Conjetura de Poincaré - Poincaré conjecture

Conjetura de Poincaré
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Una superficie compacta de 2 dimensiones sin límite es topológicamente homeomórfica a una 2-esfera si cada bucle puede ajustarse continuamente a un punto. La conjetura de Poincaré afirma que lo mismo es cierto para los espacios tridimensionales.
Campo Topología geométrica
Conjeturado por Henri Poincaré
Conjeturado en 1904
Primera prueba por Grigori Perelman
Primera prueba en 2002
Implicado por
Equivalente a
Generalizaciones Conjetura de Poincaré generalizada

En matemáticas , la conjetura de Poincaré ( UK : / p w æ k ær / , Estados Unidos : / ˌ p w æ k ɑː r / , francés:  [pwɛkaʁe] ) es un teorema acerca de la caracterización de la 3-esfera , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones.

La conjetura dice:

Cada simplemente conectado , cerrado 3- colector es homeomorfo a la 3-esfera .

Una forma equivalente de la conjetura implica una forma de equivalencia más burda que el homeomorfismo llamada equivalencia de homotopía : si una variedad 3 es homotopía equivalente a la esfera 3, entonces es necesariamente homeomórfica para ella.

Conjeturado originalmente por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente se parece a un espacio tridimensional ordinario pero está conectado, es de tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si tal espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede ajustarse continuamente a un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Las conjeturas análogas para todas las dimensiones superiores se probaron antes de encontrar una prueba de la conjetura original.

Después de casi un siglo de esfuerzo por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba se basó en el programa de Richard S. Hamilton para utilizar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Más tarde, Hamilton introdujo una modificación del flujo estándar de Ricci, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo probar que este método "convergía" en tres dimensiones. Perelman completó esta parte de la prueba. Varios equipos de matemáticos comprobaron que la prueba de Perelman era correcta.

La conjetura de Poincaré, antes de ser probada, era una de las cuestiones abiertas más importantes de la topología . En 2000, fue nombrado uno de los siete Problemas del Premio del Milenio , por el cual el Clay Mathematics Institute ofreció un premio de $ 1 millón por la primera solución correcta. El trabajo de Perelman sobrevivió a la revisión y fue confirmado en 2006, lo que llevó a que se le ofreciera una Medalla Fields , que rechazó. Perelman fue galardonado con el Millennium Prize el 18 de marzo de 2010. El 1 de julio de 2010, rechazó el premio, diciendo que creía que su contribución para demostrar que la conjetura de Poincaré no era mayor que la de Hamilton. Al 17 de octubre de 2021, la conjetura de Poincaré es el único problema del Milenio resuelto.

El 22 de diciembre de 2006, la revista Science reconoció la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el " Avance del año " científico , la primera vez que se otorga este honor en el área de las matemáticas.

Historia

Ninguno de los dos bucles de colores de este toro se puede apretar continuamente hasta un punto. Un toro no es homeomórfico a una esfera.

La pregunta de Poincaré

Henri Poincaré estaba trabajando en los fundamentos de la topología, lo que más tarde se llamaría topología combinatoria y luego topología algebraica . Estaba particularmente interesado en las propiedades topológicas que caracterizaban a una esfera .

Poincaré afirmó en 1900 que la homología , una herramienta que había ideado basándose en el trabajo anterior de Enrico Betti , era suficiente para saber si una variedad de tres era una esfera de tres . Sin embargo, en un artículo de 1904 describió un contraejemplo a esta afirmación, un espacio ahora llamado esfera de homología de Poincaré . La esfera de Poincaré fue el primer ejemplo de una esfera de homología , una variedad que tenía la misma homología que una esfera, de la que se han construido muchas otras desde entonces. Para establecer que la esfera de Poincaré era diferente de la 3-esfera, Poincaré introdujo un nuevo invariante topológico , el grupo fundamental , y mostró que la esfera de Poincaré tenía un grupo fundamental de orden 120, mientras que la 3-esfera tenía un grupo fundamental trivial. De esta forma pudo concluir que estos dos espacios eran, efectivamente, diferentes.

En el mismo artículo, Poincaré se preguntaba si una variedad 3 con la homología de una esfera 3 y también un grupo fundamental trivial tenía que ser una esfera 3. La nueva condición de Poincaré, es decir, "grupo fundamental trivial", puede reformularse como "cada bucle puede reducirse a un punto".

La redacción original era la siguiente:

Considere una variedad compacta tridimensional V sin límite. ¿Es posible que el grupo fundamental de V sea trivial, aunque V no sea homeomorfo a la esfera tridimensional?

Poincaré nunca declaró si creía que esta condición adicional caracterizaría a la 3-esfera, pero sin embargo, la afirmación que lo hace se conoce como la conjetura de Poincaré. Aquí está la forma estándar de la conjetura:

Cada simplemente conectado , cerrado 3- colector es homeomorfo a la 3-esfera.

Tenga en cuenta que "cerrado" aquí significa, como es habitual en esta área, la condición de ser compacto en términos de topología de conjuntos, y también sin límite ( el espacio euclidiano tridimensional es un ejemplo de un 3-múltiple simplemente conectado no homeomórfico al 3 -esfera; pero no es compacto y por lo tanto no es un contraejemplo).

Soluciones

Este problema pareció permanecer latente hasta que JHC Whitehead revivió el interés en la conjetura, cuando en la década de 1930 reclamó por primera vez una prueba y luego la retiró. En el proceso, descubrió algunos ejemplos de variedades 3 no compactas simplemente conectadas (de hecho contractibles, es decir, homotópicamente equivalentes a un punto) no homeomórficas , cuyo prototipo ahora se llama la variedad Whitehead .

En las décadas de 1950 y 1960, otros matemáticos intentaron demostrar la conjetura solo para descubrir que contenían fallas. Matemáticos influyentes como Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise y Christos Papakyriakopoulos intentaron probar la conjetura. En 1958, Bing demostró una versión débil de la conjetura de Poincaré: si cada curva cerrada simple de una variedad compacta de 3 está contenida en una bola de 3, entonces la variedad es homeomórfica a la de 3 esferas. Bing también describió algunas de las dificultades al intentar probar la conjetura de Poincaré.

Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es cierta en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser cierta.

Con el tiempo, la conjetura se ganó la reputación de ser particularmente difícil de abordar. John Milnor comentó que a veces los errores en las pruebas falsas pueden ser "bastante sutiles y difíciles de detectar". Trabajar en la conjetura mejoró la comprensión de las tres variedades. Los expertos en el campo a menudo se mostraban reacios a anunciar pruebas y tendían a ver cualquier anuncio de este tipo con escepticismo. Las décadas de 1980 y 1990 fueron testigos de algunas pruebas falaces muy publicitadas (que en realidad no se publicaron en forma revisada por pares ).

Una exposición de los intentos de demostrar esta conjetura se puede encontrar en el libro no técnico Premio de Poincaré por George Szpiro .

Dimensiones

La clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para dimensiones superiores a tres, se puede plantear la conjetura de Poincaré generalizada: ¿es una homotopía n -esfera homeomórfica con respecto a la n -esfera? Es necesaria una suposición más sólida; en dimensiones cuatro y superiores hay variedades cerradas simplemente conectadas que no son homotopía equivalente a una n- esfera.

Históricamente, mientras que la conjetura en la dimensión tres parecía plausible, se pensaba que la conjetura generalizada era falsa. En 1961, Stephen Smale sorprendió a los matemáticos al demostrar la conjetura de Poincaré generalizada para dimensiones superiores a cuatro y extendió sus técnicas para demostrar el teorema fundamental del h-cobordismo . En 1982 Michael Freedman demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones. El trabajo de Freedman dejó abierta la posibilidad de que exista un homeomorfo suave de cuatro variedades en las cuatro esferas que no sea difeomórfico de las cuatro esferas. Esta supuesta conjetura de Poincaré suave, en la dimensión cuatro, permanece abierta y se cree que es muy difícil. Las esferas exóticas de Milnor muestran que la suave conjetura de Poincaré es falsa en la dimensión siete, por ejemplo.

Estos primeros éxitos en dimensiones superiores dejaron el caso de las tres dimensiones en el limbo. La conjetura de Poincaré fue esencialmente cierta tanto en la dimensión cuatro como en todas las dimensiones superiores por razones sustancialmente diferentes. En la dimensión tres, la conjetura tuvo una reputación incierta hasta que la conjetura de la geometrización la colocó en un marco que gobierna las 3 variedades. John Morgan escribió:

En mi opinión, antes del trabajo de Thurston sobre 3 variedades hiperbólicas y. . . la conjetura de la geometrización no hubo consenso entre los expertos sobre si la conjetura de Poincaré era verdadera o falsa. Después del trabajo de Thurston, a pesar del hecho de que no tenía relación directa con la conjetura de Poincaré, se desarrolló un consenso de que la conjetura de Poincaré (y la conjetura de la geometrización) eran verdaderas.

Programa y solución de Hamilton

Varias etapas del flujo de Ricci en una variedad bidimensional

El programa de Hamilton se inició en su artículo de 1982 en el que introdujo el flujo de Ricci en una variedad y mostró cómo usarlo para probar algunos casos especiales de la conjetura de Poincaré. En los años siguientes amplió este trabajo, pero no pudo probar la conjetura. La solución real no se encontró hasta que Grigori Perelman publicó sus artículos.

A finales de 2002 y 2003, Perelman publicó tres artículos en arXiv . En estos artículos esbozó una prueba de la conjetura de Poincaré y una conjetura más general, la conjetura de geometrización de Thurston , completando el programa de flujo de Ricci descrito anteriormente por Richard S. Hamilton .

De mayo a julio de 2006, varios grupos presentaron artículos que completaban los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, de la siguiente manera:

  • Bruce Kleiner y John W. Lott publicaron un artículo en el arXiv en mayo de 2006 que completaba los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización, siguiendo versiones parciales que habían estado disponibles públicamente desde 2003. Su manuscrito fue publicado en la revista "Geometry and Topología "en 2008. Se realizaron algunas correcciones en 2011 y 2013; por ejemplo, la primera versión de su artículo publicado hizo uso de una versión incorrecta del teorema de compacidad de Hamilton para el flujo de Ricci.
  • Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu publicaron un artículo en la edición de junio de 2006 del Asian Journal of Mathematics con una exposición de la prueba completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización. El párrafo inicial de su artículo decía

En este artículo presentaremos la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman. Sobre esta base, daremos el primer relato escrito de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien el trabajo completo es un esfuerzo acumulado de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son sin duda Hamilton y Perelman.

Algunos observadores interpretaron que Cao y Zhu se atribuían el mérito del trabajo de Perelman. Posteriormente publicaron una versión revisada, con una nueva redacción, en arXiv. Además, una página de su exposición era esencialmente idéntica a una página de uno de los primeros borradores disponibles públicamente de Kleiner y Lott; esto también fue enmendado en la versión revisada, junto con una disculpa por parte del consejo editorial de la revista.
  • John Morgan y Gang Tian publicaron un artículo sobre arXiv en julio de 2006 que ofrecía una prueba detallada de la Conjetura de Poincaré (que es algo más fácil que la conjetura de geometrización completa) y la expandió a un libro. En 2015, Abbas Bahri señaló que las páginas 441-445 de la exposición de Morgan y Tian eran incorrectas. El error fue posteriormente corregido por Morgan y Tian.

Los tres grupos descubrieron que las lagunas en los artículos de Perelman eran menores y podían rellenarse con sus propias técnicas.

El 22 de agosto de 2006, el ICM le otorgó a Perelman la Medalla Fields por su trabajo en la conjetura, pero Perelman rechazó la medalla. John Morgan habló en el ICM sobre la conjetura de Poincaré el 24 de agosto de 2006, declarando que "en 2003, Perelman resolvió la conjetura de Poincaré".

En diciembre de 2006, la revista Science reconoció la prueba de la conjetura de Poincaré como el Avance del Año y la incluyó en su portada.

Ricci flow con cirugía

El programa de Hamilton para probar la conjetura de Poincaré implica poner primero una métrica de Riemann en el 3-múltiple cerrado desconocido simplemente conectado. La idea básica es intentar "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica se puede mejorar lo suficiente para que tenga una curvatura positiva constante, entonces, de acuerdo con los resultados clásicos en la geometría de Riemann, debe ser la 3-esfera. Hamilton prescribió las " ecuaciones de flujo de Ricci " para mejorar la métrica;

donde g es la métrica y R su curvatura de Ricci, y se espera que a medida que aumenta el tiempo t, la variedad se vuelva más fácil de entender. El flujo de Ricci expande la parte de curvatura negativa del colector y contrae la parte de curvatura positiva.

En algunos casos, Hamilton pudo demostrar que esto funciona; por ejemplo, su avance original fue mostrar que si la variedad de Riemann tiene una curvatura de Ricci positiva en todas partes, entonces el procedimiento anterior solo se puede seguir para un intervalo acotado de valores de parámetros, con , y más significativamente, que hay números como , las métricas de Riemann convergen suavemente a una de curvatura positiva constante. Según la geometría clásica de Riemann, la única variedad compacta simplemente conectada que puede soportar una métrica de Riemann de curvatura positiva constante es la esfera. De modo que, en efecto, Hamilton mostró un caso especial de la conjetura de Poincaré: si una variedad tridimensional compacta de simple conexión admite una métrica de Riemann de curvatura de Ricci positiva, entonces debe ser difeomórfica a la esfera tridimensional.

Si, en cambio, uno solo tiene una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones de flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complicadas. El mayor logro de Perelman fue mostrar que, si se toma una determinada perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades solo pueden parecer esferas o cilindros que se encogen. Con una comprensión cuantitativa de este fenómeno, corta la variedad a lo largo de las singularidades, dividiendo la variedad en varias piezas, y luego continúa con el flujo de Ricci en cada una de estas piezas. Este procedimiento se conoce como flujo de Ricci con cirugía.

Perelman proporcionó un argumento separado basado en el flujo de acortamiento de la curva para mostrar que, en un colector de tres compactos simplemente conectado, cualquier solución del flujo de Ricci con cirugía se extingue en un tiempo finito. Tobias Colding y William Minicozzi proporcionaron un argumento alternativo, basado en la teoría mínimo-máximo de superficies mínimas y la teoría de la medida geométrica . Por lo tanto, en el contexto simplemente conectado, los fenómenos de tiempo finito anteriores del flujo de Ricci con la cirugía es todo lo que es relevante. De hecho, esto es incluso cierto si el grupo fundamental es un producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos.

Esta condición en el grupo fundamental resulta ser necesaria y suficiente para la extinción en un tiempo finito. Es equivalente a decir que la descomposición prima de la variedad no tiene componentes acíclicos, y resulta ser equivalente a la condición de que todas las piezas geométricas de la variedad tengan geometrías basadas en las dos geometrías de Thurston S 2 × R y S 3 . En el contexto de que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental en absoluto, Perelman hizo un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes y, al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: en grandes momentos, la variedad tiene un espesor denso. descomposición delgada , cuya pieza gruesa tiene una estructura hiperbólica, y cuya pieza delgada es una variedad gráfica . Sin embargo, debido a los resultados de Perelman y Colding y Minicozzi, estos resultados adicionales son innecesarios para probar la conjetura de Poincaré.

Solución

El 13 de noviembre de 2002, el matemático ruso Grigori Perelman publicó el primero de una serie de tres eprints en arXiv que esboza una solución de la conjetura de Poincaré. La prueba de Perelman utiliza una versión modificada de un programa de flujo de Ricci desarrollado por Richard S. Hamilton . En agosto de 2006, a Perelman se le otorgó, pero se negó, la Medalla Fields (valorada en 15.000 dólares canadienses) por su prueba. El 18 de marzo de 2010, el Clay Mathematics Institute otorgó a Perelman el premio Millennium de $ 1 millón en reconocimiento a su prueba. Perelman también rechazó ese premio.

Perelman demostró la conjetura deformando el colector usando el flujo de Ricci (que se comporta de manera similar a la ecuación de calor que describe la difusión de calor a través de un objeto). El flujo de Ricci generalmente deforma el colector hacia una forma más redonda, excepto en algunos casos en los que estira el colector aparte de sí mismo hacia lo que se conoce como singularidades . Perelman y Hamilton luego cortan el colector en las singularidades (un proceso llamado "cirugía") haciendo que las piezas separadas se formen en forma de bola. Los pasos principales en la prueba implican mostrar cómo se comportan las variedades cuando son deformadas por el flujo de Ricci, examinar qué tipo de singularidades se desarrollan, determinar si este proceso quirúrgico se puede completar y establecer que la cirugía no necesita repetirse infinitas veces.

El primer paso es deformar el colector usando el flujo de Ricci . Richard S. Hamilton definió el flujo de Ricci como una forma de deformar las variedades. La fórmula para el flujo de Ricci es una imitación de la ecuación del calor que describe la forma en que el calor fluye en un sólido. Al igual que el flujo de calor, el flujo de Ricci tiende a un comportamiento uniforme. A diferencia del flujo de calor, el flujo de Ricci podría encontrarse con singularidades y dejar de funcionar. Una singularidad en una variedad es un lugar donde no es diferenciable: como una esquina o una cúspide o un pellizco. El flujo de Ricci solo se definió para colectores diferenciables suaves. Hamilton usó el flujo de Ricci para demostrar que algunas variedades compactas eran difeomórficas a las esferas y esperaba aplicarlo para probar la Conjetura de Poincaré. Necesitaba comprender las singularidades.

Hamilton creó una lista de posibles singularidades que podrían formarse, pero le preocupaba que algunas singularidades pudieran generar dificultades. Quería cortar la variedad en las singularidades y pegar en mayúsculas, y luego ejecutar el flujo de Ricci nuevamente, por lo que necesitaba comprender las singularidades y mostrar que ciertos tipos de singularidades no ocurren. Perelman descubrió que las singularidades eran muy simples: esencialmente cilindros tridimensionales hechos de esferas estiradas a lo largo de una línea. Un cilindro ordinario se hace tomando círculos estirados a lo largo de una línea. Perelman demostró esto usando algo llamado "Volumen Reducido" que está estrechamente relacionado con un valor propio de una determinada ecuación elíptica .

A veces, una operación complicada se reduce a una multiplicación por un escalar (un número). Estos números se denominan valores propios de esa operación. Los valores propios están estrechamente relacionados con las frecuencias de vibración y se utilizan para analizar un problema famoso: ¿puedes oír la forma de un tambor? Esencialmente, un valor propio es como una nota tocada por la variedad. Perelman demostró que esta nota aumenta cuando el flujo de Ricci deforma el colector. Esto le ayudó a eliminar algunas de las singularidades más problemáticas que habían preocupado a Hamilton, en particular la solución de puros solitones, que parecía una hebra que sobresalía de un colector sin nada en el otro lado. En esencia, Perelman demostró que todas las hebras que se forman se pueden cortar y tapar y que ninguna sobresale de un solo lado.

Para completar la prueba, Perelman toma cualquier colector tridimensional compacto, simplemente conectado, sin límite y comienza a ejecutar el flujo de Ricci. Esto deforma el colector en piezas redondas con hebras que se extienden entre ellas. Corta los hilos y continúa deformando el colector hasta que finalmente se queda con una colección de esferas redondas tridimensionales. Luego reconstruye la variedad original conectando las esferas con cilindros tridimensionales, las transforma en una forma redonda y ve que, a pesar de toda la confusión inicial, la variedad era de hecho homeomorfa a una esfera.

Una pregunta inmediata que se planteó fue cómo se podía estar seguro de que no eran necesarios infinitos cortes. Esto se planteó debido a que el corte podría progresar eternamente. Perelman demostró que esto no puede suceder mediante el uso de superficies mínimas en el colector. Una superficie mínima es esencialmente una película de jabón. Hamilton había demostrado que el área de una superficie mínima disminuye a medida que el colector sufre el flujo de Ricci. Perelman verificó lo que sucedió con el área de la superficie mínima cuando se cortó el colector. Demostró que eventualmente el área es tan pequeña que cualquier corte después del área es tan pequeño solo se pueden cortar esferas tridimensionales y no piezas más complicadas. Esto se describe como una batalla con una Hydra por Sormani en el libro de Szpiro que se cita a continuación. Esta última parte de la prueba apareció en el tercer y último artículo de Perelman sobre el tema.

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos