Igualdad (matemáticas) - Equality (mathematics)

En matemáticas , la igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas , afirmando que las cantidades tienen el mismo valor o que las expresiones representan el mismo objeto matemático . La igualdad entre A y B se escribe A  =  B , y pronunciada Una es igual a B . El símbolo " = " se denomina " signo igual ". Se dice que dos objetos que no son iguales son distintos .

Por ejemplo:

• ${\ Displaystyle x = y}$medios que x y y denotan el mismo objeto.
• La identidad significa que si x es cualquier número, entonces las dos expresiones tienen el mismo valor. Esto también puede interpretarse en el sentido de que los dos lados del signo igual representan la misma función .${\ Displaystyle (x + 1) ^ {2} = x ^ {2} + 2x + 1}$
• ${\ Displaystyle \ {x \ mid P (x) \} = \ {x \ mid Q (x) \}}$si y solo si Esta aserción, que usa la notación del constructor de conjuntos , significa que si los elementos que satisfacen la propiedad son los mismos que los elementos que la satisfacen, entonces los dos usos de la notación del constructor de conjuntos definen el mismo conjunto. Esta propiedad a menudo se expresa como "dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales". Es uno de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos , llamado axioma de extensionalidad .${\ Displaystyle P (x) \ Leftrightarrow Q (x).}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (x),}$

Etimología

La etimología de la palabra proviene del latín aequālis ("igual", "como", "comparable", "similar") de aequus ("igual", "nivel", "justo", "justo").

Propiedades básicas

• Propiedad de sustitución : Para cualquier cantidades un y b y cualquier expresión F ( x ), si un = b , entonces F ( un ) = F ( b ) (a condición de que ambos lados están bien formadas ).

Algunos ejemplos específicos de esto son:

• Para cualquier números reales a , b , y c , si un = b , a continuación, un + c = b + c (aquí, F ( x ) es x + c );
• Para cualquier números reales a , b , y c , si un = b , a continuación, un - c = b - c (aquí, F ( x ) es x - c );
• Para cualquier números reales a , b , y c , si un = b , entonces ac = bc (aquí, F ( x ) es xc );
• Para cualquier números reales a , b , y c , si un = b y c no es cero , entonces un / c = b / c (aquí, F ( x ) es x / c ).

• Propiedad reflexiva : Para cualquier cantidad a , a = a .

• Propiedad simétrica : para cualquier cantidad de una y B , si un = b , entonces b = una .

• Propiedad transitiva : para cualquier cantidad a , b y c , si a = b y b = c , entonces a = c .

Estas tres propiedades hacen de la igualdad una relación de equivalencia . Originalmente se incluyeron entre los axiomas de Peano para números naturales. Aunque las propiedades simétricas y transitivas a menudo se consideran fundamentales, pueden deducirse de las propiedades de sustitución y reflexivas.

Igualdad como predicado

Cuando A y B no están completamente especificados o dependen de algunas variables , la igualdad es una proposición , que puede ser verdadera para algunos valores y falsa para otros valores. La igualdad es una relación binaria (es decir, un predicado de dos argumentos ) que puede producir un valor de verdad ( falso o verdadero ) a partir de sus argumentos. En programación de computadoras , su cálculo a partir de las dos expresiones se conoce como comparación .

Identidades

Cuando A y B pueden verse como funciones de algunas variables, entonces A  =  B significa que A y B definen la misma función. Esta igualdad de funciones a veces se denomina identidad . Un ejemplo es A veces, pero no siempre, una identidad se escribe con una barra triple :${\ Displaystyle \ left (x + 1 \ right) \ left (x + 1 \ right) = x ^ {2} + 2x + 1.}$${\ Displaystyle \ left (x + 1 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ equiv x ^ {2} + 2x + 1.}$

Ecuaciones

Una ecuación es un problema de encontrar valores de algunas variables, llamadas incógnitas , para las cuales la igualdad especificada es verdadera. El término "ecuación" también puede referirse a una relación de igualdad que se satisface solo para los valores de las variables en las que uno está interesado. Por ejemplo, es la ecuación del círculo unitario . ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad, u otro uso de la relación de igualdad: uno tiene que adivinar una interpretación apropiada de la semántica de las expresiones y el contexto. Se afirma que una identidad es verdadera para todos los valores de las variables en un dominio dado. Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero la mayoría de las veces, especifica un subconjunto del espacio variable para que sea el subconjunto donde la ecuación es verdadera.

Congruencias

En algunos casos, se pueden considerar como iguales dos objetos matemáticos que solo son equivalentes para las propiedades que se están considerando. En geometría, por ejemplo, se dice que dos formas geométricas son iguales cuando una se puede mover para que coincida con la otra. La palabra congruencia (y el símbolo asociado ) también se usa para este tipo de igualdad. ${\ Displaystyle \ cong}$

Igualdad aproximada

Hay algunos sistemas lógicos que no tienen ninguna noción de igualdad. Esto refleja la indecidibilidad de la igualdad de dos números reales , definida por fórmulas que involucran los números enteros , las operaciones aritméticas básicas , el logaritmo y la función exponencial . En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad.

La relación binaria " es aproximadamente igual " (indicada por el símbolo ) entre números reales u otras cosas, incluso si se define con mayor precisión, no es transitiva (ya que muchas pequeñas diferencias pueden sumar algo grande). Sin embargo, la igualdad en casi todas partes es transitiva. ${\ Displaystyle \ approx}$

Una igualdad cuestionable bajo prueba se puede denotar usando el símbolo ≟ .

Relación con equivalencia e isomorfismo

Vista como una relación, la igualdad es el arquetipo del concepto más general de una relación de equivalencia en un conjunto: esas relaciones binarias que son reflexivas , simétricas y transitivas . La relación de identidad es una relación de equivalencia. A la inversa, sea R una relación de equivalencia y denotemos por x ^R la clase de equivalencia de x , que consta de todos los elementos z tales que x R z . Entonces la relación x Ry es equivalente con la igualdad x ^R  =  y ^R . De ello se deduce que la igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto S en el sentido de que es la relación que tiene las clases de equivalencia más pequeñas (cada clase se reduce a un solo elemento).

En algunos contextos, la igualdad se distingue claramente de la equivalencia o el isomorfismo . Por ejemplo, se pueden distinguir fracciones de números racionales , siendo estos últimos clases de equivalencia de fracciones: las fracciones y son distintas como fracciones (como diferentes cadenas de símbolos) pero "representan" el mismo número racional (el mismo punto en una recta numérica) ). Esta distinción da lugar a la noción de conjunto de cocientes . ${\ Displaystyle 1/2}$${\ Displaystyle 2/4}$

Del mismo modo, los conjuntos

${\ Displaystyle \ {{\ text {A}}, {\ text {B}}, {\ text {C}} \}}$ y ${\ Displaystyle \ {1,2,3 \}}$

no son conjuntos iguales, el primero consta de letras, mientras que el segundo consta de números, pero ambos son conjuntos de tres elementos y, por lo tanto, isomorfos, lo que significa que hay una biyección entre ellos. Por ejemplo

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 1, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 3.}$

Sin embargo, hay otras opciones de isomorfismo, como

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 3, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 1,}$

y estos conjuntos no pueden identificarse sin hacer esa elección: cualquier enunciado que los identifique "depende de la elección de identificación". Esta distinción, entre igualdad e isomorfismo , es de fundamental importancia en la teoría de categorías y es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

Definiciones lógicas

Leibniz caracterizó la noción de igualdad de la siguiente manera:

Dado cualquier x y y , x = y si y sólo si , dado cualquier predicado P , P ( x ) si y sólo si P ( Y ).

Igualdad en la teoría de conjuntos

La igualdad de conjuntos se axiomatiza en la teoría de conjuntos de dos formas diferentes, dependiendo de si los axiomas se basan en un lenguaje de primer orden con o sin igualdad.

Establecer la igualdad basada en la lógica de primer orden con igualdad

En la lógica de primer orden con igualdad, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto.

• Axioma lógico: x = y ⇒ ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Axioma lógico: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )
• Axioma de la teoría de conjuntos: (∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )) ⇒ x = y

La incorporación de la mitad del trabajo a la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señaló Lévy.

"La razón por la que tomamos el cálculo de predicados de primer orden con igualdad es una cuestión de conveniencia; con esto nos ahorramos el trabajo de definir la igualdad y probar todas sus propiedades; esta carga ahora la asume la lógica".

Establecer la igualdad basada en la lógica de primer orden sin igualdad

En la lógica de primer orden sin igualdad, dos conjuntos se definen como iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos.

• Definición de la teoría de conjuntos: " x = y " significa ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Axioma de la teoría de conjuntos: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )

Ver también

• Extensionalidad
• Teoría del tipo de homotopía
• Desigualdad
• Lista de símbolos matemáticos
• Igualdad lógica
• Proporcionalidad (matemáticas)

Notas

Referencias

enlaces externos

• "Axiomas de la igualdad" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]