Homología (matemáticas) - Homology (mathematics)

En matemáticas , la homología es una forma general de asociar una secuencia de objetos algebraicos, como grupos o módulos abelianos , con otros objetos matemáticos como espacios topológicos . Los grupos de homología se definieron originalmente en topología algebraica . Hay construcciones similares disponibles en una amplia variedad de otros contextos, como álgebra abstracta , grupos , álgebras de Lie , teoría de Galois y geometría algebraica .

La motivación original para definir grupos de homología fue la observación de que se pueden distinguir dos formas examinando sus agujeros. Por ejemplo, un círculo no es un disco porque el círculo tiene un agujero a través de él mientras que el disco es sólido, y la esfera ordinaria no es un círculo porque la esfera encierra un agujero bidimensional mientras que el círculo encierra un agujero unidimensional. Sin embargo, debido a que un agujero "no está allí", no es inmediatamente obvio cómo definir un agujero o cómo distinguir diferentes tipos de agujeros. La homología fue originalmente un método matemático riguroso para definir y categorizar huecos en una variedad . Hablando libremente, un ciclo es una subvariedad cerrada, un límite es un ciclo que también es el límite de una subvariedad y una clase de homología (que representa un agujero) es una clase de equivalencia de ciclos módulo límites. Por tanto, una clase de homología está representada por un ciclo que no es el límite de ninguna subvariedad: el ciclo representa un agujero, es decir, una variedad hipotética cuyo límite sería ese ciclo, pero que "no está allí".

Hay muchas teorías de homología diferentes. Un tipo particular de objeto matemático, como un espacio topológico o un grupo , puede tener una o más teorías de homología asociadas. Cuando el objeto subyacente tiene una interpretación geométrica como la tienen los espacios topológicos, el n- ésimo grupo de homología representa el comportamiento en la dimensión n . La mayoría de los grupos o módulos de homología se pueden formular como functores derivados en categorías abelianas apropiadas , midiendo el fallo de un funtor para ser exacto . Desde esta perspectiva abstracta, los grupos de homología están determinados por objetos de una categoría derivada .

Fondo

Orígenes

Se puede decir que la teoría de la homología comienza con la fórmula del poliedro de Euler, o característica de Euler . Esto fue seguido por la definición de Riemann de género e invariantes numéricos de conectividad n- pliegues en 1857 y la prueba de Betti en 1871 de la independencia de los "números de homología" de la elección de la base.

La homología en sí se desarrolló como una forma de analizar y clasificar variedades según sus ciclos : bucles cerrados (o más generalmente subvariedades) que pueden dibujarse en una variedad n dimensional dada pero no deformarse continuamente entre sí. A veces, estos ciclos también se consideran cortes que se pueden volver a pegar, o cremalleras que se pueden abrochar y desabrochar. Los ciclos se clasifican por dimensión. Por ejemplo, una línea dibujada en una superficie representa un ciclo, un circuito cerrado o (1 colector), mientras que una superficie cortada a través de un colector tridimensional es un 2 ciclos.

Superficies

Ciclos en 2 esferas
Ciclos en un toro
Ciclos en una botella de Klein
Ciclos en un plano proyectivo hemisférico

En la esfera ordinaria , el ciclo b en el diagrama se puede contraer al polo, e incluso el gran círculo ecuatorial a se puede contraer de la misma manera. El teorema de la curva de Jordan muestra que cualquier ciclo arbitrario como c puede reducirse de manera similar a un punto. Por tanto, todos los ciclos de la esfera pueden transformarse continuamente entre sí y pertenecen a la misma clase de homología. Se dice que son homólogos a cero. Cortar un colector a lo largo de un ciclo homólogo a cero separa el colector en dos o más componentes. Por ejemplo, cortar la esfera a lo largo de a produce dos hemisferios.

En general, esto no es cierto para los ciclos en otras superficies. El toro tiene ciclos que no se pueden deformar de forma continua entre sí, por ejemplo, en el diagrama de ninguno de los ciclos de una , b o c se puede deformar una en la otra. En particular, los ciclos una y b no pueden ser reducido a un punto mientras que el ciclo c lata, por lo que es homóloga a cero.

Si la superficie del toro se corta a lo largo de tanto un y b , se puede abrir hacia fuera y se aplana en un rectángulo o, más convenientemente, un cuadrado. Un par opuesto de lados representa el corte a lo largo de una , y el otro par opuesto representa el corte a lo largo b .

Los bordes del cuadrado se pueden volver a pegar de diferentes maneras. El cuadrado se puede torcer para permitir que los bordes se unan en la dirección opuesta, como muestran las flechas en el diagrama. Hasta la simetría, hay cuatro formas distintas de pegar los lados, cada una creando una superficie diferente:

Las cuatro formas de pegar un cuadrado para hacer una superficie cerrada: pegue flechas simples juntas y pegue flechas dobles juntas.

es la botella de Klein , que es un toro con un giro (el giro se puede ver en el diagrama cuadrado como la inversión de la flecha inferior). Es un teorema que la superficie re-pegada debe auto-intersecarse (cuando se sumerge en el espacio tridimensional euclidiano ). Al igual que el toro, los ciclos de una y b no pueden ser encogidos mientras que c puede ser. Pero a diferencia del toro, seguir a b hacia adelante hacia la derecha y hacia atrás se invierte a la izquierda y a la derecha, porque b pasa por encima de la torsión dada a una unión. Si se hace un corte equidistante en un lado de b , vuelve por el otro lado y da la vuelta a la superficie por segunda vez antes de volver a su punto de partida, cortando una tira de Möbius retorcida . Debido a que la izquierda y la derecha locales pueden reorientarse arbitrariamente de esta manera, se dice que la superficie en su conjunto no es orientable.

El plano proyectivo tiene ambas uniones torcidas. La forma sin cortar, generalmente representada como la superficie Boy , es visualmente compleja, por lo que se muestra una incrustación hemisférica en el diagrama, en la que los puntos antípodas alrededor del borde como A y A ′ se identifican como el mismo punto. Una vez más, una y b son no contraíble, mientras que c es. Pero esta vez, tanto a como b se invierten hacia la izquierda y hacia la derecha.

Los ciclos pueden ser unidas o se añaden juntos, como una y b en el toro se cuando fue abierto y aplanado hacia abajo. En el diagrama de botellas de Klein, a gira en un sentido y - a gira en sentido contrario. Si una se considera como un corte, a continuación, - una puede ser pensado como una operación de encolado. Hacer un corte y luego volver a pegarlo no cambia la superficie, entonces a + (- a ) = 0.

Pero ahora considerar dos a -cycles. Dado que la botella de Klein no es orientable, puede transportar una de ellas alrededor de la botella (a lo largo del ciclo b ) y volverá como: a . Esto se debe a la botella Klein está hecho de un cilindro, cuyo unos extremos -Ciclo están pegados juntos con orientaciones opuestas. Por tanto, 2 a = a + a = a + (- a ) = 0. Este fenómeno se llama torsión . De manera similar, en el plano proyectivo, seguir el ciclo inencogible b ronda dos veces crea notablemente un ciclo trivial que puede reducirse a un punto; es decir, b + b = 0. Debido a que b debe seguirse dos veces para lograr un ciclo cero, se dice que la superficie tiene un coeficiente de torsión de 2. Sin embargo, seguir un ciclo b alrededor de dos veces en la botella de Klein da simplemente b + b = 2 b , ya que este ciclo vive en una clase de homología libre de torsión. Esto se corresponde con el hecho de que en el polígono fundamental de la botella de Klein, solo un par de lados está pegado con un giro, mientras que en el plano proyectivo ambos lados están torcidos.

Un cuadrado es un espacio topológico contráctil , lo que implica que tiene una homología trivial. En consecuencia, cortes adicionales lo desconectan. El cuadrado no es la única forma del plano que se puede pegar en una superficie. Pegar los lados opuestos de un octágono, por ejemplo, produce una superficie con dos agujeros. De hecho, todas las superficies cerradas se pueden producir pegando los lados de algún polígono y todos los polígonos de lados pares (2 n -gones) se pueden pegar para hacer diferentes variedades. Por el contrario, una superficie cerrada con n clases distintas de cero se puede cortar en un 2 n -gon. También son posibles variaciones, por ejemplo, también se puede pegar un hexágono para formar un toro.

La primera teoría reconocible de la homología fue publicada por Henri Poincaré en su artículo seminal " Analysis situs ", J. Ecole polytech. (2) 1 . 1-121 (1895). El artículo introdujo clases y relaciones de homología. Las posibles configuraciones de ciclos orientables se clasifican por los números de Betti de la variedad (los números de Betti son un refinamiento de la característica de Euler). La clasificación de los ciclos no orientables requiere información adicional sobre los coeficientes de torsión.

La clasificación completa de 1 y 2 colectores se da en la tabla.

Características topológicas de colectores cerrados de 1 y 2
Colector Euler no. ,
χ
Orientabilidad Números de Betti Coeficiente de torsión
(unidimensional)
Símbolo Nombre b 0 b 1 b 2
Círculo (1 colector) 0 Orientable 1 1 N / A N / A
Esfera 2 Orientable 1 0 1 Ninguno
Círculo sólido (es decir, disco; 2 colectores) No orientable 1 0 0
Esfera sólida (es decir, bola) No orientable 1 0 0
Toro 0 Orientable 1 2 1 Ninguno
Plano proyectivo 1 No orientable 1 0 0 2
Botella de klein 0 No orientable 1 1 0 2
Toro de 2 agujeros −2 Orientable 1 4 1 Ninguno
toro con agujeros g ( g es el género ) 2 - 2 g Orientable 1 2 g 1 Ninguno
Esfera con tapones en cruz c 2 - c No orientable 1 c - 1 0 2
2-Manifold con g  agujeros y c  transversales tapones ( c  >  0) 2  -  (2 g  + c )  No orientable 1 (2 g  + c ) - 1    0 2
Notas
  1. Para una superficie no orientable, un agujero equivale a dos tapas transversales.
  2. Cualquier 2-variedad es la suma conectada de g tori y c planos proyectivos. Para la esfera , g = c = 0.

Generalización

Un colector con límite o colector abierto es topológicamente distinto de un colector cerrado y se puede crear haciendo un corte en cualquier colector cerrado adecuado. Por ejemplo, el disco o la bola 1 está delimitado por un círculo . Puede crearse cortando un ciclo trivial en cualquier 2-múltiple y manteniendo la pieza extraída, perforando la esfera y estirando el pinchazo de par en par, o cortando el plano proyectivo. También puede verse como llenar el círculo en el plano.

Cuando dos ciclos se pueden deformar continuamente entre sí, entonces cortar a lo largo de uno produce la misma forma que cortar a lo largo del otro, hasta doblar y estirar un poco. En este caso, se dice que los dos ciclos son homólogos o pertenecen a la misma clase de homología . Además, si un ciclo se puede deformar continuamente en una combinación de otros ciclos, entonces cortar a lo largo del ciclo inicial es lo mismo que cortar a lo largo de la combinación de otros ciclos. Por ejemplo, cortar a lo largo de una figura 8 equivale a cortar a lo largo de sus dos lóbulos. En este caso, se dice que la figura 8 es homóloga a la suma de sus lóbulos.

Se pueden pegar dos colectores abiertos con límites similares (hasta algo de flexión y estiramiento) para formar un nuevo colector que es su suma conectada.

Este análisis geométrico de variedades no es riguroso. En una búsqueda de mayor rigor, Poincaré pasó a desarrollar la homología simplicial de una variedad triangulada y a crear lo que ahora se llama un complejo de cadena . Estos complejos de cadena (ya que están muy generalizados) forman la base de la mayoría de los tratamientos modernos de homología.

En tales tratamientos, un ciclo no necesita ser continuo: un ciclo 0 es un conjunto de puntos, y cortar a lo largo de este ciclo corresponde a perforar el colector. Un ciclo 1 corresponde a un conjunto de bucles cerrados (una imagen del colector 1 ). En una superficie, cortar a lo largo de un ciclo produce piezas desconectadas o una forma más simple. Un ciclo de 2 corresponde a una colección de superficies incrustadas, como una esfera o un toro, etc.

Emmy Noether e, independientemente, Leopold Vietoris y Walther Mayer desarrollaron aún más la teoría de los grupos de homología algebraica en el período 1925-28. La nueva topología combinatoria trató formalmente a las clases topológicas como grupos abelianos . Los grupos de homología son grupos abelianos generados finitamente, y las clases de homología son elementos de estos grupos. Los números de Betti del colector son el rango de la parte libre del grupo de homología, y los ciclos no orientables están descritos por la parte de torsión.

La posterior difusión de los grupos de homología trajo un cambio de terminología y punto de vista de "topología combinatoria" a " topología algebraica ". La homología algebraica sigue siendo el método principal de clasificación de variedades.

Ejemplos informales

La homología de un espacio topológico X es un conjunto de invariantes topológicos de X representados por sus grupos de homología

donde el grupo homología describe, de manera informal, el número de k agujeros -dimensional en X . Un agujero de dimensión 0 es simplemente un espacio entre dos componentes . En consecuencia, describe los componentes de X conectados a la ruta .

El círculo o 1 esfera
La 2-esfera es el caparazón, no el interior, de una bola.

Una esfera unidimensional es un círculo . Tiene un solo componente conectado y un orificio unidimensional, pero no tiene orificios de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes se dan como

donde es el grupo de enteros y es el grupo trivial . El grupo representa un grupo abeliano generado finitamente , con un solo generador que representa el agujero unidimensional contenido en un círculo.

Una esfera bidimensional tiene un solo componente conectado, sin agujeros unidimensionales, un agujero bidimensional y sin agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son

En general, para una esfera n- dimensional, los grupos de homología son

El disco sólido o 2 bolas
El toro

Una bola bidimensional es un disco sólido. Tiene un solo componente conectado a la ruta, pero a diferencia del círculo, no tiene agujeros unidimensionales o de mayor dimensión. Los grupos de homología correspondientes son todos triviales excepto . En general, para una bola n- dimensional

El toro se define como el producto de dos círculos . El toro tiene un solo componente conectado por trayectoria, dos agujeros unidimensionales independientes (indicados por círculos en rojo y azul) y un agujero bidimensional como el interior del toro. Los grupos de homología correspondientes son

Los dos agujeros unidimensionales independientes forman generadores independientes en un grupo abeliano generado finitamente, expresado como el grupo de productos

Para el plano proyectivo P , un cálculo simple muestra (donde está el grupo cíclico de orden 2):

corresponde, como en los ejemplos anteriores, al hecho de que hay un solo componente conectado. es un fenómeno nuevo: intuitivamente, se corresponde con el hecho de que hay un único "bucle" no contraíble, pero si lo hacemos dos veces, se vuelve contraíble a cero. Este fenómeno se llama torsión .

Construcción de grupos de homología

La construcción comienza con un objeto tal como un espacio topológico X , en la que uno primero define una cadena compleja C ( X ) que codifica información sobre X . Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos . conectados por homomorfismos que se denominan operadores de frontera . Es decir,

donde 0 denota el grupo trivial y para i <0. También se requiere que la composición de dos operadores de límites consecutivos sea trivial. Es decir, para todo n ,

es decir, el mapa constante que envía todos los elementos de a la identidad del grupo en El enunciado de que el límite de un límite es trivial es equivalente al enunciado de que , donde denota la imagen del operador del límite y su núcleo . Los elementos de se denominan límites y los elementos de se denominan ciclos .

Dado que cada grupo de cadenas C n es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Entonces, porque es un subgrupo de C n , es abeliano y, por tanto, es un subgrupo normal de . Entonces uno puede crear el grupo cociente

llamado el n -ésimo grupo de homología de X . Los elementos de H n ( X ) se denominan clases de homología . Cada clase de homología es una clase de equivalencia sobre ciclos y se dice que dos ciclos en la misma clase de homología son homólogos .

Se dice que un complejo de cadena es exacto si la imagen del mapa ( n +1) es siempre igual al núcleo del mapa n . Por tanto, los grupos de homología de X miden "hasta qué punto" el complejo de cadena asociado a X está de ser exacto.

Los grupos de homología reducida de un complejo de cadena C ( X ) se definen como homologías del complejo de cadena aumentada

donde el operador de límite es

para una combinación de puntos que son los generadores fijos de C 0 . Los grupos de homología reducidos coinciden con para El adicional en el complejo de la cadena representa el único mapa de la simplex vacío a X .

Calcular el ciclo y los grupos de límites suele ser bastante difícil, ya que tienen una gran cantidad de generadores. Por otro lado, existen herramientas que facilitan la tarea.

Los homología simplicial grupos H n ( X ) de un complejo simplicial X se definen utilizando la cadena simplicial complejo C ( X ), con C n ( X ) el grupo abeliano libre generado por la n -simplices de X . Ver homología simplicial para más detalles.

Los grupos de homología singulares H n ( X ) se definen para cualquier espacio topológico X , y concuerdan con los grupos de homología simplicial para un complejo simplicial.

Los grupos de cohomología son formalmente similares a los grupos de homología: uno comienza con un complejo de cocadena , que es lo mismo que un complejo de cadena pero cuyas flechas, ahora denotadas, apuntan en la dirección de aumentar n en lugar de disminuir n ; luego, los grupos de ciclomotores y de co-límites se derivan de la misma descripción. El n- ésimo grupo de cohomología de X es entonces el grupo cociente

en analogía con el n- ésimo grupo de homología.

Homología frente a homotopía

Los grupos de homotopía son similares a los grupos de homología en que pueden representar "huecos" en un espacio topológico. Existe una estrecha conexión entre el primer grupo de homotopía y el primer grupo de homología : el último es la abelianización del primero. Por tanto, se dice que "la homología es una alternativa conmutativa a la homotopía". Los grupos de homotopía superior son abelianos y están relacionados con los grupos de homología por el teorema de Hurewicz , pero pueden ser mucho más complicados. Por ejemplo, los grupos de homotopía de esferas se comprenden poco y no se conocen en general, en contraste con la descripción sencilla dada anteriormente para los grupos de homología.

Como ejemplo, sea X la figura ocho . Su primer grupo de homotopía es el grupo de bucles dirigidos que comienzan y terminan en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro). Es equivalente al grupo libre de rango 2, que no es conmutativo: recorrer el ciclo más a la izquierda y luego el ciclo más a la derecha es diferente a recorrer el ciclo más a la derecha y luego recorrer el ciclo más a la izquierda. Por el contrario, su primer grupo de homología es el grupo de cortes realizados en una superficie. Este grupo es conmutativo, ya que (informalmente) cortar el ciclo más a la izquierda y luego el ciclo más a la derecha conduce al mismo resultado que cortar el ciclo más a la derecha y luego el ciclo más a la izquierda.

Tipos de homología

Los diferentes tipos de teoría de la homología surgen del mapeo de functores de varias categorías de objetos matemáticos a la categoría de complejos de cadena. En cada caso, la composición del funtor de objetos a complejos de cadena y del funtor de complejos de cadena a grupos de homología define el funtor de homología global para la teoría.

Homología simplicial

El ejemplo motivador viene de la topología algebraica : la homología simplicial de un complejo simplicial X . Aquí, el grupo de cadena C n es el grupo abeliano libre o módulo cuyo generadores son los n simplexes orientadas -dimensional de X . La orientación se captura ordenando los vértices del complejo y expresando un simplex orientado como una n -tupla de sus vértices enumerados en orden creciente (es decir, en el orden de vértices del complejo, donde aparece el th vértice en la tupla). El mapeo de C n a C n − 1 se llama mapeo de límites y envía el simplex

a la suma formal

que se considera 0 si este comportamiento en los generadores induce un homomorfismo en todo C n como sigue. Dado un elemento , escríbalo como la suma de generadores donde está el conjunto de n -simplexes en X y los m i son coeficientes del anillo sobre el que se define C n (generalmente enteros, a menos que se especifique lo contrario). Entonces define

La dimensión de la homología n -ésima de X resulta ser el número de "agujeros" en X en la dimensión n . Puede calcularse poniendo las representaciones matriciales de estas asignaciones de límites en la forma normal de Smith .

Homología singular

Usando ejemplo homología simplicial como un modelo, se puede definir una homología singular para cualquier espacio topológico X . Un complejo de la cadena para X se define mediante la adopción de C n ser el grupo libre abeliano (o módulo libre) cuyos generadores son todos continuos mapas de n -dimensional simplices en X . Los homomorfismos ∂ n surgen de los mapas de límites de símplex.

Homología de grupo

En álgebra abstracta , se usa la homología para definir functores derivados , por ejemplo, los functores de Tor . Aquí se parte de algunos funtor aditivo covariante F y algún módulo X . El complejo de cadena para X se define de la siguiente manera: primero se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo Luego se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo Continuando de esta manera, se puede definir una secuencia de módulos libres y homomorfismos . Aplicando el funtor F a esta secuencia, se obtiene un complejo de cadena; la homología de este complejo depende sólo de F y X y es, por definición, el n -ésimo deriva funtor de F , aplicada a X .

Un uso común de la (co) homología de grupo es clasificar los posibles grupos de extensión E que contienen un módulo G dado M como un subgrupo normal y tienen un grupo de cociente G dado , de modo que

Otras teorías de homología

Functores de homología

Los complejos de cadena forman una categoría : un morfismo del complejo de cadena ( ) al complejo de cadena ( ) es una secuencia de homomorfismos tal que para todo n . El n homología -ésimo H n pueden ser vistos como una covariante funtor de la categoría de complejos de la cadena a la categoría de grupos abelianos (o módulos).

Si el complejo de cadena depende del objeto X de manera covariante (lo que significa que cualquier morfismo induce un morfismo del complejo de cadena de X al complejo de cadena de Y ), entonces los H n son functores covariantes de la categoría a la que pertenece X en la categoría de grupos (o módulos) abelianos.

La única diferencia entre homología y cohomología es que en cohomología los complejos de cadena dependen de manera contravariante de X , y que por lo tanto los grupos de homología (que en este contexto se denominan grupos de cohomología y se denotan por H n ) forman functores contravariantes de la categoría que X pertenece a la categoría de grupos o módulos abelianos.

Propiedades

Si ( ) es un complejo de cadena tal que todos menos un número finito de A n son cero, y los otros son grupos abelianos generados finitamente (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces podemos definir la característica de Euler

(utilizando el rango en el caso de grupos abelianos y la dimensión de Hamel en el caso de espacios vectoriales). Resulta que la característica de Euler también se puede calcular en el nivel de homología:

y, especialmente en topología algebraica, esto proporciona dos formas de calcular el invariante importante para el objeto X que dio lugar al complejo de cadena.

Cada breve secuencia exacta

de complejos de cadena da lugar a una larga secuencia exacta de grupos de homología

Todos los mapas de esta larga secuencia exacta son inducidos por los mapas entre los complejos de cadena, excepto los mapas. Estos últimos se denominan homomorfismos de conexión y son proporcionados por el lema en zig-zag . Este lema se puede aplicar a la homología de numerosas formas que ayudan a calcular los grupos de homología, como las teorías de la homología relativa y las secuencias de Mayer-Vietoris .

Aplicaciones

Aplicación en matemáticas puras

Los teoremas notables probados usando homología incluyen los siguientes:

  • El teorema del punto fijo de Brouwer : si f es cualquier mapa continuo desde la bola B n hacia sí misma, entonces hay un punto fijo con
  • Invariancia de dominio : Si U es un subconjunto abierto de y es un inyectiva mapa continuo , a continuación, es abierto y f es un homeomorfismo entre U y V .
  • El teorema de la bola peluda : cualquier campo vectorial en la 2-esfera (o más generalmente, la 2 k -esfera para cualquiera ) desaparece en algún punto.
  • El teorema Borsuk-Ulam : cualquier función continua de un n -sphere en euclidiana n -space mapas de algún par de puntos antípodas al mismo punto. (Dos puntos de una esfera se denominan antípodas si están en direcciones exactamente opuestas al centro de la esfera).
  • Invarianza de dimensión: si subconjuntos abiertos no vacíos y son homeomórficos, entonces

Aplicación en ciencia e ingeniería

En el análisis de datos topológicos , los conjuntos de datos se consideran un muestreo de nube de puntos de una variedad múltiple o algebraica incrustada en el espacio euclidiano . Al vincular los puntos vecinos más cercanos en la nube en una triangulación, se crea una aproximación simple de la variedad y se puede calcular su homología simple. Encontrar técnicas para calcular de manera robusta la homología utilizando diversas estrategias de triangulación en múltiples escalas de longitud es el tema de la homología persistente .

En las redes de sensores, los sensores pueden comunicar información a través de una red ad-hoc que cambia dinámicamente en el tiempo. Para comprender el contexto global de este conjunto de medidas locales y rutas de comunicación, es útil calcular la homología de la topología de la red para evaluar, por ejemplo, los huecos en la cobertura.

En la teoría de sistemas dinámicos en física , Poincaré fue uno de los primeros en considerar la interacción entre la variedad invariante de un sistema dinámico y sus invariantes topológicos. La teoría de Morse relaciona la dinámica de un flujo de gradiente en un colector con, por ejemplo, su homología. La homología de Floer extendió esto a variedades de dimensión infinita. El teorema de KAM estableció que las órbitas periódicas pueden seguir trayectorias complejas; en particular, pueden formar trenzas que pueden investigarse utilizando la homología de Floer.

En una clase de métodos de elementos finitos , los problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales que involucran al operador de Hodge-Laplace pueden necesitar ser resueltos en dominios topológicamente no triviales, por ejemplo, en simulaciones electromagnéticas . En estas simulaciones, la solución se ayuda fijando la clase de cohomología de la solución en función de las condiciones de contorno elegidas y la homología del dominio. Los dominios FEM se pueden triangular, a partir de los cuales se puede calcular la homología simplicial.

Software

Se han desarrollado varios paquetes de software con el fin de calcular grupos de homología de complejos de células finitas. Linbox es una biblioteca de C ++ para realizar operaciones matriciales rápidas, incluida la forma normal de Smith ; interactúa con Gap y Maple . Chomp , CAPD :: Redhom y Perseus también están escritos en C ++. Los tres implementan algoritmos de preprocesamiento basados ​​en la equivalencia de homotopía simple y la teoría de Morse discreta para realizar reducciones que preservan la homología de los complejos de células de entrada antes de recurrir al álgebra matricial. Kenzo está escrito en Lisp y, además de la homología, también se puede usar para generar presentaciones de grupos de homotopía de complejos finitos simpliciales. Gmsh incluye un solucionador de homología para mallas de elementos finitos, que puede generar bases de cohomología directamente utilizables por software de elementos finitos.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos