Teoría de conjuntos de Morse-Kelley - Morse–Kelley set theory

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de Morse-Kelley ( MK ), la teoría de conjuntos de Kelley-Morse ( KM ), la teoría de conjuntos de Morse-Tarski ( MT ), la teoría de conjuntos de Quine-Morse ( QM ) o el sistema de Quine y Morse es un teoría de conjuntos axiomáticos de primer orden que está estrechamente relacionada con la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel restringe las variables ligadas en la fórmula esquemática que aparece en el esquema de axioma de Comprensión de clases para abarcar solo conjuntos, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley permite que estas variables ligadas se extiendan sobre clases adecuadas y conjuntos, como sugirió por primera vez Quine en 1940 para su sistema ML .

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley lleva el nombre de los matemáticos John L. Kelley y Anthony Morse y fue establecida por primera vez por Wang (1949) y más tarde en un apéndice del libro de texto de Kelley General Topology (1955), una introducción a la topología a nivel de posgrado . Kelley dijo que el sistema en su libro era una variante de los sistemas debidos a Thoralf Skolem y Morse. La propia versión de Morse apareció más tarde en su libro A Theory of Sets (1965).

Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC, la teoría de conjuntos canónica) en el sentido de que un enunciado en el lenguaje de ZFC es demostrable en NBG si y solo si es demostrable en ZFC, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley es una extensión adecuada de ZFC. A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, donde el esquema de axioma de Comprensión de clase puede ser reemplazado con un número finito de sus instancias, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley no puede axiomatizarse de manera finita.

Axiomas y ontología de MK

NBG y MK comparten una ontología común . El universo del discurso consta de clases . Las clases que son miembros de otras clases se denominan conjuntos . Una clase que no es un conjunto es una clase adecuada . Las oraciones atómicas primitivas implican pertenencia o igualdad.

Con la excepción de Class Comprehension, los siguientes axiomas son los mismos que los de NBG , dejando de lado los detalles no esenciales. Las versiones simbólicas de los axiomas emplean los siguientes recursos de notación:

• Las letras mayúsculas distintas de la M , que aparecen en Extensionalidad, Comprensión de clase y Fundamento, denotan variables que varían entre clases. Una letra minúscula denota una variable que no puede ser una clase adecuada , porque aparece a la izquierda de una ∈. Como MK es una teoría de un solo orden, esta convención de notación es solo mnemotécnica .
• El predicado monádico cuya lectura prevista es "la clase x es un conjunto", abrevia ${\ Displaystyle \ Mx,}$${\ Displaystyle \ existe W (x \ in W).}$
• El conjunto vacío está definido por${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ forall x (x \ not \ in \ varnothing).}$
• La clase V , la clase universal que tiene todos los conjuntos posibles como miembros, está definida por V es también el universo de von Neumann .${\ Displaystyle \ forall x (Mx \ a x \ en V).}$

Extensionalidad : las clases que tienen los mismos miembros son la misma clase.

${\ Displaystyle \ forall X \, \ forall Y \, (\ forall z \, (z \ in X \ leftrightarrow z \ in Y) \ rightarrow X = Y).}$

Un conjunto y una clase que tienen la misma extensión son idénticos. Por tanto, MK no es una teoría de dos clases, a pesar de las apariencias en contrario.

Fundamento : Cada clase A no vacíaestá separada de al menos uno de sus miembros.

${\ Displaystyle \ forall A [A \ not = \ varnothing \ rightarrow \ exist b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))].}$

Comprensión de clase: Sea φ ( x ) cualquier fórmula en el lenguaje de MK en la que x es una variable libre e Y no es libre. φ ( x ) puede contener parámetros que son conjuntos o clases adecuadas. Más consecuentemente, las variables cuantificadas en φ ( x ) pueden abarcar todas las clases y no solo todos los conjuntos; esta es la única forma en que MK se diferencia de NBG . Entonces existe una clase cuyos miembros son exactamente esos conjuntos x tales que resultan verdaderos. Formalmente, si Y no está libre en φ: ${\ Displaystyle Y = \ {x \ mid \ phi (x) \}}$ ${\ Displaystyle \ phi (x)}$

${\ Displaystyle \ forall W_ {1} ... W_ {n} \ existe Y \ forall x [x \ in Y \ leftrightarrow (\ phi (x, W_ {1}, ... W_ {n}) \ land Mx)].}$

Emparejamiento : Para cualquier conjunto X y Y , existe un conjuntocuyos miembros son exactamente x e y . ${\ Displaystyle z = \ {x, y \}}$

${\ Displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(Mx \ land My) \ rightarrow \ exist z \, (Mz \ land \ forall s \, [s \ in z \ leftrightarrow (s = x \, \ lor \, s = y)])].}$

Emparejamiento de licencias el par no ordenado en términos de que el par ordenado , , puede definirse de la manera habitual, como . Con pares ordenados en la mano, Class Comprehension permite definir relaciones y funciones en conjuntos como conjuntos de pares ordenados, haciendo posible el siguiente axioma: ${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ Displaystyle \ \ {\ {x \}, \ {x, y \} \}}$

Limitación de Tamaño : C es una clase adecuada si y sólo si V puede ser mapeado uno a uno en C .

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ forall C [\ lnot MC \ leftrightarrow \ existe F (\ forall x [Mx \ rightarrow \ existe s (s \ in C \ land \ langle x, s \ rangle \ en F)] \ tierra \\\ qquad \ forall x \ forall y \ forall s [(\ langle x, s \ rangle \ in F \ land \ langle y, s \ rangle \ in F) \ rightarrow x = y] )]. \ end {matriz}}}$

La versión oficial de este axioma se asemeja al esquema del axioma de reemplazo , e incorpora la función de la clase F . La siguiente sección explica cómo la limitación de tamaño es más fuerte que las formas habituales del axioma de elección .

Conjunto de poder : Sea p una clase cuyos miembros son todos los posibles subconjuntos del conjunto a . Entonces p es un conjunto.

${\ Displaystyle \ forall a \, \ forall p \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in p \ leftrightarrow \ forall y \, (y \ in x \ rightarrow y \ in a)]) \ Rightarrow Mp].}$

Unión : Seala clase de suma del conjunto a , es decir, la unión de todos los miembros de a . Entonces s es un conjunto. ${\ Displaystyle s = \ bigcup a}$

${\ Displaystyle \ forall a \, \ forall s \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in s \ leftrightarrow \ existe y \, (x \ in y \ land y \ in a)]) \ flecha derecha Sra.].}$

Infinito : existe un conjunto inductivo y , lo que significa que (i) el conjunto vacío es miembro de y ; (ii) si x es un miembro de y , entonces también lo es. ${\ Displaystyle x \ cup \ {x \}.}$

${\ Displaystyle \ existe y [Mi \ tierra \ varnothing \ in y \ land \ forall z (z \ in y \ rightarrow \ exist x [x \ in y \ land \ forall w (w \ in x \ leftrightarrow [w = z \ lor w \ in z])])].}$

Tenga en cuenta que p y s en conjunto potencia y la Unión son universalmente, no existencialmente, cuantificar, como la clase de comprensión suficiente para establecer la existencia de p y s . Power Set y Union solo sirven para establecer que p y s no pueden ser clases adecuadas.

Los axiomas anteriores se comparten con otras teorías de conjuntos de la siguiente manera:

• ZFC y NBG : emparejamiento, conjunto de energía, unión, infinito;
• NBG (y ZFC, si las variables cuantificadas se restringieron a conjuntos): Extensionalidad, Fundación;
• NBG : Limitación de tamaño.

Discusión

Monk (1980) y Rubin (1967) son textos de teoría de conjuntos construidos alrededor de MK; La ontología de Rubin incluye urelementos . Estos autores y Mendelson (1997: 287) sostienen que MK hace lo que se espera de una teoría de conjuntos mientras es menos engorroso que ZFC y NBG .

MK es estrictamente más fuerte que ZFC y su extensión conservadora NBG, la otra teoría de conjuntos conocida con clases adecuadas . De hecho, NBG, y por lo tanto ZFC, se puede demostrar que es consistente en MK. La fuerza de MK proviene de su esquema axiomático de comprensión de clase que es impredicativo , lo que significa que φ ( x ) puede contener variables cuantificadas que varían entre clases. Las variables cuantificadas en el esquema de axioma de comprensión de clase de NBG están restringidas a conjuntos; por lo tanto, la comprensión de clases en NBG debe ser predicativa . (La separación con respecto a los conjuntos sigue siendo impredicativa en NBG, porque los cuantificadores en φ ( x ) pueden abarcar todos los conjuntos.) El esquema de axioma de NBG de Comprensión de clases se puede reemplazar con un número finito de sus instancias; esto no es posible en MK. MK es consistente en relación con ZFC aumentado por un axioma que afirma la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles .

La única ventaja del axioma de limitación de tamaño es que implica el axioma de elección global . La limitación de tamaño no aparece en Rubin (1967), Monk (1980) o Mendelson (1997). En cambio, estos autores invocan una forma habitual del axioma local de elección y un "axioma de reemplazo", afirmando que si el dominio de una función de clase es un conjunto, su rango también es un conjunto. El reemplazo puede probar todo lo que prueba la limitación de tamaño, excepto probar alguna forma del axioma de elección .

La limitación del tamaño más que I es un conjunto (por lo tanto, el universo no está vacío) hace demostrable la condición del conjunto vacío; por tanto, no es necesario un axioma de conjunto vacío . Por supuesto, se podría agregar un axioma así, y las pequeñas perturbaciones de los axiomas anteriores requerirían esta adición. El conjunto I no se identifica con el ordinal límite, ya que podría ser un conjunto mayor que. En este caso, la existencia de se seguiría de cualquier forma de Limitación de tamaño. ${\ Displaystyle \ omega,}$${\ Displaystyle \ omega.}$${\ Displaystyle \ omega}$

La clase de ordinales de von Neumann puede estar bien ordenada . No puede ser un conjunto (so pena de paradoja); por lo tanto, que la clase es una clase apropiada, y todas las clases adecuadas tener el mismo tamaño que V . Por tanto, V también puede estar bien ordenado.

MK se puede confundir con ZFC de segundo orden, ZFC con lógica de segundo orden (que representa objetos de segundo orden en un lenguaje de conjunto en lugar de predicado) como su lógica de fondo. El lenguaje de ZFC de segundo orden es similar al de MK (aunque ya no se pueden identificar un conjunto y una clase que tienen la misma extensión), y sus recursos sintácticos para la prueba práctica son casi idénticos (y son idénticos si MK incluye el fuerte forma de limitación de tamaño). Pero la semántica de ZFC de segundo orden es bastante diferente a la de MK. Por ejemplo, si MK es consistente, entonces tiene un modelo de primer orden contable, mientras que ZFC de segundo orden no tiene modelos contables.

Teoría de modelos

ZFC, NBG y MK tienen modelos que se pueden describir en términos de V , el universo de conjuntos de von Neumann en ZFC . Deje que el cardinal inaccesible kappa ser miembro de V . También hagamos que Def ( X ) denote los Δ ₀ subconjuntos definibles de X (ver universo construible ). Luego:

• V _κ es un modelo de ZFC ;
• Def ( V _κ ) es un modelo de la versión de NBG de Mendelson , que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por reemplazo y elección ordinaria;
• V _{κ + 1} , el conjunto de potencia de V _κ , es un modelo de MK.

Historia

MK se estableció por primera vez en Wang (1949) y se popularizó en un apéndice de la Topología general de JL Kelley (1955) , utilizando los axiomas que se dan en la siguiente sección. El sistema de A Theory of Sets de Anthony Morse (1965) es equivalente al de Kelley, pero está formulado en un lenguaje formal idiosincrásico en lugar de, como se hace aquí, en la lógica estándar de primer orden . La primera teoría de conjuntos que incluyó la comprensión de clase impredicativa fue el ML de Quine , que se basó en New Foundations en lugar de ZFC . Mostowski (1951) y Lewis (1991) también propusieron una comprensión de clase impredicativa .

Los axiomas en la topología general de Kelley

Los axiomas y definiciones en esta sección son, pero para algunos detalles no esenciales, tomados del Apéndice de Kelley (1955). Los comentarios explicativos a continuación no son suyos. El Apéndice establece 181 teoremas y definiciones, y garantiza una lectura cuidadosa como una exposición abreviada de la teoría de conjuntos axiomáticos por parte de un matemático en activo de primer rango. Kelley introdujo sus axiomas gradualmente, según sea necesario, para desarrollar los temas enumerados después de cada instancia de Desarrollar a continuación.

Las notaciones que aparecen a continuación y ahora son bien conocidas no están definidas. Las peculiaridades de la notación de Kelley incluyen:

• Él no distingue las variables que van sobre las clases de los que van sobre conjuntos;
• dominio f y rango f denotan el dominio y rango de la función f ; esta peculiaridad se ha respetado cuidadosamente a continuación;
• Su lenguaje lógico primitivo incluye resúmenes de clase de la forma "la clase de todos los conjuntos x que satisfacen A ( x )".${\ Displaystyle \ \ {x: A (x) \},}$

Definición: x es un conjunto (y por tanto no es una clase adecuada ) si, por alguna y , . ${\ Displaystyle x \ in y}$

I. Extensión: Para cada x y cada y , x = y si y solo si para cada z , cuando y solo cuando${\ Displaystyle z \ in x}$${\ Displaystyle z \ in y.}$

Idéntico a la extensionalidad anterior. I sería idéntica a la axioma de extensionalidad en ZFC , excepto que el alcance de I incluye las clases adecuadas, así como conjuntos.

II. Clasificación (esquema): un axioma resulta si en

Para cada uno , si y solo si es un conjunto y${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ beta \ in \ {\ alpha: A \}}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle B,}$

'α' y 'β' se reemplazan por variables, ' A ' por una fórmula Æ y ' B ' por la fórmula obtenida de Æ al reemplazar cada aparición de la variable que reemplazó a α por la variable que reemplazó a β siempre que la variable que sustituye β no aparece atado en a .

Desarrollar : Álgebra booleana de conjuntos . La existencia de la clase nula y de la clase universal V .

III. Subconjuntos: si x es un conjunto, existe un conjunto y tal que para cada z , si , entonces${\ Displaystyle z \ subseteq x}$${\ Displaystyle z \ in y.}$

La importación de III es la de Power Set anterior. Esquema de la demostración de poder Conjunto de III : para cualquier clase z que sea una subclase del conjunto x , la clase z es un miembro del conjunto y cuya existencia III afirma. Por tanto, z es un conjunto.

Desarrollar : V no es un conjunto. Existencia de singletons . Separación demostrable.

IV. Unión: Si X e Y son ambos conjuntos, a continuación, es un conjunto. ${\ Displaystyle x \ cup y}$

La importancia de IV es la del emparejamiento anterior. Esquema de la prueba de emparejamiento de IV : el singleton de un conjunto x es un conjunto porque es una subclase del conjunto de potencias de x (por dos aplicaciones de III ). Entonces IV implica que es un conjunto si x y y son conjuntos. ${\ Displaystyle \ {x \}}$${\ Displaystyle \ {x, y \}}$

Desarrollar : pares ordenados y desordenados , relaciones , funciones , dominio , rango , composición de funciones .

V. Sustitución: Si f es una función de [clase] y el dominio f es un conjunto, entonces el rango f es un conjunto.

La importancia de V es la del esquema de axioma de reemplazo en NBG y ZFC .

VI. Fusión: si x es un conjunto, entonces es un conjunto. ${\ Displaystyle \ bigcup x}$

La importación de VI es la de la Unión anterior. IV y VI pueden combinarse en un axioma.

Desarrollar : producto cartesiano , inyección , sobreyección , biyección , teoría del orden .

VII. Regularidad: Si hay un miembro y de x tal que${\ Displaystyle x \ neq \ varnothing}$${\ Displaystyle x \ cap y = \ varnothing.}$

La importancia de VII es la de Fundación anterior.

Desarrollar : números ordinales , inducción transfinita .

VIII. Infinito: existe un conjunto y , tal que y siempre que${\ Displaystyle \ varnothing \ in y}$${\ Displaystyle x \ cup \ {x \} \ in y}$${\ Displaystyle x \ en y.}$

Este axioma, o sus equivalentes, se incluyen en ZFC y NBG. VIII afirma la existencia incondicional de dos conjuntos, el conjunto inductivo infinito y , y el conjunto nulo es un conjunto simplemente porque es miembro de y . Hasta este punto, todo lo que se ha demostrado que existe es una clase, y la discusión de Kelley sobre los conjuntos era completamente hipotética. ${\ Displaystyle \ varnothing.}$ ${\ Displaystyle \ varnothing}$

Desarrollar : Números naturales , N es un conjunto, axiomas de Peano , números enteros , números racionales , números reales .

Definición: c es una función de elección si c es una función y para cada miembro x del dominio c . ${\ Displaystyle c (x) \ in x}$

IX. Elección: existe una función de elección c cuyo dominio es . ${\ Displaystyle V - \ {\ varnothing \}.}$

IX es muy similar al axioma de elección global derivable de la limitación de tamaño anterior.

Desarrollar : Equivalentes del axioma de elección. Como es el caso de ZFC , el desarrollo de los números cardinales requiere alguna forma de elección.

Si el alcance de todas las variables cuantificadas en los axiomas anteriores está restringido a conjuntos, todos los axiomas excepto III y el esquema IV son axiomas ZFC. IV se puede demostrar en ZFC. Por lo tanto, el tratamiento de Kelley de MK deja muy claro que todo lo que distingue a MK de ZFC son variables que abarcan las clases adecuadas , así como los conjuntos, y el esquema de clasificación.

Notas

Referencias

• John L. Kelley 1975 (1955) Topología general . Saltador. Ed. Anterior, Van Nostrand. Apéndice, "Teoría elemental de conjuntos".
• Lemmon, EJ (1986) Introducción a la teoría de conjuntos axiomáticos . Routledge y Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Partes de clases . Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Introducción a la lógica matemática . Chapman y Hall. ISBN 0-534-06624-0.El tratamiento definitivo de la teoría de conjuntos estrechamente relacionada NBG , seguido de una página sobre MK. Más duro que Monk o Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Introducción a la teoría de conjuntos . Krieger. Más fácil y menos completo que Rubin.
• Morse, AP, (1965) Una teoría de conjuntos . Prensa académica.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Algunas definiciones impredicativas en la teoría de conjuntos axiomáticos" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111-124, doi : 10.4064 / fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teoría de conjuntos para el matemático . San Francisco: Día de Holden. Más concienzudo que Monk; la ontología incluye urelementos .
• Wang, Hao (1949), "Sobre los axiomas de Zermelo y von Neumann para la teoría de conjuntos", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 35 (3): 150-155, doi : 10.1073 / pnas.35.3.150 , JSTOR  88430 , MR  0029850 , PMC  1062986 , PMID  16588874.

enlaces externos

• Descargar Topología general (1955) de John L. Kelley en varios formatos. El apéndice contiene el desarrollo axiomático de MK de Kelley.

Del grupo de discusión de Fundamentos de las Matemáticas (FOM):

• Allen Hazen sobre teoría de conjuntos con clases.
• Las dudas de Joseph Shoenfield sobre MK.