Punto singular de una variedad algebraica - Singular point of an algebraic variety

En el campo matemático de la geometría algebraica , un punto singular de una variedad algebraica V es un punto P que es 'especial' (entonces, singular), en el sentido geométrico de que en este punto el espacio tangente en la variedad puede no estar definido regularmente . En el caso de variedades definidas sobre los reales, esta noción generaliza la noción de no planitud local . Un punto de una variedad algebraica que no es singular se dice que es regular . Se dice que una variedad algebraica que no tiene un punto singular es no singular o suave .

La curva algebraica plana (una curva cúbica ) de la ecuación y ² - x ² ( x + 1) = 0 se cruza en el origen (0, 0) . El origen es un doble punto de esta curva. Es singular porque una sola tangente puede no estar correctamente definida allí.

Definición

Una curva plana definida por una ecuación implícita

${\ displaystyle F (x, y) = 0}$ ,

donde F es una función suave se dice que es singular en un punto si la serie de Taylor de F tiene un orden de al menos 2 en este punto.

La razón de esto es que, en cálculo diferencial , la tangente en el punto ( x ₀ , y ₀ ) de dicha curva está definida por la ecuación

${\ Displaystyle (x-x_ {0}) F '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) + (y-y_ {0}) F' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}) = 0,}$

cuyo lado izquierdo es el término de grado uno de la expansión de Taylor. Por tanto, si este término es cero, es posible que la tangente no esté definida de la forma estándar, ya sea porque no existe o porque se debe proporcionar una definición especial.

En general para una hipersuperficie

${\ Displaystyle F (x, y, z, \ ldots) = 0}$

los puntos singulares son aquellos en los que todas las derivadas parciales desaparecen simultáneamente. Una variedad algebraica general V se define como los ceros comunes de varios polinomios , la condición en un punto P de V para ser un punto singular es que la matriz jacobiana de las derivadas parciales de primer orden de los polinomios tiene un rango en P que es menor que el rango en otros puntos de la variedad.

Los puntos de V que no son singulares se denominan no singulares o regulares . Siempre es cierto que casi todos los puntos son no singulares, en el sentido de que los puntos no singulares forman un conjunto que es a la vez abierto y denso en la variedad (para la topología de Zariski , así como para la topología habitual, en la caso de variedades definidas sobre números complejos ).

En el caso de una variedad real (que es el conjunto de puntos con coordenadas reales de una variedad definida por polinomios con coeficientes reales), la variedad es una variedad cerca de cada punto regular. Pero es importante notar que una variedad real puede ser múltiple y tener puntos singulares. Por ejemplo, la ecuación y ³ + 2 x ² y - x ⁴ = 0 define una variedad analítica real pero tiene un punto singular en el origen. Esto puede explicarse diciendo que la curva tiene dos ramas conjugadas complejas que cortan la rama real en el origen.

Puntos singulares de mapeos suaves

Como la noción de puntos singulares es una propiedad puramente local, la definición anterior se puede ampliar para cubrir la clase más amplia de asignaciones suaves (funciones de M a R ⁿ donde existen todas las derivadas). El análisis de estos puntos singulares se puede reducir al caso de la variedad algebraica considerando los chorros del mapeo. El k- ésimo chorro es la serie de Taylor del mapeo truncado en el grado k y eliminando el término constante .

Nodos

En la geometría algebraica clásica , ciertos puntos singulares especiales también se llamaban nodos . Un nodo es un punto singular donde la matriz de Hesse no es singular; esto implica que el punto singular tiene multiplicidad dos y el cono tangente no es singular fuera de su vértice.

Ver también

• Mapa de Milnor
• Resolución de singularidades
• Punto singular de una curva
• Teoría de la singularidad
• Esquema suave
• Espacio tangente de Zariski

Referencias