Subgrupo de conmutadores - Commutator subgroup

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , el subgrupo de conmutadores o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo.

El subgrupo de conmutadores es importante porque es el subgrupo normal más pequeño, de modo que el grupo cociente del grupo original de este subgrupo es abeliano . En otras palabras, es abeliano si y solo si contiene el subgrupo del conmutador de . Entonces, en cierto sentido, proporciona una medida de cuán lejos está el grupo de ser abeliano; cuanto más grande es el subgrupo de conmutadores, "menos abeliano" es el grupo. ${\ Displaystyle G / N}$ ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$

Conmutadores

Para elementos y de un grupo G , el conmutador de y es . El conmutador es igual al elemento de identidad e si y solo si , es decir, si y solo si y conmuta. En general ,. ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$${\ Displaystyle [g, h]}$ ${\ displaystyle gh = hg}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle gh = hg [g, h]}$

Sin embargo, la notación es algo arbitraria y hay una definición variante no equivalente para el conmutador que tiene las inversas en el lado derecho de la ecuación: en cuyo caso, pero en su lugar . ${\ Displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1}}$${\ Displaystyle gh \ neq hg [g, h]}$${\ displaystyle gh = [g, h] hg}$

Un elemento de G de la forma para algunos g y h se llama un conmutador. El elemento de identidad e = [ e , e ] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y sólo si G es abeliano. ${\ Displaystyle [g, h]}$

Aquí hay algunas identidades de conmutador simples pero útiles, verdaderas para cualquier elemento s , g , h de un grupo G :

• ${\ Displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g],}$
• ${\ Displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}],}$ donde (o, respectivamente, ) es el conjugado de por ${\ Displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs}$${\ Displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle s,}$
• para cualquier homomorfismo , ${\ Displaystyle f: G \ to H}$${\ Displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)].}$

La primera y la segunda identidad implican que el conjunto de conmutadores en G está cerrado bajo inversión y conjugación. Si en el tercer identidad tomamos H = G , obtenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorphism de G . Esta es, de hecho, una generalización de la segunda identidad, ya podemos tomar f ser la conjugación automorfismo de G , para obtener la segunda identidad. ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}$

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no necesita ser un conmutador. Un ejemplo genérico es [ a , b ] [ c , d ] en el grupo libre en a , b , c , d . Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el que existen dos conmutadores cuyo producto no es un conmutador es 96; de hecho, hay dos grupos no isomorfos de orden 96 con esta propiedad.

Definición

Esto motiva la definición del subgrupo de conmutadores (también llamado subgrupo derivado , y denotado o ) de G : es el subgrupo generado por todos los conmutadores. ${\ Displaystyle [G, G]}$${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle G ^ {(1)}}$

De las propiedades de los conmutadores se deduce que cualquier elemento de es de la forma ${\ Displaystyle [G, G]}$

${\ Displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]}$

por algún número natural , donde el g _i y h _i son elementos de G . Además, puesto que , el grupo de los conmutadores es normal en G . Para cualquier homomorfismo f : G → H , ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ { s}] \ cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$

${\ Displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}$ ,

de modo que . ${\ Displaystyle f ([G, G]) \ leq [H, H]}$

Esto muestra que el subgrupo de conmutadores puede verse como un funtor en la categoría de grupos , algunas implicaciones de las cuales se exploran a continuación. Además, tomando G = H muestra que el subgrupo del conmutador es estable bajo cada endomorfismo de G : es decir, [ G , G ] es un subgrupo completamente característico de G , una propiedad considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo del conmutador también se puede definir como el conjunto de elementos g del grupo que tienen una expresión como producto g = g ₁ g ₂ ... g _k que se puede reorganizar para dar la identidad.

Serie derivada

Esta construcción se puede iterar:

${\ Displaystyle G ^ {(0)}: = G}$

${\ Displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}] \ quad n \ in \ mathbf {N}}$

Los grupos se denominan segundo subgrupo derivado , tercer subgrupo derivado , etc., y serie normal descendente. ${\ Displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, \ ldots}$

${\ Displaystyle \ cdots \ triangleleft G ^ {(2)} \ triangleleft G ^ {(1)} \ triangleleft G ^ {(0)} = G}$

se llama serie derivada . Esto no debe confundirse con la serie central inferior , cuyos términos son . ${\ Displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}$

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto , que puede ser o no trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y uno puede continuarla hasta números ordinales infinitos mediante recursión transfinita , obteniendo así la serie derivada transfinita , que eventualmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Abelianización

Dado un grupo , un grupo cociente es abeliano si y solo si . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G / N}$${\ Displaystyle [G, G] \ leq N}$

El cociente es un grupo abeliano llama el abelianization de o hecha abeliano . Por lo general, se indica con o . ${\ Displaystyle G / [G, G]}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ Displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}$

Hay una interpretación categórica útil del mapa . Es decir, es universal para homomorfismos de un grupo abeliano : para cualquier grupo abeliano y homomorfismo de grupos existe un homomorfismo único tal que . Como es habitual para los objetos definidos por propiedades de mapeo universal, esto muestra la unicidad de la abelianización hasta el isomorfismo canónico, mientras que la construcción explícita muestra la existencia. ${\ Displaystyle \ varphi: G \ rightarrow G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle f: G \ to H}$${\ Displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H}$${\ Displaystyle f = F \ circ \ varphi}$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ Displaystyle G \ a G / [G, G]}$

El functor de abelianización es el adjunto a la izquierda del functor de inclusión de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos. La existencia del functor de abelianización Grp → Ab convierte a la categoría Ab en una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos, definida como una subcategoría completa cuyo functor de inclusión tiene un adjunto izquierdo.

Otra interpretación importante de es como , el primer grupo de homología de con coeficientes integrales. ${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$${\ Displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle G}$

Clases de grupos

Un grupo es un grupo abeliano si y solo si el grupo derivado es trivial: [ G , G ] = { e }. De manera equivalente, si y solo si el grupo iguala su abelianización. Consulte más arriba la definición de abelianización de un grupo. ${\ Displaystyle G}$

Un grupo es un grupo perfecto si y sólo si el grupo derivado es igual al propio grupo: [ G , G ] = G . De manera equivalente, si y solo si la abelianización del grupo es trivial. Esto es "opuesto" a abeliano. ${\ Displaystyle G}$

Un grupo con algún n en N se denomina grupo solucionable ; esto es más débil que abeliano, que es el caso n = 1. ${\ Displaystyle G ^ {(n)} = \ {e \}}$

Un grupo con para todo n en N se denomina grupo no resoluble . ${\ Displaystyle G ^ {(n)} \ neq \ {e \}}$

Un grupo con algún número ordinal , posiblemente infinito, se llama grupo hipoabeliano ; esto es más débil que solucionable, que es el caso de α es finito (un número natural). ${\ Displaystyle G ^ {(\ alpha)} = \ {e \}}$

Grupo perfecto

Siempre que un grupo tiene un subgrupo derivado igual a sí mismo , se denomina grupo perfecto . Esto incluye grupos simples no abelianos y grupos lineales especiales para un campo fijo . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G ^ {(1)} = G}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (k)}$${\ Displaystyle k}$

Ejemplos de

• El subgrupo de conmutadores de cualquier grupo abeliano es trivial .
• El subgrupo de conmutadores del grupo lineal general sobre un campo o un anillo de división k es igual al grupo lineal especial siempre que o k no sea el campo con dos elementos . ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (k)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (k)}$${\ Displaystyle n \ neq 2}$
• El subgrupo de conmutadores del grupo alterno A ₄ es el grupo de cuatro de Klein .
• El subgrupo de conmutadores del grupo simétrico S _n es el grupo alterno A _n .
• El subgrupo de conmutadores del grupo de cuaterniones Q = {1, −1, i , - i , j , - j , k , - k } es [ Q , Q ] = {1, −1}.
• El subgrupo de conmutador del grupo fundamental π ₁ ( X ) de un espacio topológico conectado por camino X es el núcleo del homomorfismo natural en el primer grupo de homología singular H ₁ ( X ).

Mapa desde fuera

Dado que el subgrupo derivado es característico , cualquier automorfismo de G induce un automorfismo de la abelianización. Dado que la abelianización es abeliana, los automorfismos internos actúan de manera trivial, por lo que esto produce un mapa

${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (G) \ to \ operatorname {Aut} (G ^ {\ mbox {ab}})}$

Ver también

• Grupo solucionable
• Grupo nilpotente
• La abelianización H / H 'de un subgrupo H  <  G de índice finito ( G : H ) es el objetivo de la transferencia de Artin   T ( G , H ).

Notas

Referencias

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.a ed.), John Wiley & Sons , ISBN   0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN   0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Posgrado en Matemáticas , Springer , ISBN   0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. "Conmutadores y subgrupos derivados" .

enlaces externos

• "Subgrupo de conmutadores" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]