Cardenal inaccesible - Inaccessible cardinal

En la teoría de conjuntos , un cardinal incontable es inaccesible si no puede obtenerse de cardinales más pequeños mediante las operaciones habituales de la aritmética cardinal . Más precisamente, un cardenal es fuertemente inaccesible si es incontable, no es una suma de menos que cardenales que son menos que , e implica . ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ alpha <\ kappa}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ alpha} <\ kappa}$

El término "cardenal inaccesible" es ambiguo. Hasta alrededor de 1950, significaba "cardenal débilmente inaccesible", pero desde entonces generalmente significa "cardenal fuertemente inaccesible". Un cardenal incontable es débilmente inaccesible si es un cardenal de límite débil regular . Es muy inaccesible, o simplemente inaccesible, si es un cardinal de límite fuerte regular (esto es equivalente a la definición dada arriba). Algunos autores no requieren que los cardenales débil y fuertemente inaccesibles sean incontables (en cuyo caso es fuertemente inaccesible). Los cardenales débilmente inaccesibles fueron introducidos por Hausdorff (1908) , y los fuertemente inaccesibles por Sierpiński & Tarski (1930) y Zermelo (1930) . ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Todo cardenal fuertemente inaccesible es también débilmente inaccesible, ya que todo cardenal límite fuerte es también un cardenal límite débil. Si se mantiene la hipótesis del continuo generalizado , entonces un cardenal es fuertemente inaccesible si y solo si es débilmente inaccesible.

${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$( aleph-null ) es un cardinal de límite fuerte regular. Asumiendo el axioma de elección , cualquier otro número cardinal infinito es regular o un límite (débil). Sin embargo, solo un número cardinal bastante grande puede ser ambos y, por lo tanto, débilmente inaccesible.

Un ordinal es un cardinal débilmente inaccesible si y solo si es un ordinal regular y es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno y son ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares.) Un cardinal que es débilmente inaccesible y también un cardinal de límite fuerte es fuertemente inaccesible. ${\ Displaystyle \ omega}$

La suposición de la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible a veces se aplica bajo la forma de la suposición de que se puede trabajar dentro de un universo de Grothendieck , estando las dos ideas íntimamente conectadas.

Modelos y consistencia

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elección (ZFC) implica que V _κ es un modelo de ZFC siempre que κ sea ​​fuertemente inaccesible. Y ZF implica que el universo de Gödel L _κ es un modelo de ZFC siempre que κ sea ​​débilmente inaccesible. Por lo tanto, ZF junto con "existe un cardenal débilmente inaccesible" implica que ZFC es consistente. Por lo tanto, los cardenales inaccesibles son un tipo de cardenal grande .

Si V es un modelo estándar de ZFC y κ es inaccesible en V , entonces: V _κ es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; y Def ( V _κ ) es uno de los modelos previstos de la versión de Mendelson de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por reemplazo y elección ordinaria; y V _{κ +1} es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Aquí Def ( X ) es el Δ ₀ subconjuntos definibles de X (ver universo construible ). Sin embargo, κ no necesita ser inaccesible, o incluso un número cardinal, para que V _κ sea ​​un modelo estándar de ZF (ver más abajo ).

Suponga que V es un modelo de ZFC. O bien V no contiene ningún inaccesible fuerte o, tomando κ como el inaccesible fuerte más pequeño en V, V _κ es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles fuertes. Por lo tanto, la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay inaccesibles fuertes". De manera similar, V no contiene inaccesibles débiles o, tomando κ como el ordinal más pequeño que es débilmente inaccesible en relación con cualquier submodelo estándar de V, entonces L _κ es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles débiles. Entonces, la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay inaccesibles débiles". Esto muestra que ZFC no puede probar la existencia de un cardenal inaccesible, por lo que ZFC es consistente con la inexistencia de cardenales inaccesibles.

La cuestión de si ZFC es coherente con la existencia de un cardenal inaccesible es más sutil. La prueba esbozada en el párrafo anterior de que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay un cardinal inaccesible" se puede formalizar en ZFC. Sin embargo, asumiendo que ZFC es consistente, ninguna prueba de que la consistencia de ZFC implique la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible" puede formalizarse en ZFC. Esto se sigue del segundo teorema de incompletitud de Gödel , que muestra que si ZFC + "hay un cardinal inaccesible" es consistente, entonces no puede probar su propia consistencia. Debido a que ZFC + "hay un cardinal inaccesible" demuestra la consistencia de ZFC, si ZFC demostrara que su propia consistencia implica la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible", esta última teoría podría probar su propia consistencia, lo cual es imposible si es consistente.

Hay argumentos para la existencia de cardenales inaccesibles que no se pueden formalizar en ZFC. Uno de esos argumentos, presentado por Hrbáček y Jech (1999 , p. 279), es que la clase de todos los ordinales de un modelo particular M de teoría de conjuntos sería en sí misma un cardinal inaccesible si hubiera un modelo más grande de teoría de conjuntos que extendiera M y preservar powerset de elementos de M .

Existencia de una clase adecuada de inaccesibles.

Hay muchos axiomas importantes en la teoría de conjuntos que afirman la existencia de una clase adecuada de cardinales que satisfacen un predicado de interés. En el caso de la inaccesibilidad, el axioma correspondiente es la afirmación de que por cada μ cardinal , existe un κ cardinal inaccesible que es estrictamente mayor, μ < κ . Por lo tanto, este axioma garantiza la existencia de una torre infinita de cardenales inaccesibles (y en ocasiones puede denominarse axioma cardinal inaccesible). Como es el caso de la existencia de cualquier cardinal inaccesible, el axioma cardinal inaccesible es indemostrable a partir de los axiomas de ZFC. Suponiendo ZFC, el axioma cardinal inaccesible es equivalente al axioma del universo de Grothendieck y Verdier : cada conjunto está contenido en un universo de Grothendieck . Los axiomas de ZFC junto con el axioma del universo (o equivalentemente el axioma cardinal inaccesible) se denotan ZFCU (que podría confundirse con ZFC con urelementos ). Este sistema axiomático es útil para demostrar, por ejemplo, que cada categoría tiene una inclusión Yoneda apropiada .

Este es un axioma cardinal grande relativamente débil, ya que equivale a decir que ∞ es 1-inaccesible en el lenguaje de la siguiente sección, donde ∞ denota el menos ordinal que no está en V, es decir, la clase de todos los ordinales en su modelo.

α -cardenales inaccesibles y cardenales hiper inaccesibles

El término " cardenal α- inaccesible" es ambiguo y diferentes autores utilizan definiciones desiguales. Una definición es que un cardinal κ se llama α- inaccesible , para α cualquier ordinal, si κ es inaccesible y para cada ordinal β < α , el conjunto de β- inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ (y por lo tanto de cardinalidad κ , ya que κ es regular). En este caso, los cardenales 0 inaccesibles son los mismos que los cardenales fuertemente inaccesibles. Otra posible definición es que un cardinal κ se llama α- débilmente inaccesible si κ es regular y para cada ordinal β < α , el conjunto de β- débilmente inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ. En este caso, los cardenales 0-débilmente inaccesibles son los cardenales regulares y los cardenales 1-débilmente inaccesibles son los cardenales débilmente inaccesibles.

Los cardenales α- inaccesibles también se pueden describir como puntos fijos de funciones que cuentan los inaccesibles inferiores. Por ejemplo, denote por ψ ₀ ( λ ) el λ ^ésimo cardinal inaccesible, entonces los puntos fijos de ψ ₀ son los cardinales 1-inaccesibles. Entonces, dejando que ψ _β ( λ ) sea el λ ^-ésimo cardinal β- inaccesible, los puntos fijos de ψ _β son los cardinales ( β +1)-inaccesibles (los valores ψ _{β +1} ( λ )). Si α es un ordinal límite, un α- inaccesible es un punto fijo de cada ψ _β para β < α (el valor ψ _α ( λ ) es el λ ^ésimo cardinal). Este proceso de tomar puntos fijos de funciones que generan sucesivamente cardinales más grandes se encuentra comúnmente en el estudio de grandes números cardinales .

El término hiper-inaccesible es ambiguo y tiene al menos tres significados incompatibles. Muchos autores lo utilizan para referirse a un límite regular de cardenales fuertemente inaccesibles (1-inaccesible). Otros autores lo utilizan para indicar que κ es κ- inaccesible. (Nunca puede ser κ + 1-inaccesible). Ocasionalmente se usa para referirse al cardenal Mahlo .

El término α -hiper-inaccesible también es ambiguo. Algunos autores lo utilizan para referirse a α- inaccesible. Otros autores utilizan la definición de que para cualquier α ordinal , un κ cardinal es α -hiper-inaccesible si y solo si κ es hiper-inaccesible y para cada β ordinal < α , el conjunto de β -hiper-inaccesibles menores que κ es ilimitado. en κ .

Los cardenales hiper-hiper-inaccesibles y demás se pueden definir de manera similar y, como es habitual, este término es ambiguo.

Usando "débilmente inaccesible" en lugar de "inaccesible", se pueden hacer definiciones similares para "débilmente α -inaccesible", "débilmente hiper-inaccesible" y "débilmente α -hiper-inaccesible".

Los cardenales Mahlo son inaccesibles, hiper-inaccesibles, hiper-hiper-inaccesibles, ... y así sucesivamente.

Dos caracterizaciones teóricas de modelos de inaccesibilidad

En primer lugar, un cardinal κ es inaccesible si y solo si κ tiene la siguiente propiedad de reflexión : para todos los subconjuntos U ⊂ V _κ , existe α < κ tal que es una subestructura elemental de . (De hecho, el conjunto de tal α está cerrado sin límites en κ .) De manera equivalente, κ es - indescriptible para todo n ≥ 0. ${\ Displaystyle (V _ {\ alpha}, \ in, U \ cap V _ {\ alpha})}$${\ Displaystyle (V _ {\ kappa}, \ in, U)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {n} ^ {0}}$

Se puede demostrar en ZF que ∞ satisface una propiedad de reflexión algo más débil, donde la subestructura (V _α , ∈, U ∩ V _α ) solo se requiere que sea 'elemental' con respecto a un conjunto finito de fórmulas. En última instancia, la razón de este debilitamiento es que, mientras que la relación de satisfacción de la teoría del modelo puede definirse, la verdad en sí misma no puede, debido al teorema de Tarski . ${\ Displaystyle \ models}$

En segundo lugar, bajo ZFC se puede demostrar que κ es inaccesible si y solo si (V _κ , ∈) es un modelo de ZFC de segundo orden .

En este caso, por la propiedad de reflexión anterior, existe α < κ tal que (V _α , ∈) es un modelo estándar de ZFC (de primer orden ). Por lo tanto, la existencia de un cardenal inaccesible es una hipótesis más fuerte que la existencia de un modelo estándar de ZFC.

Ver también

• Cardenal mahlo
• Conjunto de club
• Modelo interior
• Universo von Neumann
• Universo construible

Trabajos citados