Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel - Zermelo–Fraenkel set theory

En teoría de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que lleva el nombre de los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel , es un sistema axiomático que se propuso a principios del siglo XX para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell . Hoy en día, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el axioma de elección (AC) históricamente controvertido incluido, es la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática y, como tal, es la base más común de las matemáticas . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC , donde C significa "elección", y ZF se refiere a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel está destinado a formalizar una única noción primitiva, la de un hereditaria bien fundada conjunto , de manera que todos los entes en el universo de discurso son tales conjuntos. Así, los axiomas de la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel se refieren sólo a conjuntos puros y prevenir sus modelos de contener urelements (elementos de los conjuntos que no son en sí mismos conjuntos). Además, las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidas por una propiedad compartida por sus miembros donde las colecciones son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente. Específicamente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no permite la existencia de un conjunto universal (un conjunto que contiene todos los conjuntos) ni la comprensión sin restricciones , evitando así la paradoja de Russell. La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora de uso común de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que permite un tratamiento explícito de las clases adecuadas.

Hay muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. La mayoría de los axiomas establecen la existencia de conjuntos particulares definidos a partir de otros conjuntos. Por ejemplo, el axioma de emparejamiento dice que dados dos conjuntos cualesquiera y hay un nuevo conjunto que contiene exactamente y . Otros axiomas describen las propiedades de la pertenencia a un conjunto. Un objetivo de los axiomas es que cada axioma debe ser verdadero si se interpreta como una declaración sobre la colección de todos los conjuntos en el universo de von Neumann (también conocido como la jerarquía acumulativa). Formalmente, ZFC es una teoría de un solo orden en lógica de primer orden . La firma tiene igualdad y una única relación binaria primitiva , pertenencia al conjunto , que generalmente se denota . La fórmula significa que el conjunto es un miembro del conjunto (que también se lee, " es un elemento de " o " está en ").

Las metamatemáticas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se han estudiado extensamente. Los resultados de referencia en esta área establecieron la independencia lógica del axioma de elección de los axiomas de Zermelo-Fraenkel restantes (ver Axioma de elección § Independencia ) y de la hipótesis del continuo de ZFC. La consistencia de una teoría como ZFC no se puede probar dentro de la teoría misma, como lo muestra el segundo teorema de incompletitud de Gödel .

Historia

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por Georg Cantor y Richard Dedekind en la década de 1870. Sin embargo, el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos ingenua , como la paradoja de Russell , llevó al deseo de una forma más rigurosa de teoría de conjuntos que estuviera libre de estas paradojas.

En 1908, Ernst Zermelo propuso la primera teoría axiomática de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo . Sin embargo, como señaló por primera vez Abraham Fraenkel en una carta de 1921 a Zermelo, esta teoría era incapaz de probar la existencia de ciertos conjuntos y números cardinales cuya existencia fue dada por sentada por la mayoría de los teóricos de conjuntos de la época, en particular el número cardinal y el número cardinal. set donde es cualquier conjunto infinito y es la operación de conjunto de potencia . Además, uno de los axiomas de Zermelo invocaba un concepto, el de una propiedad "definida", cuyo significado operativo no estaba claro. En 1922, Fraenkel y Thoralf Skolem propusieron independientemente la puesta en funcionamiento de una propiedad "definida" como una que pudiera formularse como una fórmula bien formada en una lógica de primer orden cuyas fórmulas atómicas se limitaban a establecer membresía e identidad. También propusieron de forma independiente reemplazar el esquema de axioma de especificación con el esquema de axioma de reemplazo . Al agregar este esquema, así como el axioma de regularidad (propuesto por primera vez por John von Neumann ), a la teoría de conjuntos de Zermelo se obtiene la teoría denotada por ZF . Al agregar a ZF el axioma de elección (AC) o una declaración que sea equivalente, se obtiene ZFC.

Axiomas

Hay muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de ZFC; para una discusión de esto ver Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973 . El siguiente conjunto de axiomas en particular es de Kunen (1980) . Los axiomas per se se expresan en el simbolismo de la lógica de primer orden . La prosa inglesa asociada solo está destinada a ayudar a la intuición.

Todas las formulaciones de ZFC implican que existe al menos un conjunto. Kunen incluye un axioma que afirma directamente la existencia de un conjunto, además de los axiomas que se dan a continuación (aunque señala que lo hace sólo "para enfatizar"). Su omisión aquí puede justificarse de dos maneras. Primero, en la semántica estándar de la lógica de primer orden en la que ZFC se formaliza típicamente, el dominio del discurso no debe estar vacío. Por lo tanto, es un teorema lógico de lógica de primer orden que algo existe, generalmente expresado como la afirmación de que algo es idéntico a sí mismo . En consecuencia, es un teorema de toda teoría de primer orden que algo existe. Sin embargo, como se señaló anteriormente, debido a que en la semántica prevista de ZFC solo hay conjuntos, la interpretación de este teorema lógico en el contexto de ZFC es que existe algún conjunto . Por tanto, no hay necesidad de un axioma separado que afirme que existe un conjunto. En segundo lugar, sin embargo, incluso si ZFC se formula en la llamada lógica libre , en la que no se puede demostrar solo con la lógica que algo existe, el axioma del infinito (abajo) afirma que existe un conjunto infinito . Esto implica que existe un conjunto y, una vez más, es superfluo incluir un axioma que lo afirme.

1. Axioma de extensionalidad

Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos.

La inversa de este axioma se sigue de la propiedad de sustitución de la igualdad . Si la lógica de fondo no incluye la igualdad " ", se puede definir como una abreviatura de la siguiente fórmula:

En este caso, el axioma de extensionalidad puede reformularse como

que dice que si y tienen los mismos elementos, entonces pertenecen a los mismos conjuntos.

2. Axioma de regularidad (también llamado axioma de fundación)

Cada conjunto no vacío contiene un miembro tal que y son conjuntos disjuntos .

o en notación moderna:

Esto (junto con el axioma de emparejamiento) implica, por ejemplo, que ningún conjunto es un elemento en sí mismo y que todo conjunto tiene un rango ordinal .

3. Esquema de axioma de especificación (también llamado esquema de axioma de separación o de comprensión restringida)

Los subconjuntos se construyen comúnmente usando la notación del generador de conjuntos . Por ejemplo, los enteros pares se pueden construir como el subconjunto de los enteros que satisfacen el predicado del módulo de congruencia :

En general, el subconjunto de un conjunto que obedece a una fórmula con una variable libre se puede escribir como:

El esquema de axioma de especificación establece que este subconjunto siempre existe (es un esquema de axioma porque hay un axioma para cada uno ). Formalmente, sea ​​cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC con todas las variables libres entre ( no está libre en ). Luego:

Tenga en cuenta que el esquema de axioma de especificación solo puede construir subconjuntos y no permite la construcción de entidades de la forma más general:

Esta restricción es necesaria para evitar la paradoja de Russell y sus variantes que acompañan a la teoría de conjuntos ingenua con una comprensión irrestricta .

En algunas otras axiomatizaciones de ZF, este axioma es redundante porque se sigue del esquema de axioma de reemplazo y del axioma del conjunto vacío .

Por otro lado, el axioma de especificación puede usarse para probar la existencia del conjunto vacío , denotado , una vez que se sabe que existe al menos un conjunto (ver arriba). Una forma de hacer esto es usar una propiedad que no tenga ningún conjunto. Por ejemplo, si hay un conjunto existente, el conjunto vacío se puede construir como

Así, el axioma del conjunto vacío está implícito en los nueve axiomas presentados aquí. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es único (no depende de ). Es común hacer una extensión de definición que agregue el símbolo " " al lenguaje de ZFC.

4. Axioma de emparejamiento

Si y son conjuntos, entonces existe un conjunto que contiene y como elementos.

El esquema de axioma de especificación debe usarse para reducir esto a un conjunto con exactamente estos dos elementos. El axioma de emparejamiento es parte de Z, pero es redundante en ZF porque se sigue del esquema de axioma de reemplazo, si se nos da un conjunto con al menos dos elementos. La existencia de un conjunto con al menos dos elementos está asegurada por el axioma del infinito o por el esquema del axioma de especificación y el axioma del conjunto de potencia aplicado dos veces a cualquier conjunto.

5. Axioma de unión

La unión a través de los elementos de un conjunto existe. Por ejemplo, la unión de los elementos del conjunto es

El axioma de unión establece que para cualquier conjunto de conjuntos hay un conjunto que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro de :

Aunque esta fórmula no afirma directamente la existencia de , el conjunto se puede construir a partir de lo anterior utilizando el esquema de axioma de especificación:

6. Esquema axiomático de sustitución

El esquema de axioma de reemplazo afirma que la imagen de un conjunto bajo cualquier función definible también caerá dentro de un conjunto.

Formalmente, sea ​​cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC cuyas variables libres estén entre para que en particular no sea libre en . Luego:

Para conocer el significado de , consulte cuantificación de unicidad .

En otras palabras, si la relación representa una función definible , representa su dominio y es un conjunto para cada, entonces el rango de es un subconjunto de algún conjunto . La forma establecida aquí, en la que puede ser más grande de lo estrictamente necesario, a veces se denomina esquema de axioma de colección .

7. Axioma del infinito

Primeros ordinales de von Neumann
0 = {} = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

Dejemos abreviar donde está algún conjunto. (Podemos ver que es un conjunto válido aplicando el axioma de emparejamiento con para que el conjunto z sea ). Entonces existe un conjunto X de tal manera que el conjunto vacío es miembro de X y, cada vez que un conjunto y es miembro de X a continuación, es también un miembro de X .

De manera más coloquial, existe un conjunto X que tiene infinitos miembros. (Debe establecerse, sin embargo, que estos miembros son todos diferentes, porque si dos elementos son iguales, la secuencia circulará en un ciclo finito de conjuntos. El axioma de regularidad evita que esto suceda). El conjunto mínimo X satisface el axioma del infinito es el ordinal de von Neumann ω que también se puede considerar como el conjunto de números naturales

8. Conjunto de axiomas de poder

Por definición, un conjunto es un subconjunto de un conjunto si y solo si cada elemento de es también un elemento de :

El conjunto de Axiom of Power establece que para cualquier conjunto , hay un conjunto que contiene cada subconjunto de :

El esquema de axioma de especificación se usa luego para definir el conjunto de potencias como el subconjunto de tal que contiene los subconjuntos de exactamente:

Los axiomas 1-8 definen ZF. A menudo se encuentran formas alternativas de estos axiomas, algunas de las cuales se enumeran en Jech (2003) . Algunas axiomatizaciones de ZF incluyen un axioma que afirma que existe el conjunto vacío . Los axiomas de emparejamiento, unión, reemplazo y conjunto de poder se enuncian a menudo de modo que los miembros del conjunto cuya existencia se afirma sean precisamente aquellos conjuntos que el axioma afirma que deben contener.

Se agrega el siguiente axioma para convertir ZF en ZFC:

9. Teorema del buen orden

Para cualquier conjunto , existe una relación binaria que ordena bien . Esto significa que es un orden lineal de tal que cada subconjunto no vacío de tiene un miembro que es mínimo por debajo .

Axiomas Dadas 1  -  8 , hay muchas declaraciones demostrablemente equivalentes a axioma 9 , el más conocido de los cuales es el axioma de elección (AC), que va de la siguiente manera. Sea un conjunto cuyos miembros no estén vacíos. Entonces existe una función desde la unión de los miembros de , llamada " función de elección ", tal que para todos uno tiene . Dado que la existencia de una función de elección cuando es un conjunto finito se prueba fácilmente a partir de los axiomas 1-8 , AC sólo importa para ciertos conjuntos infinitos . La CA se caracteriza como no constructiva porque afirma la existencia de un conjunto de opciones, pero no dice nada acerca de cómo se "construirá" el conjunto de opciones. Muchas investigaciones han buscado caracterizar la definibilidad (o la falta de ella) de ciertos conjuntos cuya existencia afirma AC.

Motivación a través de la jerarquía acumulativa

Una motivación para los axiomas ZFC es la jerarquía acumulativa de conjuntos introducida por John von Neumann . Desde este punto de vista, el universo de la teoría de conjuntos se construye en etapas, con una etapa para cada número ordinal . En la etapa 0 aún no hay conjuntos. En cada etapa siguiente, se agrega un conjunto al universo si todos sus elementos se han agregado en etapas anteriores. Así, el conjunto vacío se agrega en la etapa 1, y el conjunto que contiene el conjunto vacío se agrega en la etapa 2. La colección de todos los conjuntos que se obtienen de esta manera, sobre todas las etapas, se conoce como V. Los conjuntos en V pueden organizarse en una jerarquía asignando a cada conjunto la primera etapa en la que ese conjunto se agregó a V.

Es demostrable que un conjunto está en V si y sólo si el conjunto es puro y está bien fundado ; y demostrable que V satisface todos los axiomas de ZFC, si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas. Por ejemplo, suponga que se agrega un conjunto x en la etapa α, lo que significa que cada elemento de x se agregó en una etapa anterior a α. Luego, cada subconjunto de x también se agrega en la etapa α, porque todos los elementos de cualquier subconjunto de x también se agregaron antes de la etapa α. Esto significa que cualquier subconjunto de x que pueda construir el axioma de separación se agrega en la etapa α, y que el conjunto de potencias de x se agregará en la siguiente etapa después de α. Para un argumento completo de que V satisface ZFC, consulte Shoenfield (1977) .

La imagen del universo de conjuntos estratificados en la jerarquía acumulativa es característica de ZFC y teorías de conjuntos axiomáticas relacionadas como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (a menudo llamada NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . La jerarquía acumulativa no es compatible con otras teorías de conjuntos como New Foundations .

Es posible cambiar la definición de V para que en cada etapa, en lugar de agregar todos los subconjuntos de la unión de las etapas anteriores, solo se agreguen subconjuntos si son definibles en cierto sentido. Esto da como resultado una jerarquía más "estrecha" que da al universo construible L , que también satisface todos los axiomas de ZFC, incluido el axioma de elección. Es independiente de los axiomas ZFC si V  =  L . Aunque la estructura de L es más regular y se comporta bien que la de  V , pocos matemáticos argumentan que  VL debería agregarse a ZFC como un " axioma de constructibilidad " adicional .

Metamatemáticas

Clases virtuales

Como se señaló anteriormente, las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros que son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente en ZF (y por lo tanto ZFC). Una alternativa a las clases adecuadas mientras permanece dentro de ZF y ZFC es la construcción de notación de clase virtual introducida por Quine (1969) , donde la construcción completa y ∈ { x | F x } se define simplemente como F y . Esto proporciona una notación simple para las clases que pueden contener conjuntos pero que no necesitan ser conjuntos, sin comprometerse con la ontología de clases (porque la notación se puede convertir sintácticamente a una que solo use conjuntos). El enfoque de Quine se basó en el enfoque anterior de Bernays y Fraenkel (1958) . Las clases virtuales también se utilizan en Levy (2002) , Takeuti & Zaring (1982) y en la implementación de Metamath de ZFC.

Teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel

Los esquemas de axioma de sustitución y separación contienen cada uno infinitos casos. Montague (1961) incluyó un resultado probado por primera vez en su Ph.D. de 1957. tesis: si ZFC es consistente, es imposible axiomatizar ZFC usando solo un número finito de axiomas. Por otro lado, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) se puede axiomatizar de forma finita. La ontología de NBG incluye clases y conjuntos adecuados ; un conjunto es cualquier clase que puede ser miembro de otra clase. NBG y ZFC son teorías de conjuntos equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que no mencione clases y sea demostrable en una teoría puede probarse en la otra.

Consistencia

El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que un sistema recursivamente axiomatizable que puede interpretar la aritmética de Robinson puede probar su propia consistencia solo si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson se puede interpretar en la teoría de conjuntos general , un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no se puede probar dentro de la propia ZFC (a menos que sea realmente inconsistente). Por lo tanto, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no se puede demostrar en las matemáticas ordinarias. La consistencia de ZFC se deriva de la existencia de un cardenal débilmente inaccesible , que no se puede probar en ZFC si ZFC es consistente. Sin embargo, se considera poco probable que ZFC albergue una contradicción insospechada; Se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Lo cierto es que - ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos ingenua : la paradoja de Russell , la paradoja Burali-Forti , y la paradoja de Cantor .

Abian y LaMacchia (1978) estudiaron una subteoría de ZFC que consta de los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto de poderes, reemplazo y elección. Usando modelos , demostraron que esta subteoría era consistente y demostraron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto de poder es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se aumenta con el axioma del infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Debido a que existen modelos no bien fundamentados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los otros axiomas de ZFC.

Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardenales inaccesibles que requiere la teoría de categorías . Son posibles conjuntos enormes de esta naturaleza si ZF se aumenta con el axioma de Tarski . Suponiendo que el axioma convierte los axiomas de infinito , conjunto de potencias y elección ( 7  -  9 arriba) en teoremas.

Independencia

Muchas declaraciones importantes son independientes de ZFC (consulte la lista de declaraciones independientes de ZFC ). La independencia generalmente se prueba forzando , mediante lo cual se muestra que cada modelo transitivo contable de ZFC (a veces aumentado con axiomas cardinales grandes ) puede expandirse para satisfacer el enunciado en cuestión. Luego se muestra una expansión diferente para satisfacer la negación del enunciado. Una prueba de independencia forzando automáticamente prueba la independencia de enunciados aritméticos, otros enunciados concretos y grandes axiomas cardinales. Se puede demostrar que algunas afirmaciones independientes de ZFC se mantienen en modelos internos particulares , como en el universo construible . Sin embargo, algunas afirmaciones que son verdaderas sobre conjuntos construibles no son consistentes con los grandes axiomas cardinales hipotéticos.

Forzar prueba que las siguientes declaraciones son independientes de ZFC:

Observaciones:

  • La consistencia de V = L se puede demostrar mediante modelos internos, pero no forzando: cada modelo de ZF puede recortarse para convertirse en un modelo de ZFC + V = L.
  • El principio del diamante implica la hipótesis del continuo y la negación de la hipótesis de Suslin.
  • El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
  • El universo construible satisface la Hipótesis del Continuo Generalizado , el Principio del Diamante, el Axioma de Martin y la Hipótesis de Kurepa.
  • El fracaso de la hipótesis de Kurepa es equivalente a la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible .

También se puede utilizar una variación del método de forzar para demostrar la coherencia y la imposibilidad de demostrar el axioma de elección , es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La consistencia de la elección puede verificarse (relativamente) fácilmente al demostrar que el modelo interno L satisface la elección. (Por tanto, cada modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC, de modo que Con (ZF) implica Con (ZFC)). Dado que forzar conserva la elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga la elección a partir de un modelo que satisfaga la elección. Sin embargo, podemos usar forcing para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Otro método para probar los resultados de la independencia, uno que no se debe en nada al forzamiento, se basa en el segundo teorema de incompletitud de Gödel . Este enfoque emplea el enunciado cuya independencia se está examinando, para probar la existencia de un modelo de conjunto de ZFC, en cuyo caso Con (ZFC) es verdadero. Dado que ZFC satisface las condiciones del segundo teorema de Gödel, la consistencia de ZFC no se puede demostrar en ZFC (siempre que ZFC sea, de hecho, consistente). Por lo tanto, ninguna declaración que permita tal prueba puede probarse en ZFC. Este método puede probar que la existencia de grandes cardenales no se puede demostrar en ZFC, pero no puede probar que asumir tales cardenales, dado ZFC, está libre de contradicciones.

Adiciones propuestas

El proyecto para unificar a los teóricos de conjuntos detrás de axiomas adicionales para resolver la Hipótesis del Continuum u otras ambigüedades metamatemáticas se conoce a veces como "programa de Gödel". En la actualidad, los matemáticos debaten qué axiomas son los más plausibles o "evidentes por sí mismos", qué axiomas son los más útiles en varios dominios y hasta qué punto la utilidad debe intercambiarse con la plausibilidad; algunos teóricos de conjuntos del " multiverso " argumentan que la utilidad debería ser el único criterio último en el que los axiomas adoptar habitualmente. Una escuela de pensamiento se apoya en expandir el concepto "iterativo" de un conjunto para producir un universo de teoría de conjuntos con una estructura interesante y compleja pero razonablemente manejable mediante la adopción de axiomas forzosos; otra escuela aboga por un universo más ordenado y menos desordenado, quizás centrado en un modelo interno "central".

Criticas

Para la crítica de la teoría de conjuntos en general, consulte Objeciones a la teoría de conjuntos.

ZFC ha sido criticado tanto por ser excesivamente fuerte como por ser excesivamente débil, así como por no capturar objetos como las clases adecuadas y el conjunto universal .

Muchos teoremas matemáticos se pueden probar en sistemas mucho más débiles que ZFC, como la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden (como se explora en el programa de matemáticas inversas ). Saunders Mac Lane y Solomon Feferman han señalado este punto. Algunas de las "matemáticas convencionales" (matemáticas que no están directamente conectadas con la teoría de conjuntos axiomáticos) están más allá de la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden, pero aún así, todas estas matemáticas se pueden llevar a cabo en ZC ( teoría de conjuntos de Zermelo con elección), otra teoría más débil que ZFC. Gran parte del poder de ZFC, incluido el axioma de regularidad y el esquema de axioma de reemplazo, se incluye principalmente para facilitar el estudio de la propia teoría de conjuntos.

Por otro lado, entre las teorías de conjuntos axiomáticos , ZFC es comparativamente débil. A diferencia de New Foundations , ZFC no admite la existencia de un conjunto universal. Por tanto, el universo de conjuntos bajo ZFC no está cerrado bajo las operaciones elementales del álgebra de conjuntos . A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), ZFC no admite la existencia de clases adecuadas . Otra debilidad comparativa de ZFC es que el axioma de elección incluido en ZFC es más débil que el axioma de elección global incluido en NBG y MK.

Existen numerosos enunciados matemáticos independientes de ZFC . Estos incluyen la hipótesis del continuo , el problema de Whitehead y la conjetura del espacio de Moore normal . Algunas de estas conjeturas se pueden demostrar con la adición de axiomas como el axioma de Martin o axiomas cardinales grandes a ZFC. Algunos otros se deciden en ZF + AD, donde AD es el axioma de determinación , una fuerte suposición incompatible con la elección. Un atractivo de los axiomas cardinales grandes es que permiten establecer muchos resultados de ZF + AD en ZFC junto con algún axioma cardinal grande (ver determinación proyectiva ). El sistema Mizar y Metamath han adoptado la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , una extensión de ZFC, de modo que las demostraciones que involucran los universos de Grothendieck (que se encuentran en la teoría de categorías y la geometría algebraica) se pueden formalizar.

Ver también

Teorías de conjuntos axiomáticos relacionados :

Notas

Trabajos citados

enlaces externos