Extensionalidad - Extensionality
En lógica , la extensionalidad , o igualdad extensional , se refiere a principios que juzgan que los objetos son iguales si tienen las mismas propiedades externas. Contrasta con el concepto de intensionalidad , que se ocupa de si las definiciones internas de los objetos son las mismas.
Ejemplo
Considere las dos funciones f y g mapeo desde y hacia números naturales , definidos como sigue:
- Para encontrar f ( n ), primero sume 5 an , luego multiplique por 2.
- Para encontrar g ( n ), primero multiplica n por 2, luego suma 10.
Estas funciones son extensivamente iguales; dada la misma entrada, ambas funciones siempre producen el mismo valor. Pero las definiciones de las funciones no son iguales, y en ese sentido intensional las funciones no son iguales.
De manera similar, en el lenguaje natural hay muchos predicados (relaciones) que son intensionalmente diferentes pero extensivamente idénticos. Por ejemplo, suponga que en una ciudad hay una persona llamada Joe, que también es la persona de mayor edad de la ciudad. Entonces, los dos predicados "ser llamado Joe" y "ser la persona de mayor edad en esta ciudad" son intensionalmente distintos, pero extensionalmente iguales para la población (actual) de esta ciudad.
En matemáticas
La definición extensional de igualdad de funciones, discutida anteriormente, se usa comúnmente en matemáticas. A veces se adjunta información adicional a una función, como un codominio explícito , en cuyo caso dos funciones no solo deben coincidir en todos los valores, sino que también deben tener el mismo codominio, para ser iguales (por el contrario, la definición habitual de un función en matemáticas significa que funciones iguales deben tener el mismo dominio ).
Se suele emplear una definición extensional similar para las relaciones : se dice que dos relaciones son iguales si tienen las mismas extensiones .
En la teoría de conjuntos , el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismos elementos. En las matemáticas formalizadas en la teoría de conjuntos, es común identificar relaciones —y, lo más importante, funciones— con su extensión como se indicó anteriormente, de modo que es imposible distinguir dos relaciones o funciones con la misma extensión.
Otros objetos matemáticos también se construyen de tal manera que la noción intuitiva de "igualdad" concuerda con la igualdad extensional a nivel de conjunto; por tanto, los pares ordenados iguales tienen elementos iguales, y los elementos de un conjunto que están relacionados por una relación de equivalencia pertenecen a la misma clase de equivalencia .
Los fundamentos teóricos de tipo de las matemáticas generalmente no son extensionales en este sentido, y los setoides se usan comúnmente para mantener una diferencia entre la igualdad intensional y una relación de equivalencia más general (que generalmente tiene propiedades de baja constructibilidad o decidibilidad ).