira establece que para un haz de líneas amplio en una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero, ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {L}} \ otimes \ omega _ {X}) = 0}$

para i > 0, o, de manera equivalente, por dualidad de Serre para i < n . La primera prueba de este teorema utilizó métodos analíticos de la geometría de Kähler, pero más tarde se encontró una prueba puramente algebraica. La desaparición de Kodaira en general falla en una variedad proyectiva suave en característica positiva. El teorema de Kodaira es uno de varios teoremas de desaparición, que dan criterios para que desaparezcan las cohomologías de gavillas superiores. Dado que la característica de Euler de una gavilla (ver arriba) es a menudo más manejable que los grupos de cohomología individuales, esto a menudo tiene consecuencias importantes sobre la geometría de las variedades proyectivas. ${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {L}} ^ {- 1}) = 0}$

Nociones relacionadas

• Variedad multiproyectiva
• Variedad proyectiva ponderada , una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo ponderado

Ver también

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Esquema de Hilbert
• Teorema del hiperplano de Lefschetz
• Programa de modelo mínimo

Notas

Referencias

enlaces externos

• El esquema de Hilbert por Charles Siegel - una entrada de blog
• Variedades proyectivas Cap. 1