Conjetura de Hodge - Hodge conjecture

Problemas del Premio del Milenio
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer Conjetura de Hodge Existencia y suavidad de Navier-Stokes Problema de P versus NP Conjetura de Poincaré (resuelto) Hipótesis de Riemann Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
v t mi

En matemáticas , la conjetura de Hodge es un problema importante sin resolver en geometría algebraica y geometría compleja que relaciona la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular con sus subvariedades.

En términos simples, la conjetura de Hodge afirma que la información topológica básica como el número de huecos en ciertos espacios geométricos , variedades algebraicas complejas , puede entenderse estudiando las posibles formas agradables que se encuentran dentro de esos espacios, que parecen conjuntos cero de ecuaciones polinomiales . Estos últimos objetos pueden estudiarse utilizando álgebra y el cálculo de funciones analíticas , y esto permite comprender indirectamente la forma y estructura amplias de espacios a menudo de dimensiones superiores que no pueden visualizarse fácilmente de otra manera.

Más específicamente, la conjetura establece que ciertas clases de cohomología de De Rham son algebraicas; es decir, son sumas de duales de Poincaré de las clases de homología de subvariedades. Fue formulado por el matemático escocés William Vallance Douglas Hodge como resultado de un trabajo entre 1930 y 1940 para enriquecer la descripción de la cohomología de Rham para incluir la estructura extra que está presente en el caso de variedades algebraicas complejas. Recibió poca atención antes de que Hodge lo presentara en un discurso durante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 , celebrado en Cambridge, Massachusetts . La conjetura de Hodge es una de las Matemáticas Instituto de Clay 's Premio del Milenio problemas , con un premio de $ 1.000.000 para cualquiera que pueda probar o refutar la conjetura de Hodge.

Motivación

Sea X una variedad compleja compacta de dimensión compleja n . Entonces X es una variedad suave orientable de dimensión real , por lo que sus grupos de cohomología se encuentran en grados cero a través . Suponga que X es una variedad de Kähler , por lo que hay una descomposición en su cohomología con coeficientes complejos ${\ Displaystyle 2n}$${\ Displaystyle 2n}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}$

donde es el subgrupo de clases de cohomología que están representadas por formas armónicas de tipo . Es decir, estas son las clases de cohomología representadas por formas diferenciales que, en alguna elección de coordenadas locales , pueden escribirse como una función armónica veces ${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X)}$${\ Displaystyle (p, q)}$${\ Displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$

${\ Displaystyle dz_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {i_ {p}} \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {q}}.}$

(Consulte la teoría de Hodge para obtener más detalles). Tomar productos de cuña de estos representantes armónicos corresponde al producto de copa en cohomología, por lo que el producto de copa es compatible con la descomposición de Hodge:

${\ Displaystyle \ cup \ colon H ^ {p, q} (X) \ times H ^ {p ', q'} (X) \ rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }$

Dado que X es un colector orientado compacto, X tiene una clase fundamental .

Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k , y sea ​​el mapa de inclusión. Elija una forma diferencial de tipo . Podemos integrar sobre Z : ${\ Displaystyle i \ colon Z \ to X}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle (p, q)}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ int _ {Z} i ^ {*} \ alpha.}$

Para evaluar esta integral, elija un punto de Z y llámelo 0. Alrededor de 0, podemos elegir coordenadas locales en X de manera que Z sea ​​justo . Si , a continuación, debe contener algo de donde se aleja a cero en Z . Lo mismo es cierto si . En consecuencia, esta integral es cero si . ${\ Displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$${\ Displaystyle z_ {k + 1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$${\ Displaystyle p> k}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dz_ {i}}$${\ Displaystyle z_ {i}}$${\ Displaystyle q> k}$${\ Displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$

De manera más abstracta, la integral se puede escribir como el producto de límite de la clase de homología de Z y la clase de cohomología representada por . Por dualidad de Poincaré, la clase de homología de Z es dual a una clase cohomology que llamaremos [ Z ], y el producto tapa puede calcularse tomando el producto taza de [ Z ] y α y tapado con la clase fundamental de X . Como [ Z ] es una clase de cohomología, tiene una descomposición de Hodge. Según el cálculo que hicimos anteriormente, si combinamos esta clase con cualquier clase de tipo , obtenemos cero. Porque , concluimos que [ Z ] debe estar en . Hablando libremente, la conjetura de Hodge pregunta: ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$${\ Displaystyle H ^ {2n} (X, \ mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {nk, nk} (X)}$

¿Qué clases de cohomología provienen de subvariedades complejas Z ?${\ Displaystyle H ^ {k, k} (X)}$

Declaración de la conjetura de Hodge

Dejar:

${\ Displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2k} (X, \ mathbb {Q}) \ cap H ^ {k, k} (X).}$

A esto le llamamos el grupo de clases de Hodge de grado 2 k en X .

La declaración moderna de la conjetura de Hodge es:

Conjetura de Hodge. Sea X una variedad proyectiva compleja no singular. A continuación, todas las clases de Hodge X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X .

Una variedad compleja proyectiva es una variedad compleja que se puede incrustar en un espacio proyectivo complejo . Debido a que el espacio proyectivo lleva una métrica de Kähler, la métrica de Fubini-Study , tal variedad es siempre una variedad de Kähler. Según el teorema de Chow , una variedad compleja proyectiva también es una variedad algebraica proyectiva suave, es decir, es el conjunto cero de una colección de polinomios homogéneos.

Reformulación en términos de ciclos algebraicos

Otra forma de formular la conjetura de Hodge implica la idea de un ciclo algebraico. Un ciclo algebraico en X es una combinación formal de subvariedades de X ; es decir, es algo de la forma:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}$

Los coeficientes se suelen considerar integrales o racionales. Definimos la clase de cohomología de un ciclo algebraico como la suma de las clases de cohomología de sus componentes. Este es un ejemplo del mapa de clases cíclicas de la cohomología de De Rham, ver Cohomología de Weil . Por ejemplo, la clase de cohomología del ciclo anterior sería:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}$

Esta clase de cohomología se llama algebraica . Con esta notación, la conjetura de Hodge se convierte en:

Sea X una variedad compleja proyectiva. Entonces, cada clase de Hodge en X es algebraica.

La suposición de la conjetura de Hodge de que X es algebraica (variedad compleja proyectiva) no puede debilitarse. En 1977, Steven Zucker demostró que es posible construir un contraejemplo de la conjetura de Hodge como toros complejos con cohomología analítica racional de tipo , que no es algebraica proyectiva. (ver apéndice B de Zucker (1977) ) ${\ Displaystyle (p, p)}$

Casos conocidos de la conjetura de Hodge

Baja dimensión y codimensión

El primer resultado de la conjetura de Hodge se debe a Lefschetz (1924) . De hecho, es anterior a la conjetura y proporcionó parte de la motivación de Hodge.

Teorema ( teorema de Lefschetz sobre (1,1) -clases ) Cualquier elemento de es la clase de cohomología de un divisor en . En particular, la conjetura de Hodge es cierta para .${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {1,1} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {2}}$

Se puede dar una prueba muy rápida utilizando la cohomología de la gavilla y la secuencia exacta exponencial . (La clase de cohomología de un divisor resulta ser igual a su primera clase Chern .) La demostración original de Lefschetz procedía de funciones normales , que fueron introducidas por Henri Poincaré . Sin embargo, el teorema de transversalidad de Griffiths muestra que este enfoque no puede probar la conjetura de Hodge para subvariedades codimensionales superiores.

Por el teorema de Hard Lefschetz , se puede probar:

Teorema. Si la conjetura de Hodge es válida para las clases de grado de Hodge , para todos , entonces la conjetura de Hodge es válida para las clases de grado de Hodge .${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p <n}$${\ Displaystyle 2n-p}$

La combinación de los dos teoremas anteriores implica que la conjetura de Hodge es cierta para las clases de grado de Hodge . Esto prueba la conjetura de Hodge cuando tiene una dimensión como máximo de tres. ${\ Displaystyle 2n-2}$${\ Displaystyle X}$

El teorema de Lefschetz sobre las clases (1,1) también implica que si todas las clases de Hodge son generadas por las clases de divisores de Hodge, entonces la conjetura de Hodge es verdadera:

Corolario. Si el álgebra es generado por , entonces la conjetura de Hodge es válida para .${\ Displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {k} \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}$${\ Displaystyle X}$

Hiperesuperficies

Por la fuerte y débil teorema de Lefschetz , la única parte no trivial de la conjetura de Hodge para hipersuperficies es el grado m parte (es decir, el cohomology medio) de un 2 m hipersuperficie -dimensional . Si el grado d es 2, es decir, X es un cuadrático , la conjetura de Hodge es válida para todo m . Porque , es decir, cuádruple , es conocida la conjetura de Hodge . ${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbf {P} ^ {2m + 1}}$${\ Displaystyle m = 2}$${\ Displaystyle d \ leq 5}$

Variedades abelianas

Para la mayoría de las variedades abelianas , el álgebra Hdg * ( X ) se genera en grado uno, por lo que la conjetura de Hodge es válida. En particular, la conjetura de Hodge es válida para variedades abelianas suficientemente generales, para productos de curvas elípticas y para variedades abelianas simples de dimensión prima. Sin embargo, Mumford (1969) construyó un ejemplo de una variedad abeliana donde Hdg ² ( X ) no es generado por productos de clases divisorias. Weil (1977) generalizó este ejemplo mostrando que siempre que la variedad tiene una multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario , entonces Hdg ² ( X ) no es generado por productos de clases divisorias. Moonen y Zarhin (1999) demostraron que en una dimensión menor que 5, o Hdg * ( X ) se genera en el grado uno, o la variedad tiene una multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario. En el último caso, la conjetura de Hodge solo se conoce en casos especiales.

Generalizaciones

La conjetura integral de Hodge

La conjetura original de Hodge fue:

Conjetura integral de Hodge. Sea X una variedad compleja proyectiva. Entonces cada clase de cohomología es la clase de cohomología de un ciclo algebraica con coeficientes integrales en X .${\ Displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

Ahora se sabe que esto es falso. El primer contraejemplo fue construido por Atiyah & Hirzebruch (1961) . Usando la teoría K , construyeron un ejemplo de una clase de cohomología de torsión, es decir, una clase de cohomología α tal que nα  = 0 para algún número entero positivo n, que no es la clase de un ciclo algebraico. Tal clase es necesariamente una clase de Hodge. Totaro (1997) reinterpretó su resultado en el marco del cobordismo y encontró muchos ejemplos de tales clases.

El ajuste más simple de la conjetura integral de Hodge es:

Conjetura de Hodge integral módulo torsión. Sea X una variedad compleja proyectiva. Entonces cada clase de cohomología es la suma de una clase de torsión y la clase de cohomología de un ciclo algebraica con coeficientes integrales en X .${\ Displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

De manera equivalente, después de dividir por clases de torsión, cada clase es la imagen de la clase de cohomología de un ciclo algebraico integral. Esto también es falso. Kollár (1992) encontró un ejemplo de una clase α de Hodge que no es algebraica, pero que tiene un múltiplo integral que es algebraico. ${\ Displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

Rosenschon y Srinivas (2016) han demostrado que para obtener una conjetura integral de Hodge correcta, es necesario reemplazar los grupos de Chow, que también pueden expresarse como grupos de cohomología motívica , por una variante conocida como cohomología motívica étale (o Lichtenbaum ) . Muestran que la conjetura racional de Hodge es equivalente a una conjetura integral de Hodge para esta cohomología motívica modificada.

La conjetura de Hodge para las variedades Kähler

Una generalización natural de la conjetura de Hodge preguntaría:

Conjetura de Hodge para las variedades Kähler, versión ingenua. Sea X una variedad compleja de Kähler. A continuación, todas las clases de Hodge X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X .

Esto es demasiado optimista, porque no hay suficientes subvariedades para que esto funcione. Un posible sustituto es hacer en su lugar una de las dos preguntas siguientes:

Conjetura de Hodge para las variedades de Kähler, versión de paquete vectorial. Sea X una variedad compleja de Kähler. A continuación, todas las clases de Hodge X es una combinación lineal con coeficientes racionales de clases de Chern de paquetes del vector en X .

Conjetura de Hodge para las variedades Kähler, versión coherente de gavilla. Sea X una variedad compleja de Kähler. A continuación, todas las clases de Hodge X es una combinación lineal con coeficientes racionales de clases de Chern de gavillas coherentes sobre X .

Voisin (2002) demostró que las clases Chern de gavillas coherentes dan estrictamente más clases de Hodge que las clases Chern de haces de vectores y que las clases Chern de gavillas coherentes son insuficientes para generar todas las clases de Hodge. En consecuencia, las únicas formulaciones conocidas de la conjetura de Hodge para las variedades Kähler son falsas.

La conjetura generalizada de Hodge

Hodge hizo una conjetura adicional y más fuerte que la conjetura integral de Hodge. Decir que una clase del cohomology en X es de co-nivel c (coniveau c) si es el pushforward de una clase cohomology en un c subvariedad -codimensional de X . Las clases de cohomología de co-nivel al menos c filtran la cohomología de X , y es fácil ver que el c- ésimo paso de la filtración N ^c H ^k ( X , Z ) satisface

${\ Displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ subseteq H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X ) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

La declaración original de Hodge fue:

Conjetura generalizada de Hodge, versión de Hodge. ${\ Displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) = H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

Grothendieck (1969) observó que esto no puede ser cierto, incluso con coeficientes racionales, porque el lado derecho no siempre es una estructura de Hodge. Su forma corregida de la conjetura de Hodge es:

Conjetura generalizada de Hodge. N ^c H ^k ( X , Q ) es la estructura sub-Hodge más grande de H ^k ( X , Z ) contenida en${\ Displaystyle H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X).}$

Esta versión está abierta.

Algebraicidad de los loci de Hodge

La evidencia más fuerte a favor de la conjetura de Hodge es el resultado de algebraicidad de Cattani, Deligne y Kaplan (1995) . Suponga que variamos la estructura compleja de X sobre una base simplemente conectada. Entonces, la cohomología topológica de X no cambia, pero la descomposición de Hodge sí cambia. Se sabe que si la conjetura de Hodge es cierta, entonces el lugar geométrico de todos los puntos en la base donde la cohomología de una fibra es una clase de Hodge es de hecho un subconjunto algebraico, es decir, está recortado por ecuaciones polinómicas. Cattani, Deligne y Kaplan (1995) demostraron que esto siempre es cierto, sin asumir la conjetura de Hodge.

Ver también

• Conjetura de Tate
• Teoría de Hodge
• Estructura Hodge
• Mapeo de períodos

Referencias

• Atiyah, MF ; Hirzebruch, F. (1961), "Ciclos analíticos sobre variedades complejas", Topología , 1 : 25–45, doi : 10.1016 / 0040-9383 (62) 90094-0Disponible en la colección Hirzebruch (pdf).
• Cattani, Eduardo ; Deligne, Pierre ; Kaplan, Aroldo (1995), "On the locus of Hodge classes", Journal of the American Mathematical Society , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom / 9402009 , doi : 10.2307 / 2152824 , JSTOR  2152824 , MR  1273413.
• Grothendieck, A. (1969), "La conjetura general de Hodge es falsa por razones triviales", Topología , 8 (3): 299-303, doi : 10.1016 / 0040-9383 (69) 90016-0.
• Hodge, WVD (1950), "Los invariantes topológicos de las variedades algebraicas", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , Cambridge, MA, 1 : 181-192.
• Kollár, János (1992), "Ejemplos de Trento", en Ballico, E .; Catanese, F .; Ciliberto, C. (eds.), Clasificación de variedades irregulares , Lecture Notes in Math., 1515 , Springer, p. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (en francés), París: Gauthier-VillarsReimpreso en Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447.
• Moonen, Ben JJ ; Zarhin, Yuri G. (1999), "Clases de Hodge sobre variedades abelianas de baja dimensión", Mathematische Annalen , 315 (4): 711–733, arXiv : math / 9901113 , doi : 10.1007 / s002080050333 , MR  1731466.
• Mumford, David (1969), "Una nota del artículo de Shimura" Grupos discontinuos y variedades abelianas " " , Mathematische Annalen , 181 (4): 345–351, doi : 10.1007 / BF01350672.
• Rosenschon, Andreas; Srinivas, V. (2016), "Étale motivic cohomology and algebraic ciclos" (PDF) , Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu , 15 (3): 511-537, doi : 10.1017 / S1474748014000401 , MR  3505657 , Zbl  1346.19004
• Totaro, Burt (1997), "Ciclos algebraicos de torsión y cobordismo complejo", Journal of the American Mathematical Society , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom / 9609016 , doi : 10.1090 / S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR  2152859.
• Voisin, Claire (2002), "Un contraejemplo de la conjetura de Hodge extendida a las variedades de Kähler" , International Mathematics Research Notices , 2002 (20): 1057–1075, doi : 10.1155 / S1073792802111135 , MR  1902630.
• Weil, André (1977), "Variedades abelianas y el anillo de Hodge", Documentos recopilados , III , págs. 421–429
• Zucker, Steven (1977), "La conjetura de Hodge para cuádruples cúbicos" , Compositio Mathematica , 34 (2): 199-209, MR  0453741

enlaces externos

• Deligne, Pierre . "The Hodge Conjecture" (PDF) (Descripción oficial del problema del Clay Math Institute).
• Conferencia popular sobre la conjetura de Hodge por Dan Freed (Universidad de Texas) (video real) (diapositivas)
• Biswas, Indranil ; Paranjape, Kapil Hari (2002), "La conjetura de Hodge para las variedades generales de Prym", Journal of Algebraic Geometry , 11 (1): 33–39, arXiv : math / 0007192 , doi : 10.1090 / S1056-3911-01-00303- 4 , MR  1865912
• Burt Totaro , ¿Por qué creer en la conjetura de Hodge?
• Claire Voisin , Hodge loci