Cobordismo - Cobordism

En matemáticas , el cobordismo es una relación de equivalencia fundamental en la clase de variedades compactas de la misma dimensión, establecida utilizando el concepto de frontera ( bord francés , dando cobordismo ) de una variedad. Dos variedades de la misma dimensión son cobordantes si su unión disjunta es el límite de una variedad compacta una dimensión más alta.

El límite de una variedad W ( n  + 1) -dimensional es una variedad n- dimensional ∂ W que está cerrada, es decir, con un límite vacío. En general, una variedad cerrada no necesita ser una frontera: la teoría del cobordismo es el estudio de la diferencia entre todas las variedades cerradas y aquellas que son fronteras. La teoría fue desarrollada originalmente por René Thom para variedades suaves (es decir, diferenciables), pero ahora también hay versiones para variedades lineales y topológicas por partes .

A cobordism entre colectores de M y N es un distribuidor compacto W cuyo límite es la unión disjunta de M y N , . ${\ Displaystyle \ W parcial = M \ sqcup N}$

Los coordismos se estudian tanto por la relación de equivalencia que generan como objetos por derecho propio. El cobordismo es una relación de equivalencia mucho más burda que el difeomorfismo o el homeomorfismo de variedades, y es significativamente más fácil de estudiar y calcular. No es posible clasificar variedades hasta difeomorfismo u homeomorfismo en dimensiones ≥ 4 - porque el problema verbal para grupos no se puede resolver - pero es posible clasificar variedades hasta cobordismo. Los coordismos son objetos centrales de estudio en topología geométrica y topología algebraica . En topología geométrica, los cobordismos están íntimamente conectados con la teoría de Morse , y los h -cobordismos son fundamentales en el estudio de variedades de alta dimensión, es decir , la teoría de la cirugía . En topología algebraica, las teorías de cobordismo son teorías de cohomología extraordinarias fundamentales , y las categorías de cobordismos son los dominios de las teorías de campos cuánticos topológicos .

Definición

Colectores

En términos generales, un n -dimensional colector M es un espacio topológico localmente (es decir, cerca de cada punto) homeomorfo a un subconjunto abierto de espacio euclídeo Una variedad con borde es similar, excepto que un punto de M se le permite tener un barrio que es homeomorfo a un subconjunto abierto del medio espacio${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

${\ Displaystyle \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ {n} \ geqslant 0 \}.}$

Aquellos puntos sin un homeomorfo vecino a un subconjunto abierto del espacio euclidiano son los puntos límite de ; el límite de se denota por . Finalmente, una variedad cerrada es, por definición, una variedad compacta sin límite ( .) ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ parcial M}$${\ Displaystyle \ parcial M = \ conjunto vacío}$

Cobordismos

Un cobordismo -dimensional es un quíntuplo que consta de una variedad diferenciable compacta -dimensional con límite ,; cerrados -manifolds , ; e incrustaciones , con imágenes inconexas que ${\ Displaystyle (n + 1)}$ ${\ Displaystyle (W; M, N, i, j)}$${\ Displaystyle (n + 1)}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle i \ colon M \ hookrightarrow \ parcial W}$${\ Displaystyle j \ dos puntos N \ hookrightarrow \ parcial W}$

${\ Displaystyle \ W parcial = yo (M) \ sqcup j (N) ~.}$

La terminología suele abreviarse como . M y N se denominan cobordantes si existe tal cobordismo. Todos los colectores cobordant a un colector dado fijo M forma la clase cobordism de  M . ${\ Displaystyle (W; M, N)}$

Cada colector cerrado M es el límite del colector no compacto M  × [0, 1); por esta razón, requerimos que W sea ​​compacto en la definición de cobordismo. Sin embargo, tenga en cuenta que no es necesario conectar W ; como consecuencia, si M  = ∂ W ₁ y N  = ∂ W ₂ , entonces M y N son cobordantes.

Ejemplos de

El ejemplo más simple de un cobordismo es el intervalo unitario I = [0, 1]. Es un cobordismo unidimensional entre las variedades de dimensión 0 {0}, {1}. De manera más general, para cualquier variedad cerrada M , ( M × I ; M x {0}, M x {1}) es un cobordismo de M × {0} a M × {1}.

Si M consta de un círculo y N de dos círculos, M y N juntos forman el límite de un par de pantalones W (ver la figura de la derecha). Así, el par de pantalones es un cobordism entre M y N . Un cobordismo más simple entre M y N viene dado por la unión disjunta de tres discos.

El par de pantalones es un ejemplo de un cobordismo más general: para dos variedades n- dimensionales cualesquiera M , M ′, la unión disjunta es cobordante con la suma conectada El ejemplo anterior es un caso particular, ya que la suma conectada es isomorfa a The La suma conectada se obtiene de la unión disjunta mediante cirugía en una incrustación de en , y el cobordismo es el rastro de la cirugía. ${\ Displaystyle M \ sqcup M '}$ ${\ Displaystyle M \ #M '.}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ # \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}.}$${\ Displaystyle M \ #M '}$${\ Displaystyle M \ sqcup M '}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {n}}$${\ Displaystyle M \ sqcup M '}$

Terminología

Un colector de n M se llama cobordante nulo si hay un cobordismo entre M y el colector vacío; en otras palabras, si M es el límite completo de alguna  variedad ( n + 1). Por ejemplo, el círculo es cobordante nulo ya que limita un disco. De manera más general, una n -esfera es nula-cobordante ya que limita un ( n  + 1) -disco. Además, cada superficie orientable es nula-cobordante, porque es el límite de un cuerpo de manija . Por otra parte, el 2 n -dimensional espacio proyectivo real, es un (compacto) colector cerrado que no es el límite de un colector, como se explica a continuación. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2n} (\ mathbb {R})}$

El problema general del bordismo es calcular las clases de cobordismo de variedades sujetas a diversas condiciones.

Los cobordismos nulos con estructura adicional se denominan empastes . Algunos autores utilizan indistintamente "bordismo" y "cobordismo"; otros los distinguen. Cuando se desea distinguir el estudio de las clases de cobordismo del estudio de los cobordismos como objetos por derecho propio, se llama a la cuestión de la equivalencia "bordismo de variedades" y al estudio de los cobordismos como objetos "cobordismos de variedades".

El término "bordismo" proviene del francés bord , que significa límite. Por tanto, el bordismo es el estudio de las fronteras. "Cobordismo" significa "unido conjuntamente", por lo que M y N son cobordantes si unen conjuntamente una variedad, es decir, si su unión disjunta es un límite. Además, los grupos de cobordismo forman una teoría de cohomología extraordinaria , de ahí la co-.

Variantes

Lo anterior es la forma más básica de la definición. También se lo conoce como bordismo desorientado. En muchas situaciones, los colectores en cuestión están orientadas , o llevan alguna otra estructura adicional conocido como G-estructura . Esto da lugar al "cobordismo orientado" y al "cobordismo con estructura G", respectivamente. En condiciones técnicas favorables, estos forman un anillo graduado llamado anillo de cobordismo , con clasificación por dimensión, suma por unión disjunta y multiplicación por producto cartesiano . Los grupos de cobordismo son los grupos de coeficientes de una teoría de homología generalizada . ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Cuando hay una estructura adicional, la noción de cobordism debe formularse con más precisión: a G -Estructura en W restringe a un G -Estructura en M y N . Los ejemplos básicos son G = O para el cobordismo no orientado, G = SO para el cobordismo orientado y G = U para el cobordismo complejo utilizando variedades establemente complejas . Robert E. Stong detalla muchos más .

En una línea similar, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía en mapas normales : tal proceso cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo .

En lugar de considerar una estructura adicional, también es posible tener en cuenta varias nociones de variedad, especialmente variedades lineales por partes (PL) y topológicas . Esto da lugar a grupos de bordismo , que son más difíciles de calcular que las variantes diferenciables. ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {PL} (X), \ Omega _ {*} ^ {TOP} (X)}$

Construcción de cirugía

Recuerde que, en general, si X , Y son variedades con límite, entonces la frontera de la variedad de producto es ∂ ( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ).

Ahora, dada una variedad M de dimensión n = p + q y una incrustación definen la variedad n${\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ subconjunto M,}$

${\ Displaystyle N: = (M- \ operatorname {int ~ im} \ varphi) \ cup _ {\ varphi | _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} }} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1})}$

obtenido mediante cirugía , cortando el interior y pegándolo a lo largo de su límite ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1}}$

${\ Displaystyle \ parcial \ izquierda (\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ right) = \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ { q-1} = \ parcial \ izquierda (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} \ right).}$

El rastro de la cirugía

${\ Displaystyle W: = (M \ times I) \ cup _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ times \ {1 \}} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {D} ^ {q})}$

define un cobordismo elemental ( W ; M , N ). Tenga en cuenta que M se obtiene de N mediante cirugía. Esto se denomina revertir la cirugía . ${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} \ subconjunto N.}$

Todo cobordismo es una unión de cobordismos elementales, obra de Marston Morse , René Thom y John Milnor .

Ejemplos de

De acuerdo con la definición anterior, una cirugía en el círculo consiste en cortar una copia y pegar Las imágenes en la Fig.1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) nuevamente, o (ii) dos copias de ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {0}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$

Para la cirugía en las 2 esferas, hay más posibilidades, ya que podemos empezar por cortar o ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$

• (a) : Si quitamos un cilindro de la 2-esfera, nos quedan dos discos. Tenemos que volver a pegar , es decir, dos discos, y está claro que el resultado de hacerlo es darnos dos esferas separadas. (Figura 2a) ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$

• (b) : Después de cortar dos discos, volvemos a pegar en el cilindro. Hay dos resultados posibles, dependiendo de si nuestros mapas de pegado tienen la misma orientación o la opuesta en los dos círculos delimitadores. Si las orientaciones son las mismas (Fig. 2b), la variedad resultante es el toro, pero si son diferentes, obtenemos la botella de Klein (Fig. 2c). ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2},}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {1}}$

Funciones Morse

Suponga que f es una función Morse en una  variedad ( n + 1) -dimensional, y suponga que c es un valor crítico con exactamente un punto crítico en su preimagen. Si el índice de este punto crítico es p  + 1, entonces el conjunto de niveles N  : = f ⁻¹ ( c  + ε) se obtiene de M  : = f ⁻¹ ( c  - ε) mediante una p -cirugía. La imagen inversa W  : = f ⁻¹ ([ c  - ε, c  + ε]) define un cobordismo ( W ; M , N ) que se puede identificar con el rastro de esta cirugía.

Geometría y la conexión con la teoría Morse y los mangos

Dado un cobordism ( W ; M , N ) existe una función lisa f  : W → [0, 1] tal que f ^-1 (0) = M , f ^-1 (1) = N . Por posición general, se puede suponer f es Morse y tal que todos los puntos críticos se producen en el interior de W . En este contexto, f se denomina función Morse en un cobordismo. El cobordismo ( W ; M , N ) es una unión de los rastros de una secuencia de cirugías en M , una por cada punto crítico de f . El colector W se obtiene de M × [0, 1] colocando un asa para cada punto crítico de f .

El teorema de Morse / Smale establece que para una función de Morse en un cobordismo, las líneas de flujo de f ′ dan lugar a una presentación de asa del triple ( W ; M , N ). Por el contrario, dada la descomposición del mango de un cobordismo, proviene de una función Morse adecuada. En un entorno adecuadamente normalizado, este proceso da una correspondencia entre las descomposiciones de los manejadores y las funciones Morse en un cobordismo.

Historia

El cobordismo tuvo sus raíces en el intento (fallido) de Henri Poincaré en 1895 de definir la homología puramente en términos de variedades ( Dieudonné 1989 , p. 289 ). Poincaré definió simultáneamente tanto la homología como el cobordismo, que no son lo mismo, en general. Véase Cobordismo como una teoría de cohomología extraordinaria para la relación entre bordismo y homología.

El bordismo fue introducido explícitamente por Lev Pontryagin en el trabajo geométrico sobre variedades. Cobró importancia cuando René Thom demostró que los grupos de cobordismo podían calcularse mediante la teoría de la homotopía , mediante la construcción del complejo de Thom . Teoría cobordism se convirtió en parte del aparato de la teoría cohomology extraordinaria , junto a K-teoría . Desempeñó un papel importante, históricamente hablando, en los desarrollos de la topología en la década de 1950 y principios de la de 1960, en particular en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , y en las primeras demostraciones del teorema del índice de Atiyah-Singer .

En la década de 1980, la categoría con variedades compactas como objetos y cobordismos entre estos como morfismos jugó un papel básico en los axiomas de Atiyah-Segal para la teoría de campos cuánticos topológicos , que es una parte importante de la topología cuántica .

Aspectos categóricos

Los cobordismos son objetos de estudio por derecho propio, además de las clases de cobordismo. Los cobordismos forman una categoría cuyos objetos son variedades cerradas y cuyos morfismos son cobordismos. En términos generales, la composición se obtiene pegando los cobordismos de extremo a extremo: la composición de ( W ; M , N ) y ( W  ′; N , P ) se define pegando el extremo derecho del primero al extremo izquierdo de el segundo, dando ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). Un cobordismo es una especie de cospan : M → W ← N . La categoría es una categoría compacta de daga .

Una teoría de campos cuánticos topológicos es un funtor monoidal de una categoría de cobordismos a una categoría de espacios vectoriales . Es decir, es un funtor cuyo valor en una unión disjunta de variedades es equivalente al producto tensorial de sus valores en cada una de las variedades constituyentes.

En dimensiones bajas, la cuestión del bordismo es relativamente trivial, pero la categoría de cobordismo no lo es. Por ejemplo, el disco que delimita el círculo corresponde a una operación nulary (0-ary), mientras que el cilindro corresponde a una operación 1-ary y el par de pantalones a una operación binaria.

Cobordismo desorientado

El conjunto de clases de cobordismo de variedades n- dimensionales no orientadas cerradas generalmente se denota por (en lugar de la más sistemática ); es un grupo abeliano con la unión disjunta como operación. Más específicamente, si [ M ] y [ N ] denotan las clases de cobordismo de las variedades M y N respectivamente, definimos ; esta es una operación bien definida que se convierte en un grupo abeliano. El elemento de identidad de este grupo es la clase que consta de todos los n colectores cerrados que son límites. Además tenemos por cada M desde . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre el campo con dos elementos . El producto cartesiano de variedades define una multiplicación por lo que ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {n} ^ {\ text {O}}}$${\ Displaystyle [M] + [N] = [M \ sqcup N]}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ Displaystyle [\ emptyset]}$${\ Displaystyle [M] + [M] = [\ emptyset]}$${\ Displaystyle M \ sqcup M = \ partial (M \ times [0,1])}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$${\ Displaystyle [M] [N] = [M \ times N],}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ bigoplus _ {n \ geqslant 0} {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

es un álgebra graduada , con la calificación dada por la dimensión.

La clase de cobordismo de una variedad n- dimensional cerrada no orientada M está determinada por los números característicos de Stiefel-Whitney de M , que dependen de la clase de isomorfismo estable del paquete tangente . Por lo tanto, si M tiene un paquete tangente estable y trivial, entonces . En 1954 René Thom demostró ${\ Displaystyle [M] \ in {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ Displaystyle [M] = 0 \ in {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ mathbb {F} _ {2} \ left [x_ {i} | i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1 \ right] }$

el álgebra polinomial con un generador en cada dimensión . Por lo tanto, dos variedades n- dimensionales cerradas no orientadas M , N son cobordantes, si y solo si para cada colección de k -tuplas de enteros tales que los números de Stiefel-Whitney son iguales ${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ Displaystyle [M] = [N] \ in {\ mathfrak {N}} _ {n},}$${\ Displaystyle \ left (i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ right)}$${\ Displaystyle i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ Displaystyle i_ {1} + \ cdots + i_ {k} = n}$

${\ Displaystyle \ left \ langle w_ {i_ {1}} (M) \ cdots w_ {i_ {k}} (M), [M] \ right \ rangle = \ left \ langle w_ {i_ {1}} ( N) \ cdots w_ {i_ {k}} (N), [N] \ right \ rangle \ in \ mathbb {F} _ {2}}$

con la i- ésima clase Stiefel-Whitney y la clase fundamental -coeficiente . ${\ Displaystyle w_ {i} (M) \ in H ^ {i} \ left (M; \ mathbb {F} _ {2} \ right)}$${\ Displaystyle [M] \ in H_ {n} \ left (M; \ mathbb {F} _ {2} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Incluso para i es posible elegir , la clase de cobordismo del espacio proyectivo real i- dimensional . ${\ Displaystyle x_ {i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {i} (\ mathbb {R}) \ right]}$

Los grupos de cobordismo desorientado de baja dimensión son

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ mathfrak {N}} _ {0} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {1} & = 0, \\ { \ mathfrak {N}} _ {2} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {3} & = 0, \\ {\ mathfrak {N}} _ {4} & = \ mathbb {Z} / 2 \ oplus \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {5} & = \ mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Esto muestra, por ejemplo, que cada variedad cerrada tridimensional es el límite de una variedad 4 (con límite).

La característica de Euler módulo 2 de una variedad M no orientada es un invariante de cobordismo no orientado. Esto está implícito en la ecuación ${\ Displaystyle \ chi (M) \ in \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ chi _ {\ W parcial} = \ left (1 - (- 1) ^ {\ dim W} \ right) \ chi _ {W}}$

para cualquier colector compacto con límite . ${\ Displaystyle W}$

Por tanto, es un homomorfismo de grupo bien definido. Por ejemplo, para cualquier ${\ Displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ in \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ chi \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {R}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {R }) \ derecha) = 1.}$

En particular, tal producto de espacios proyectivos reales no es nula-cobordante. El mapa característico de Euler mod 2 es para todos y un isomorfismo de grupo para ${\ Displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {2i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {N},}$${\ Displaystyle i = 1.}$

Además, debido a , estos homomorfismos grupales se ensamblan en un homomorfismo de álgebras graduadas: ${\ Displaystyle \ chi (M \ times N) = \ chi (M) \ chi (N)}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ mathfrak {N}} \ to \ mathbb {F} _ {2} [x] \\ [] [M] \ mapsto \ chi (M) x ^ {\ dim ( M)} \ end {cases}}}$

Cobordismo de variedades con estructura adicional.

El cobordismo también se puede definir para variedades que tienen una estructura adicional, en particular una orientación. Esto se formaliza de manera general utilizando la noción de estructura X (o estructura G ). Muy brevemente, el paquete normal ν de una inmersión de M en un espacio euclidiano de dimensiones suficientemente altas da lugar a un mapa de M al Grassmanniano , que a su vez es un subespacio del espacio de clasificación del grupo ortogonal : ν: M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Dada una colección de espacios y mapas X _k → X _{k +1} con mapas X _k → BO ( k ) (compatible con las inclusiones BO ( k ) → BO ( k +1), una estructura X es una elevación de ν a un mapa . Considerando solo variedades y cobordismos con estructura X da lugar a una noción más general de cobordismo. En particular, X _k puede estar dado por BG ( k ), donde G ( k ) → O ( k ) es algún homomorfismo de grupo . Esto se conoce como una estructura G. Los ejemplos incluyen G = O , el grupo ortogonal, que devuelve el cobordismo no orientado, pero también el subgrupo SO ( k ) , que da lugar al cobordismo orientado , el grupo de espín , el grupo unitario U ( k ) , y el grupo trivial, dando lugar al cobordismo enmarcado . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}}$${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}}: M \ a X_ {k}}$

Los grupos de cobordismo resultantes se definen entonces de forma análoga al caso no orientado. Están denotados por . ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Cobordismo orientado

El cobordismo orientado es el de las variedades con estructura SO. De manera equivalente, todas las variedades deben estar orientadas y los cobordismos ( W , M , N ) (también denominados cobordismos orientados para mayor claridad) son tales que el límite (con las orientaciones inducidas) es , donde - N denota N con la orientación inversa. Por ejemplo, el límite del cilindro M  ×  I es : ambos extremos tienen orientaciones opuestas. También es la definición correcta en el sentido de teoría de cohomología extraordinaria . ${\ Displaystyle M \ sqcup (-N)}$${\ Displaystyle M \ sqcup (-M)}$

A diferencia del grupo de cobordismo no orientado, donde cada elemento es de dos torsiones, 2 M no es en general un límite orientado, es decir, 2 [ M ] ≠ 0 cuando se considera en ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}.}$

Los grupos de cobordismo orientados reciben un módulo de torsión mediante

${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ left [y_ {4i} \ mid i \ geqslant 1 \ right],}$

el álgebra polinomial generada por las clases de cobordismo orientado

${\ Displaystyle y_ {4i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {2i} (\ mathbb {C}) \ right] \ in \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}}}$

de los complejos espacios proyectivos (Thom, 1952). El grupo de cobordismo orientado está determinado por los números característicos de Stiefel-Whitney y Pontrjagin (Wall, 1960). Dos variedades orientadas son cobordantes orientadas si y solo si sus números de Stiefel-Whitney y Pontrjagin son iguales. ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}}$

Los grupos de cobordismo orientados a las bajas dimensiones son:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Omega _ {0} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {1} ^ {\ text {SO}} & = 0 , \\\ Omega _ {2} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {3} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {4} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {5} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z} _ {2}. \ end {alineado}}}$

La firma de una variedad 4 i- dimensional orientada M se define como la firma de la forma de intersección en y se denota por Es un invariante de cobordismo orientado, que se expresa en términos de los números de Pontrjagin mediante el teorema de la firma de Hirzebruch . ${\ Displaystyle H ^ {2i} (M) \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ sigma (M).}$

Por ejemplo, para cualquier i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\ Displaystyle \ sigma \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {C}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {C }) \ derecha) = 1.}$

El mapa de firmas es para todo i ≥ 1, y un isomorfismo para i = 1. ${\ Displaystyle \ sigma: \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}} \ to \ mathbb {Z}}$

Cobordismo como una teoría de cohomología extraordinaria

Cada paquete del vector teoría (real, complejo etc.) tiene una teoría cohomology extraordinaria llamado K-teoría . Del mismo modo, cada teoría cobordism Ω ^G tiene una teoría cohomology extraordinaria , con grupos de homología ( "bordism") y cohomology ( "cobordism") grupos para cualquier espacio X . Los grupos de homología generalizadas son covariante en X , y los grupos de cohomología generalizadas son contravariant en X . Los grupos cobordism definidos anteriormente son, desde este punto de vista, los grupos de homología de un punto: . Entonces es el grupo de clases de pares de bordismo ( M , f ) con M una variedad n- dimensional cerrada M (con estructura G) yf  : M → X un mapa. Tales pares ( M , f ), ( N , g ) son limítrofes si existe un G-cobordismo ( W ; M , N ) con un mapa h  : W → X , que restringe af en M , y ag en N . ${\ Displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G} (X)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {G} ^ {*} (X)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} = \ Omega _ {n} ^ {G} ({\ text {pt}})}$${\ Displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$

Una variedad n- dimensional M tiene una clase de homología fundamental [ M ] ∈ H _n ( M ) (con coeficientes en general, y en el caso orientado), definiendo una transformación natural ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ Omega _ {n} ^ {G} (X) \ to H_ {n} (X) \\ (M, f) \ mapsto f _ {*} [M] \ end { casos}}}$

lo cual está lejos de ser un isomorfismo en general.

Las teorías del bordismo y el cobordismo de un espacio satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod al margen del axioma de la dimensión. Esto no significa que los grupos puedan calcularse eficazmente una vez que se conoce la teoría del cobordismo de un punto y la homología del espacio X , aunque la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch proporciona un punto de partida para los cálculos. El cálculo solo es fácil si la teoría del cobordismo particular se reduce a un producto de las teorías de homología ordinarias , en cuyo caso los grupos de bordismo son los grupos de homología ordinarios. ${\ Displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X) = \ sum _ {p + q = n} H_ {p} (X; \ Omega _ {q} ^ {G} ({\ text {pt }})).}$

Esto es cierto para el cobordismo no orientado. Otras teorías del cobordismo no se reducen a la homología ordinaria de esta manera, en particular el cobordismo enmarcado , el cobordismo orientado y el cobordismo complejo . La teoría mencionada en último lugar en particular es muy utilizada por topólogos algebraicos como una herramienta computacional (por ejemplo, para los grupos de esferas de homotopía ).

Las teorías de Cobordismo están representadas por espectros de Thom MG : dado un grupo G , el espectro de Thom se compone de los espacios de Thom MG _n de los paquetes de vectores estándar sobre los espacios de clasificación BG _n . Tenga en cuenta que incluso para grupos similares, los espectros de Thom pueden ser muy diferentes: MSO y MO son muy diferentes, lo que refleja la diferencia entre el cobordismo orientado y no orientado.

Desde el punto de vista de los espectros, el cobordismo no orientado es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane - MO = H ( π _∗ ( MO )) - mientras que el cobordismo orientado es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane racionalmente, y en 2, pero no en primos impares: el espectro de cobordismo orientado MSO es bastante más complicado que MO .

Ver también

• h -cobordismo
• Concordancia de enlaces
• Lista de teorías de cohomología
• Relleno simpléctico
• Hipótesis del Cobordismo
• Anillo de Cobordismo
• Cronología del bordismo

Notas

Referencias

• John Frank Adams , Homotopía estable y homología generalizada , Univ. Prensa de Chicago (1974).
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enlaces externos

• Bordismo en el Atlas múltiple.
• B-Bordismo en el Atlas múltiple.