Axiomas de Eilenberg-Steenrod - Eilenberg–Steenrod axioms

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , los axiomas de Eilenberg-Steenrod son propiedades que las teorías de homología de espacios topológicos tienen en común. El ejemplo por excelencia de una teoría de homología que satisface los axiomas es la homología singular , desarrollada por Samuel Eilenberg y Norman Steenrod .

Se puede definir una teoría de homología como una secuencia de functores que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod. El enfoque axiomático, que se desarrolló en 1945, permite probar resultados, como la secuencia de Mayer-Vietoris , que son comunes a todas las teorías de homología que satisfacen los axiomas.

Si se omite el axioma de la dimensión (descrito a continuación), los axiomas restantes definen lo que se llama una teoría de homología extraordinaria . Las teorías de cohomología extraordinarias surgieron por primera vez en la teoría K y el cobordismo .

Definicion formal

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod se aplican a una secuencia de functores desde la categoría de pares de espacios topológicos hasta la categoría de grupos abelianos , junto con una transformación natural llamada mapa de límites (aquí hay una abreviatura de . Los axiomas son: ${\ Displaystyle H_ {n}}$ ${\ Displaystyle (X, A)}$ ${\ Displaystyle \ parcial \ colon H_ {i} (X, A) \ to H_ {i-1} (A)}$${\ Displaystyle H_ {i-1} (A)}$${\ Displaystyle H_ {i-1} (A, \ emptyset)}$

1. Homotopía : los mapas homotópicos inducen el mismo mapa en homología. Es decir, si es homotópico de , entonces sus homomorfismos inducidos son los mismos.${\ Displaystyle g \ colon (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$${\ Displaystyle h \ colon (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$
2. Escisión : sies un par y U es un subconjunto de A tal que el cierre de U está contenido en el interior de A , entonces el mapa de inclusióninduce un isomorfismo en homología.${\ Displaystyle (X, A)}$${\ Displaystyle i \ dos puntos (X \ setminus U, A \ setminus U) \ to (X, A)}$
3. Dimensión : Sea P el espacio de un punto; luego para todos .${\ Displaystyle H_ {n} (P) = 0}$${\ Displaystyle n \ neq 0}$
4. Aditividad : Si , la unión disjunta de una familia de espacios topológicos , entonces${\ Displaystyle X = \ coprod _ {\ alpha} {X _ {\ alpha}}}$${\ Displaystyle X _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} H_ {n} (X _ {\ alpha}).}$
5. Exactitud : cada par (X, A) induce una larga secuencia exacta en homología, a través de las inclusiones y :${\ Displaystyle i \ dos puntos A \ a X}$${\ Displaystyle j \ colon X \ to (X, A)}$

${\ Displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) \, {\ xrightarrow {i _ {*}}} \, H_ {n} (X) \, {\ xrightarrow {j _ {*}}} \, H_ {n} (X, A) \, {\ xrightarrow {\ partial}} \, H_ {n-1} (A) \ to \ cdots.}$

Si P es el espacio de un punto, entonces se llama grupo de coeficientes . Por ejemplo, la homología singular (tomada con coeficientes enteros, como es más común) tiene como coeficientes los números enteros. ${\ Displaystyle H_ {0} (P)}$

Consecuencias

Algunos datos sobre los grupos de homología pueden derivarse directamente de los axiomas, como el hecho de que los espacios homotópicamente equivalentes tienen grupos de homología isomórficos.

La homología de algunos espacios relativamente simples, como n - esferas , se puede calcular directamente a partir de los axiomas. De esto se puede demostrar fácilmente que la ( n  - 1) -esfera no es una retracción del n- disco. Esto se usa en una demostración del teorema del punto fijo de Brouwer .

Axioma de dimensión

Una teoría "similar a la homología" que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod, excepto el axioma de la dimensión, se denomina teoría de homología extraordinaria (doblemente, teoría de cohomología extraordinaria ). Ejemplos importantes de estos se encuentran en la década de 1950, tales como K-teoría topológica y teoría cobordism , que son extraordinarias co teorías de homología, y vienen con las teorías de homología duales a ellos.

Ver también

• Lema en zig-zag

Notas

Referencias

• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1945). "Aproximación axiomática a la teoría de la homología" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 31 (4): 117-120. Código Bibliográfico : 1945PNAS ... 31..117E . doi : 10.1073 / pnas.31.4.117 . Señor  0012228 . PMC  1078770 . PMID  16578143 .
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1952). Fundamentos de la topología algebraica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Señor  0050886 .
• Bredon, Glen (1993). Topología y geometría . Textos de Posgrado en Matemáticas. 139 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-6848-0 . ISBN 0-387-97926-3. Señor  1224675 .