Axioma de extensionalidad - Axiom of extensionality

En la teoría de conjuntos axiomáticos y las ramas de la lógica , las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de extensionalidad , o axioma de extensión , es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Dice que los conjuntos que tienen los mismos elementos son el mismo conjunto.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ implica A = B)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si para cada conjunto X , X es un miembro de A si y sólo si X es un miembro de B , entonces A es igual a B .

(No es realmente esencial que X sea ​​un conjunto  , pero en ZF , todo lo es. Consulte los elementos Ur a continuación para saber cuándo se infringe).

Lo contrario de este axioma se deriva de la propiedad de sustitución de la igualdad . ${\ Displaystyle \ para todo A \, \ para todo B \, (A = B \ implica \ para todo X \, (X \ en A \ iff X \ en B)),}$

Interpretación

Para entender este axioma, tenga en cuenta que la cláusula entre paréntesis en la declaración simbólica anterior simplemente establece que A y B tienen precisamente los mismos miembros. Por lo tanto, lo que el axioma realmente dice es que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen precisamente los mismos miembros. La esencia de esto es:

Un conjunto está determinado únicamente por sus miembros.

El axioma de extensionalidad puede usarse con cualquier enunciado de la forma , donde P es cualquier predicado unario que no menciona A , para definir un conjunto único cuyos miembros son precisamente los conjuntos que satisfacen el predicado . Entonces podemos introducir un nuevo símbolo para ; De esta manera, las definiciones en matemáticas ordinarias funcionan en última instancia cuando sus enunciados se reducen a términos puramente de teoría de conjuntos. ${\ Displaystyle \ existe A \, \ forall X \, (X \ in A \ iff P (X) \,)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle A}$

El axioma de extensionalidad generalmente no es controvertido en los fundamentos de la teoría de conjuntos de las matemáticas, y éste o un equivalente aparece en casi cualquier axiomatización alternativa de la teoría de conjuntos. Sin embargo, puede requerir modificaciones para algunos propósitos, como se indica a continuación.

En la lógica de predicados sin igualdad

El axioma dado anteriormente asume que la igualdad es un símbolo primitivo en la lógica de predicados . Algunos tratamientos de la teoría de conjuntos axiomáticos prefieren prescindir de esto y, en cambio, tratan el enunciado anterior no como un axioma sino como una definición de igualdad. Entonces es necesario incluir los axiomas habituales de igualdad de la lógica de predicados como axiomas sobre este símbolo definido. La mayoría de los axiomas de igualdad todavía se derivan de la definición; el restante es la propiedad de sustitución,

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ implica \ forall Y \, (A \ in Y \ iff B \ in Y) \,),}$

y se convierte en este axioma al que se hace referencia como axioma de extensionalidad en este contexto.

En teoría de conjuntos con elementos ur

Un elemento-ur es un miembro de un conjunto que no es en sí mismo un conjunto. En los axiomas de Zermelo-Fraenkel, no hay elementos ur, pero están incluidos en algunas axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Los elementos Ur pueden tratarse como un tipo lógico diferente de los conjuntos; en este caso, no tiene sentido si es un elemento ur, por lo que el axioma de extensionalidad simplemente se aplica solo a conjuntos. ${\ Displaystyle B \ in A}$${\ Displaystyle A}$

Alternativamente, en la lógica sin tipo, podemos requerir que sea falso siempre que sea ​​un elemento ur. En este caso, el axioma habitual de extensionalidad implicaría que cada elemento ur es igual al conjunto vacío . Para evitar esta consecuencia, podemos modificar el axioma de extensionalidad para que se aplique solo a conjuntos no vacíos, de modo que diga: ${\ Displaystyle B \ in A}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ existe X \, (X \ in A) \ implica [\ forall Y \, (Y \ in A \ iff Y \ in B) \ implica A = B ] \,).}$

Es decir:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si A es un conjunto no vacío (es decir, si existe un miembro X de A ), entonces si A y B tienen precisamente los mismos miembros, entonces son iguales.

Sin embargo, otra alternativa en la lógica no tipificada es definirse a sí mismo como el único elemento de siempre que sea ​​un elemento ur. Si bien este enfoque puede servir para preservar el axioma de extensionalidad, el axioma de regularidad necesitará un ajuste en su lugar. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Ver también

• Extensionalidad para una visión general.

Referencias

• Paul Halmos , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .