Grupo Chow - Chow group

En geometría algebraica , los grupos de Chow (nombrados en honor a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley  ( 1958 )) de una variedad algebraica sobre cualquier campo son análogos algebro-geométricos de la homología de un espacio topológico . Los elementos del grupo Chow se forman a partir de subvariedades (los llamados ciclos algebraicos ) de una manera similar a cómo se forman los grupos de homología celular o simplicial a partir de subcomplejos. Cuando la variedad es suave , los grupos de Chow pueden interpretarse como grupos de cohomología (compare la dualidad de Poincaré ) y tienen una multiplicación llamada producto de intersección . Los grupos de Chow contienen abundante información sobre una variedad algebraica y, en consecuencia, son difíciles de calcular en general.

Equivalencia racional y grupos de Chow

Para lo que sigue, defina una variedad sobre un campo para que sea un esquema integral de tipo finito sobre . Para cualquier esquema de tipo finito sobre , un ciclo algebraico en significa una combinación lineal finita de subvariedades de con coeficientes enteros . (Aquí y a continuación, se entiende que las subvariedades están cerradas , a menos que se indique lo contrario). Para un número natural , el grupo de ciclos -dimensionales (o - ciclos , para abreviar) en es el grupo abeliano libre en el conjunto de subvariedades -dimensionales de . ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle Z_ {i} (X)}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle X}$

Para una variedad de dimensión y cualquier función racional en la que no es idénticamente cero, el divisor de es el ciclo ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle i + 1}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle i}$

${\ Displaystyle (f) = \ sum _ {Z} \ operatorname {ord} _ {Z} (f) Z,}$

donde la suma corre sobre subvariedades multidimensionales de y el número entero denota el orden de desaparición de a lo largo . (Por lo tanto, es negativo si tiene un polo a lo largo ). La definición del orden de desaparición requiere cierto cuidado para el singular. ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} (f)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} (f)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle W}$

Para un esquema de tipo finito sobre , el grupo de -ciclos racionalmente equivalente a cero es el subgrupo de generado por los ciclos para todas las subvariedades dimensionales de y todas las funciones racionales distintas de cero en . El grupo de Chow de ciclos -dimensionales en es el grupo cociente de por el subgrupo de ciclos racionalmente equivalente a cero. A veces uno escribe para la clase de una subvariedad en el grupo Chow, y si dos subvariedades y tienen , entonces y se dice que son racionalmente equivalentes . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle Z_ {i} (X)}$${\ Displaystyle (f)}$${\ Displaystyle (i + 1)}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle CH_ {i} (X)}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Z_ {i} (X)}$${\ Displaystyle [Z]}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle [Z] = [W]}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle W}$

Por ejemplo, cuando es una variedad de dimensión , el grupo Chow es el grupo de clase divisor de . Cuando es suave , esto es isomorfo al grupo Picard de paquetes de líneas en . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle CH_ {n-1} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$

Ejemplos de equivalencia racional

Equivalencia racional en el espacio proyectivo

Los ciclos racionalmente equivalentes definidos por hipersuperficies son fáciles de construir en el espacio proyectivo porque todos pueden construirse como los loci de fuga del mismo conjunto de vectores. Por ejemplo, dados dos polinomios homogéneos de grado , entonces , podemos construir una familia de hipersuperficies definidas como el locus de fuga de . Esquemáticamente, esto se puede construir como ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle f, g \ in H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (d))}$${\ Displaystyle sf + tg}$

${\ Displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [s, t] [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(sf + tg) }} \ derecha) \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {n}}$

usando la proyección podemos ver la fibra sobre un punto que es la hipersuperficie proyectiva definida por . Esto se puede usar para mostrar que la clase de ciclo de cada hipersuperficie de grado es racionalmente equivalente a , ya que se puede usar para establecer una equivalencia racional. Observe que el lugar geométrico de es y tiene multiplicidad , que es el coeficiente de su clase de ciclo. ${\ Displaystyle \ pi _ {1}: X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle [s_ {0}: t_ {0}]}$${\ Displaystyle s_ {0} f + t_ {0} g}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d [\ mathbb {P} ^ {n-1}]}$${\ Displaystyle sf + tx_ {0} ^ {d}}$${\ Displaystyle x_ {0} ^ {d} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle d}$

Equivalencia racional de ciclos en una curva

Si tomamos dos paquetes de líneas distintos de una curva proyectiva suave , entonces los lugares de fuga de una sección genérica de ambos paquetes de líneas definen clases de ciclos no equivalentes en . Esto se debe a que para las variedades suaves, las clases divisorias de y definen clases no equivalentes. ${\ Displaystyle L, L '\ in \ operatorname {Pic} (C)}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle CH (C)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Div} (C) \ cong \ operatorname {Pic} (C)}$${\ Displaystyle s \ en H ^ {0} (C, L)}$${\ Displaystyle s '\ in H ^ {0} (C, L')}$

El anillo de Chow

Cuando el esquema es suave sobre un campo , los grupos de Chow forman un anillo , no solo un grupo abeliano graduado. Es decir, cuando se termine suavemente , defina como el grupo de codimensión Chow - ciclos en . (Cuando hay una variedad de dimensión , esto solo significa eso ). Luego, los grupos forman un anillo graduado conmutativo con el producto: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle CH ^ {i} (X)}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle CH ^ {i} (X) = CH_ {ni} (X)}$${\ Displaystyle CH ^ {*} (X)}$

${\ Displaystyle CH ^ {i} (X) \ times CH ^ {j} (X) \ rightarrow CH ^ {i + j} (X).}$

El producto surge de la intersección de ciclos algebraicos. Por ejemplo, si y son subvariedades suaves de codimensión y respectivamente, y si y se intersecan transversalmente , entonces el producto de es la suma de los componentes irreducibles de la intersección , todos los cuales tienen codimensión . ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle [Y] [Z]}$${\ Displaystyle CH ^ {i + j} (X)}$${\ Displaystyle Y \ cap Z}$${\ Displaystyle i + j}$

De manera más general, en varios casos, la teoría de la intersección construye un ciclo explícito que representa el producto en el anillo de Chow. Por ejemplo, si y son subvariedades de dimensión complementaria (lo que significa que sus dimensiones suman la dimensión de ) cuya intersección tiene dimensión cero, entonces es igual a la suma de los puntos de la intersección con coeficientes llamados números de intersección . Para cualquier subvariedades y de un esquema liso sobre , con ninguna suposición sobre la dimensión de la intersección, William Fulton y Robert MacPherson teoría intersección 's construye un elemento canónica de los grupos de Chow de cuya imagen en los grupos de Chow de es el producto . ${\ Displaystyle [Y] [Z]}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle [Y] [Z]}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle Y \ cap Z}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle [Y] [Z]}$

Ejemplos de

Espacio proyectivo

El anillo de Chow del espacio proyectivo sobre cualquier campo es el anillo ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle CH ^ {*} (\ mathbb {P} ^ {n}) \ cong \ mathbf {Z} [H] / (H ^ {n + 1}),}$

donde es la clase de un hiperplano (el lugar geométrico cero de una única función lineal). Además, cualquier subvariedad de grado y codimensión en el espacio proyectivo es racionalmente equivalente a . De ello se deduce que para dos subvariedades y de dimensión complementaria en y grados , respectivamente, su producto en el anillo Chow es simplemente ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle dH ^ {a}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle [Y] \ cdot [Z] = a \, b \, H ^ {n}}$

donde es la clase de un punto racional en . Por ejemplo, si y se cruzan transversalmente, se deduce que es un ciclo cero de grado . Si el campo base está algebraicamente cerrado , esto significa que hay exactamente puntos de intersección; esta es una versión del teorema de Bézout , un resultado clásico de la geometría enumerativa . ${\ Displaystyle H ^ {n}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle Y \ cap Z}$${\ displaystyle ab}$${\ Displaystyle k}$${\ displaystyle ab}$

Fórmula de paquete proyectivo

Dado un paquete vectorial de rango sobre un esquema adecuado uniforme sobre un campo, el anillo de Chow del paquete proyectivo asociado se puede calcular utilizando el anillo de Chow de y las clases de Chern de . Si dejamos y las clases de Chern , entonces hay un isomorfismo de anillos ${\ Displaystyle E \ a X}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (E)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ zeta = c_ {1} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} (E)} (1))}$${\ Displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {r}}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle CH ^ {\ bullet} (\ mathbb {P} (E)) \ cong {\ frac {CH ^ {\ bullet} (X) [\ zeta]} {\ zeta ^ {r} + c_ {1 } \ zeta ^ {r-1} + c_ {2} \ zeta ^ {r-2} + \ cdots + c_ {r}}}}$

Superficies de Hirzebruch

Por ejemplo, el anillo de Chow de una superficie de Hirzebruch se puede calcular fácilmente usando la fórmula de paquete proyectivo. Recuerde que está construido como terminado . Entonces, la única clase Chern no trivial de este paquete de vectores es . Esto implica que el anillo de Chow es isomorfo a ${\ Displaystyle F_ {a} = \ mathbb {P} ({\ mathcal {O}} \ oplus {\ mathcal {O}} (a))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle c_ {1} = aH}$

${\ Displaystyle CH ^ {\ bullet} (F_ {a}) \ cong {\ frac {CH ^ {\ bullet} (\ mathbb {P} ^ {1}) [\ zeta]} {(\ zeta ^ {2 } + aH \ zeta)}} \ cong {\ frac {\ mathbf {Z} [H, \ zeta]} {(H ^ {2}, \ zeta ^ {2} + aH \ zeta)}}}$

Observaciones

Para otras variedades algebraicas, los grupos de Chow pueden tener un comportamiento más rico. Por ejemplo, sea ​​una curva elíptica sobre un campo . Entonces el grupo de Chow de ciclos cero en encaja en una secuencia exacta${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$

${\ displaystyle 0 \ rightarrow X (k) \ rightarrow CH_ {0} (X) \ rightarrow \ mathbf {Z} \ rightarrow 0.}$

Por tanto, el grupo de Chow de una curva elíptica está estrechamente relacionado con el grupo de - puntos racionales de . Cuando es un campo de número , que se llama el grupo de Mordell-Weil de , y algunos de los problemas más profundos de la teoría de números son los intentos de comprender este grupo. Cuando son los números complejos, el ejemplo de una curva elíptica muestra que los grupos de Chow pueden ser incontables grupos abelianos. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X (k)}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X (k)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$

Functorialidad

Para un morfismo adecuado de los esquemas , hay un homomorfismo de avance para cada número entero . Por ejemplo, para un esquema apropiado sobre , esto da un homomorfismo , que tiene un punto de cierre en su grado más . (Un punto cerrado en tiene la forma de un campo de extensión finito de , y su grado significa el grado del campo sobre .) ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle f _ {*}: CH_ {i} (X) \ to CH_ {i} (Y)}$${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle CH_ {0} (X) \ to \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (E)}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle k}$

Para un morfismo plano de esquemas con fibras de dimensión (posiblemente vacío), hay un homomorfismo . ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle f ^ {*}: CH_ {i} (Y) \ to CH_ {i + r} (X)}$

Una herramienta computacional clave para los grupos de Chow es la secuencia de localización , como sigue. Para un esquema sobre un campo y un subesquema cerrado de , hay una secuencia exacta${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle CH_ {i} (Z) \ rightarrow CH_ {i} (X) \ rightarrow CH_ {i} (XZ) \ rightarrow 0,}$

donde el primer homomorfismo es el empuje hacia adelante asociado al morfismo adecuado , y el segundo homomorfismo es el retroceso con respecto al morfismo plano . La secuencia de localización se puede extender hacia la izquierda usando una generalización de grupos de Chow, grupos de homología motívica (Borel-Moore) , también conocidos como grupos de Chow superiores . ${\ Displaystyle Z \ a X}$${\ Displaystyle XZ \ to X}$

Para cualquier morfismo de esquemas suaves , hay un homomorfismo de retroceso , que de hecho es un homomorfismo de anillo . ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle f ^ {*}: CH ^ {i} (Y) \ to CH ^ {i} (X)}$${\ Displaystyle CH ^ {*} (Y) \ to CH ^ {*} (X)}$

Ejemplos de retrocesos planos

Tenga en cuenta que los no ejemplos se pueden construir utilizando ampliaciones; por ejemplo, si tomamos la ampliación del origen en, entonces la fibra sobre el origen es isomorfa a . ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Revestimientos ramificados de curvas

Considere la cobertura ramificada de curvas

${\ Displaystyle f: \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(f (x) -g (x, y))}} \ right) \ to \ mathbb {A} _ {x} ^ {1}}$

Dado que el morfismo se ramifica cada vez que obtenemos una factorización ${\ Displaystyle f (\ alpha) = 0}$

${\ Displaystyle g (\ alpha, y) = (y-a_ {1}) ^ {e_ {1}} \ cdots (y-a_ {k}) ^ {e_ {k}}}$

donde uno de los . Esto implica que los puntos tienen multiplicidades respectivamente. El retroceso plano del punto es entonces ${\ Displaystyle e_ {i}> 1}$${\ Displaystyle \ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {k} \} = f ^ {- 1} (\ alpha)}$${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {k}}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle f ^ {*} [\ alpha] = e_ {1} [\ alpha] + \ cdots + e_ {k} [\ alpha _ {k}]}$

Familia plana de variedades

Considere una familia plana de variedades.

${\ Displaystyle X \ a S}$

y una subvariedad . Luego, usando el cuadrado cartesiano ${\ Displaystyle S '\ subconjunto S}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} S '\ times _ {S} X & \ to & X \\\ downarrow && \ downarrow \\ S' & \ to & S \ end {matrix}}}$

vemos que la imagen de es una subvariedad de . Por lo tanto tenemos ${\ Displaystyle S '\ times _ {S} X}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f ^ {*} [S '] = [S' \ times _ {S} X]}$

Mapas de ciclo

Hay varios homomorfismos (conocidos como mapas de ciclos ) desde grupos de Chow hasta teorías más computables.

Primero, para un esquema X sobre los números complejos, hay un homomorfismo de los grupos de Chow a la homología de Borel-Moore :

${\ Displaystyle {\ mathit {CH}} _ {i} (X) \ rightarrow H_ {2i} ^ {BM} (X, \ mathbf {Z}).}$

El factor 2 aparece porque una subvariedad i- dimensional de X tiene una dimensión real 2 i . Cuando X es suave sobre los números complejos, este mapa de ciclo se puede reescribir usando la dualidad de Poincaré como un homomorfismo.

${\ displaystyle {\ mathit {CH}} ^ {j} (X) \ rightarrow H ^ {2j} (X, \ mathbf {Z}).}$

En este caso ( X suave sobre C ), estos homomorfismos forman un homomorfismo de anillo desde el anillo de Chow hasta el anillo de cohomología. Intuitivamente, esto se debe a que los productos tanto del anillo de Chow como del anillo de cohomología describen la intersección de ciclos.

Para una variedad proyectiva compleja suave , el mapa del ciclo del anillo de Chow a los factores de cohomología ordinarios a través de una teoría más rica, la cohomología de Deligne . Esto incorpora el mapa de Abel-Jacobi desde ciclos homológicamente equivalentes a cero hasta el jacobiano intermedio . La secuencia exponencial muestra que CH ¹ ( X ) se asigna isomórficamente a la cohomología de Deligne, pero eso falla para CH ^j ( X ) con j > 1.

Para un esquema X sobre un campo arbitrario k , hay un mapa de ciclo análogo de los grupos de Chow a la homología etale (Borel-Moore) . Cuando X es suave sobre k , este homomorfismo se puede identificar con un homomorfismo de anillo del anillo de Chow a la cohomología de etale.

Relación con la teoría K

Un conjunto de vectores (algebraicos) E en un esquema uniforme X sobre un campo tiene clases Chern c _i ( E ) en CH ⁱ ( X ), con las mismas propiedades formales que en la topología. Las clases de Chern proporcionan una estrecha conexión entre los paquetes de vectores y los grupos de Chow. Es decir, dejar que K ₀ ( X ) sea el grupo de Grothendieck de paquetes del vector en X . Como parte del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , Grothendieck demostró que el carácter de Chern da un isomorfismo

${\ Displaystyle K_ {0} (X) \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q} \ cong \ prod _ {i} {\ mathit {CH}} ^ {i} (X) \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q}.}$

Este isomorfismo muestra la importancia de la equivalencia racional, en comparación con cualquier otra relación de equivalencia adecuada en ciclos algebraicos.

Conjeturas

Algunas de las conjeturas más profundas en geometría algebraica y teoría de números son intentos de comprender los grupos de Chow. Por ejemplo:

• El teorema de Mordell-Weil implica que el grupo de clases divisor CH _{n -1} ( X ) se genera de forma finita para cualquier variedad X de dimensión n sobre un campo numérico. Es un problema abierto si todos los grupos de Chow se generan de forma finita para cada variedad en un campo numérico. La conjetura de Bloch - Kato sobre los valores de las funciones L predice que estos grupos se generan de forma finita. Además, el rango del grupo de ciclos módulo de equivalencia homológica, y también del grupo de ciclos homológicamente equivalente a cero, debe ser igual al orden de desaparición de una función L de la variedad dada en ciertos puntos enteros. La finitud de estos rangos también se seguiría de la conjetura de Bass en la teoría K algebraica.
• Para una variedad X proyectiva compleja suave , la conjetura de Hodge predice la imagen ( tensorada con los racionales Q ) del mapa del ciclo de los grupos de Chow a la cohomología singular. Para una variedad proyectiva suave sobre un campo generado de forma finita (como un campo finito o un campo numérico), la conjetura de Tate predice la imagen (tensored con Q _l ) del mapa del ciclo de los grupos de Chow a la cohomología l-ádica .
• Para una variedad proyectiva suave X sobre cualquier campo, la conjetura de Bloch - Beilinson predice una filtración en los grupos Chow de X (tenso con los racionales) con propiedades fuertes. La conjetura implicaría una conexión hermética entre la cohomología singular o etale de X y los grupos de Chow de X .

Por ejemplo, sea X una superficie proyectiva compleja lisa. El grupo de Chow de ciclos cero en X se asigna a los enteros por el grado de homomorfismo; sea K el núcleo. Si el género geométrico h ⁰ ( X , Ω ² ) no es cero, Mumford demostró que K es "de dimensión infinita" (no la imagen de ninguna familia de dimensiones finitas de ciclos cero en X ). La conjetura de Bloch-Beilinson implicaría un recíproco satisfactorio, la conjetura de Bloch sobre ciclos cero : para una superficie proyectiva compleja suave X con género geométrico cero, K debería ser de dimensión finita; Más precisamente, se debe asignar isomórficamente al grupo de puntos complejos de la variedad Albanese de X .

Variantes

Teoría bivariante

Fulton y MacPherson extendieron el anillo de Chow a variedades singulares al definir el " anillo de Chow operativo " y, de manera más general, una teoría bivariante asociada a cualquier morfismo de esquemas. Una teoría bivariante es un par de functores covariantes y contravariantes que asignan a un mapa un grupo y un anillo respectivamente. Generaliza una teoría de cohomología , que es un funtor contravariante que asigna a un espacio un anillo, es decir, un anillo de cohomología . El nombre "bivariante" se refiere al hecho de que la teoría contiene tanto functores covariantes como contravariantes.

Ésta es, en cierto sentido, la extensión más elemental del anillo Chow a variedades singulares; otras teorías, como la cohomología motívica, se asignan al anillo operacional de Chow.

Otras variantes

Los grupos aritméticos de Chow son una fusión de grupos de variedades Chow sobre Q junto con un componente que codifica la información teórica de Arakelov , es decir, formas diferenciales en la variedad compleja asociada.

La teoría de los grupos de Chow de esquemas de tipo finito sobre un campo se extiende fácilmente a la de los espacios algebraicos . La ventaja clave de esta extensión es que es más fácil formar cocientes en la última categoría y, por lo tanto, es más natural considerar grupos de Chow equivariantes de espacios algebraicos. Una extensión mucho más formidable es la del grupo Chow de una pila , que se ha construido solo en algún caso especial y que se necesita en particular para dar sentido a una clase fundamental virtual .

Historia

La equivalencia racional de divisores (conocida como equivalencia lineal ) se estudió en varias formas durante el siglo XIX, lo que llevó al grupo de clases ideal en la teoría de números y la variedad jacobiana en la teoría de curvas algebraicas. Para los ciclos de codimensión superior, Francesco Severi introdujo la equivalencia racional en la década de 1930. En 1956, Wei-Liang Chow dio una prueba influyente de que el producto de la intersección está bien definido en ciclos módulo de equivalencia racional para una variedad cuasi-proyectiva suave, utilizando el lema móvil de Chow . A partir de la década de 1970, Fulton y MacPherson dieron la base estándar actual para los grupos de Chow, trabajando con variedades singulares siempre que fuera posible. En su teoría, el producto de intersección para variedades suaves se construye por deformación al cono normal .

Ver también

• Teoría de la intersección
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Conjetura de Hodge
• Motivo (geometría algebraica)

Referencias

Citas

Introductorio

• Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica

Avanzado

• Bloch, Spencer (1986), "Ciclos algebraicos y teoría K superior", Advances in Mathematics , 61 (3): 267-304, doi : 10.1016 / 0001-8708 (86) 90081-2 , ISSN  0001-8708 , MR  0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, I" , Anneaux de Chow et applications , Séminaire Claude Chevalley, 3
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, II" , Anneaux de Chow et applications , Séminaire Claude Chevalley, 3
• Chow, Wei-Liang (1956), "Sobre clases de equivalencia de ciclos en una variedad algebraica", Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi : 10.2307 / 1969596 , ISSN  0003-486X , MR  0082173
• Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, MR  0463174
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, MR  1644323
• Severi, Francesco (1932), "La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica", Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi : 10.1007 / bf01202721 , JFM  58.1229.01
• Voevodsky, Vladimir (2000), "Categorías trianguladas de motivos sobre un campo", Ciclos, transferencias y teorías de homología motivacional , Princeton University Press , pp. 188-238, ISBN 9781400837120, MR  1764202
• Voisin, Claire (2002), Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, MR  1997577