Axioma de limitación de tamaño - Axiom of limitation of size

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John von Neumann

En la teoría de conjuntos , el axioma de limitación de tamaño fue propuesto por John von Neumann en su sistema de axiomas de 1925 para conjuntos y clases . Formaliza el principio de limitación de tamaño , que evita las paradojas encontradas en formulaciones anteriores de la teoría de conjuntos al reconocer que algunas clases son demasiado grandes para ser conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas se producen al permitir que estas grandes clases sean miembros de una clase. Una clase que es miembro de una clase es un conjunto; una clase que no es un conjunto es una clase propiamente dicha . Cada clase es una subclase de V , la clase de todos los conjuntos. El axioma de limitación de tamaño dice que una clase es un conjunto si y sólo si es menor que V , esto es, no hay correlación de funciones que en V . Por lo general, este axioma se afirma en el equivalente formulario: Una clase es una clase apropiada si y sólo si existe una función que mapea en V .

El axioma de Von Neumann implica los axiomas de reemplazo , separación , unión y elección global . Es equivalente a la combinación de reemplazo, unión y elección global en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Las exposiciones posteriores de las teorías de clase, como las de Paul Bernays , Kurt Gödel y John L. Kelley, utilizan el axioma de sustitución, unión y elección equivalente a la elección global en lugar del axioma de von Neumann. En 1930, Ernst Zermelo definió modelos de teoría de conjuntos que satisfacían el axioma de limitación de tamaño.

Abraham Fraenkel y Azriel Lévy han declarado que el axioma de limitación de tamaño no captura toda la "doctrina de limitación de tamaño" porque no implica el axioma del conjunto de poder . Michael Hallett ha argumentado que la doctrina de la limitación del tamaño no justifica el axioma del conjunto de poder y que "la suposición explícita de von Neumann [de la pequeñez de los conjuntos de poder] parece preferible a la suposición implícita oscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel y Lévy de la pequeñez de conjuntos de poder ".

Declaración formal

La versión habitual del axioma de limitación de tamaño (una clase es una clase adecuada si y solo si hay una función que la asigna a V) se expresa en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos como:

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas abarcan todas las clases, mientras que las variables en minúsculas abarcan todos los conjuntos. Esta convención nos permite escribir:

Con la convención de Gödel, el axioma de limitación de tamaño se puede escribir:

Implicaciones del axioma

Von Neumann demostró que el axioma de limitación de tamaño implica el axioma de reemplazo , que se puede expresar como: Si F es una función y A es un conjunto, entonces F ( A ) es un conjunto. Esto se prueba por contradicción . Sea F una función y A un conjunto. Suponga que F ( A ) es una clase adecuada. Entonces hay una función G que mapea F ( A ) en V . Dado que la función compuesta G  ∘  F mapea A sobre V , el axioma de limitación de tamaño implica que A es una clase propia, lo que contradice que A sea ​​un conjunto. Por tanto, F ( A ) es un conjunto. Dado que el axioma de reemplazo implica el axioma de separación , el axioma de limitación de tamaño implica el axioma de separación .

Von Neumann también demostró que su axioma implica que V puede estar bien ordenado . La prueba comienza probando por contradicción que Ord , la clase de todos los ordinales , es una clase adecuada. Suponga que Ord es un conjunto. Dado que es un conjunto transitivo que está bien ordenado por ∈, es un ordinal. Entonces Ord  ∈  Ord , lo que contradice que Ord esté bien ordenado por ∈. Por lo tanto, Ord es una clase adecuada. Así axioma de Von Neumann implica que existe una función F que asigna Ord en V . Para definir un buen ordenamiento de V , sea G la subclase de F que consta de los pares ordenados (α,  x ) donde α es el menor β tal que (β,  x ) ∈  F ; es decir, G  = {(α,  x ) ∈  F : ∀β ((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. La función G es una correspondencia uno-a-uno entre un subconjunto de Ord y V . Por lo tanto, x  <  y si G -1 (x) <  G -1 (y) define una buena ordenación de V . Este buen ordenamiento define una función de elección global : Sea Inf ( x ) el elemento mínimo de un conjunto no vacío x . Dado que Inf ( x ) ∈  x , esta función elige un elemento de x para cada conjunto x no vacío . Por lo tanto, Inf ( x ) es una función de elección global, por lo que el axioma de Von Neumann implica el axioma de elección global .

En 1968, Azriel Lévy demostró que el axioma de von Neumann implica el axioma de unión . Primero, demostró sin usar el axioma de unión que todo conjunto de ordinales tiene un límite superior. Luego usó una función que mapea Ord en V para probar que si A es un conjunto, entonces ∪ A es un conjunto.

Los axiomas de reemplazo, elección global y unión (con los otros axiomas de NBG ) implican el axioma de limitación de tamaño. Por lo tanto, este axioma es equivalente a la combinación de reemplazo, elección global y unión en la teoría de conjuntos de NBG o Morse-Kelley . Estas teorías de conjuntos solo sustituyeron el axioma de reemplazo y una forma del axioma de elección por el axioma de limitación de tamaño porque el sistema de axiomas de von Neumann contiene el axioma de unión. La prueba de Lévy de que este axioma es redundante llegó muchos años después.

Los axiomas de NBG con el axioma de elección global reemplazado por el axioma habitual de elección no implican el axioma de limitación de tamaño. En 1964, William B. Easton utilizó la fuerza para construir un modelo de NBG con la elección global reemplazada por el axioma de la elección. En el modelo de Easton, V no se puede ordenar linealmente , por lo que no se puede ordenar bien. Por tanto, el axioma de limitación de tamaño falla en este modelo. Ord es un ejemplo de una clase adecuada que no se puede mapear en V porque (como se demostró anteriormente) si hay una función que mapea Ord en V , entonces V puede estar bien ordenado.

Los axiomas de NBG con el axioma de reemplazo reemplazado por el axioma más débil de separación no implican el axioma de limitación de tamaño. Defina como el -ésimo ordinal inicial infinito , que también es el cardinal ; la numeración comienza en, por lo que En 1939, Gödel señaló que L ω ω , un subconjunto del universo construible , es un modelo de ZFC con reemplazo reemplazado por separación. Para expandirlo en un modelo de NBG con reemplazo reemplazado por separación, sean sus clases los conjuntos de L ω ω + 1 , que son los subconjuntos construibles de L ω ω . Este modelo satisface los axiomas de existencia de clase de NBG porque restringir el conjunto de variables de estos axiomas a L ω ω produce instancias del axioma de separación, que se cumple en L. Satisface el axioma de elección global porque hay una función que pertenece a L ω ω + 1 que mapea ω ω sobre L ω ω , lo que implica que L ω ω está bien ordenado. El axioma de limitación de tamaño falla porque la clase adecuada {ω n  :  n  ∈ ω} tiene cardinalidad , por lo que no se puede asignar a L ω ω , que tiene cardinalidad .

En una carta de 1923 hasta Zermelo, von Neumann declaró la primera versión de su axioma: Clase A es una clase apropiada si y sólo si existe una correspondencia uno a uno entre él y V . El axioma de limitación de tamaño implica el axioma de 1923 de von Neumann. Por lo tanto, también implica que todas las clases apropiadas son equinumerous con V .

Prueba de que el axioma de limitación de tamaño implica el axioma de von Neumann de 1923  :

Para probar la dirección, sea ​​una clase y sea ​​una correspondencia uno a uno de a Dado que los mapas sobre el axioma de limitación de tamaño implica que es una clase adecuada.

Para probar la dirección, sea ​​una clase adecuada. Vamos a definir clases bien ordenadas y y construcción de isomorfismos de orden entre y A continuación, el isomorfismo fin de que una correspondencia uno-a-uno entre y

Se demostró anteriormente que el axioma de limitación de tamaño implica que hay una función que mapea en Además, se definió como una subclase de que es una correspondencia de uno a uno entre y Define una buena ordenación en si Por lo tanto, se un isomorfismo de orden de a

Si es una clase bien ordenada, sus segmentos iniciales adecuados son las clases donde Now tiene la propiedad de que todos sus segmentos iniciales adecuados son conjuntos. Dado que esta propiedad se cumple para El isomorfismo de orden implica que esta propiedad se cumple para Dado que esta propiedad se cumple para

Para obtener un isomorfismo de orden desde hasta se utiliza el siguiente teorema: Si es una clase propia y los segmentos iniciales propios de son conjuntos, entonces hay un isomorfismo de orden desde a Dado que y satisface la hipótesis del teorema, existen isomorfismos de orden y Por lo tanto, el isomorfismo de orden es una correspondencia biunívoca entre y

Los modelos de Zermelo y el axioma de limitación de tamaño

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Ernst Zermelo en la década de 1900

En 1930, Zermelo publicó un artículo sobre modelos de teoría de conjuntos, en el que demostró que algunos de sus modelos satisfacen el axioma de limitación de tamaño. Estos modelos se construyen en ZFC utilizando la jerarquía acumulativa V α , que se define por recursividad transfinita :

  1. V 0  =  .
  2. V α + 1  =  V α  ∪  P ( V α ). Es decir, la unión de V α y su conjunto de potencias .
  3. Para el límite β: V β  = ∪ α <β  V α . Es decir, V β es la unión del V α anterior .

Zermelo trabajó con modelos de la forma V κ donde κ es un cardenal . Las clases del modelo son los subconjuntos de V κ , y la relación ∈ del modelo es la relación ∈ estándar. Los conjuntos del modelo son las clases X tales que XV κ . Zermelo identificó los cardenales κ de modo que V κ satisface:

Teorema 1. Una clase X es un conjunto si y solo si | X | <κ.
Teorema 2. | V κ | = κ.

Dado que cada clase es un subconjunto de V κ , el teorema 2 implica que cada clase X tiene cardinalidad  ≤ κ. La combinación de esto con el Teorema 1 demuestra: toda clase propia tiene cardinalidad κ. Por tanto, cada clase propiamente dicha se puede poner en correspondencia biunívoca con V κ . Esta correspondencia es un subconjunto de V κ , por lo que es una clase del modelo. Por lo tanto, el axioma de limitación de tamaño es válido para el modelo V κ .

El teorema que establece que V κ tiene un buen orden se puede demostrar directamente . Dado que κ es un ordinal de cardinalidad κ y | V κ | = κ, existe una correspondencia biunívoca entre κ y V κ . Esta correspondencia produce un buen ordenamiento de V κ . La demostración de Von Neumann es indirecta . Utiliza la paradoja de Burali-Forti para probar por contradicción que la clase de todos los ordinales es una clase adecuada. Por tanto, el axioma de limitación de tamaño implica que existe una función que mapea la clase de todos los ordinales en la clase de todos los conjuntos. Esta función produce un buen ordenamiento de V κ .

El modelo V ω

Para demostrar que los teoremas 1 y 2 son válidos para algunos V κ , primero probamos que si un conjunto pertenece a V α, entonces pertenece a todos los V β posteriores , o de manera equivalente: V α  ⊆  V β para α ≤ β. Esto se demuestra por inducción transfinita en β:

  1. β = 0: V 0  ⊆  V 0 .
  2. Para β + 1: Por hipótesis inductiva, V α  ⊆  V β . Por lo tanto, V α  ⊆  V β  ⊆  V β  ∪  P ( V β ) =  V β + 1 .
  3. Para el límite β: Si α <β, entonces V α  ⊆ ∪ ξ <β  V ξ  =  V β . Si α = β, entonces V α  ⊆  V β .

Los conjuntos entran en la jerarquía acumulativa a través del conjunto de potencia P ( V β ) en el paso β + 1. Se necesitarán las siguientes definiciones:

Si x es un conjunto, el rango ( x ) es el menos ordinal β tal que x  ∈  V β + 1 .
El supremo de un conjunto de ordinales A, denotado por sup A, es el menos ordinal β tal que α ≤ β para todo α ∈ A.

El modelo más pequeño de Zermelo es V ω . La inducción matemática demuestra que V n es finito para todo n  <ω:

  1. | V 0 | = 0.
  2. | V n +1 | = | V n  ∪  P ( V n ) | ≤ | V n | + 2  | V n | , que es finito ya que V n es finito por hipótesis inductiva.

Prueba del teorema 1: Un conjunto X entra V ω a través de P ( V n ) para algún n  <ω, entonces X  ⊆  V n . Dado que V n es finito, X es finito. A la inversa : si una clase X es finita, sea N  = sup {rango ( x ):  x  ∈  X }. Dado que el rango ( x ) ≤  N para todo x  ∈  X , tenemos X  ⊆  V N +1 , entonces X  ∈  V N +2  ⊆  V ω . Por lo tanto, X  ∈  V ω .

Demostración del teorema 2: V ω es la unión de un número infinito de conjuntos finitos de tamaño creciente. Por lo tanto, tiene cardinalidad , que es igual a ω por asignación cardinal de von Neumann .

Los conjuntos y clases de V ω satisfacen todos los axiomas de NBG excepto el axioma de infinito .

Los modelos V κ donde κ es un cardenal fuertemente inaccesible

Se utilizaron dos propiedades de finitud para demostrar los Teoremas 1 y 2 para V ω :

  1. Si λ es un cardinal finito, entonces 2 λ es finito.
  2. Si A es un conjunto de ordinales tales que | A | es finito y α es finito para todo α ∈  A , entonces sup  A es finito.

Para encontrar modelos que satisfagan el axioma de infinito, reemplace "finito" por "<κ" para producir las propiedades que definen a los cardenales fuertemente inaccesibles . Un cardinal κ es muy inaccesible si κ> ω y:

  1. Si λ es un cardinal tal que λ <κ, entonces 2 λ  <κ.
  2. Si A es un conjunto de ordinales tales que | A | <κ, y α <κ para todo α ∈  A , entonces sup  A  <κ.

Estas propiedades afirman que κ no se puede alcanzar desde abajo. La primera propiedad dice que κ no puede alcanzarse mediante conjuntos de potencias; el segundo dice que κ no puede alcanzarse mediante el axioma de reemplazo. Así como se requiere el axioma de infinito para obtener ω, se necesita un axioma para obtener cardenales fuertemente inaccesibles. Zermelo postuló la existencia de una secuencia ilimitada de cardenales fuertemente inaccesibles.

Si κ es un cardenal fuertemente inaccesible, entonces la inducción transfinita demuestra | V α | <κ para todo α <κ:

  1. α = 0: | V 0 | = 0.
  2. Para α + 1: | V α + 1 | = | V α  ∪  P ( V α ) | ≤ | V α | + 2  | V α |  = 2  | V α |  <κ. La última desigualdad usa hipótesis inductivas y κ es fuertemente inaccesible.
  3. Para el límite α: | V α | = | ∪ ξ <α  V ξ | ≤ sup {| V ξ | : ξ <α} <κ. La última desigualdad usa hipótesis inductivas y κ es fuertemente inaccesible.

Prueba del teorema 1: Un conjunto X ingresa V κ a P ( V α ) para algún α <κ, por lo que X  ⊆  V α . Desde | V α | <κ, obtenemos | X | <κ. A la inversa: si una clase X tiene | X | <κ, sea β = sup {rango ( x ):  x  ∈  X }. Dado que κ es muy inaccesible, | X | <κ y rango ( x ) <κ para todo x  ∈  X implican β = sup {rango ( x ):  x  ∈  X } <κ. Dado que el rango ( x ) ≤ β para todo x  ∈  X , tenemos X  ⊆  V β + 1 , entonces X  ∈  V β + 2  ⊆  V κ . Por lo tanto, X  ∈  V κ .

Prueba del teorema 2: | V κ | = | ∪ α <κ  V α | ≤ sup {| V α | : α <κ}. Sea β este supremo. Dado que cada ordinal en el supremum es menor que κ, tenemos β ≤ κ. Suponga que β <κ. Entonces hay un cardinal λ tal que β <λ <κ; por ejemplo, sea λ = 2 | β | . Dado que λ ⊆ V λ y | V λ | está en el supremo, tenemos λ ≤ | V λ | ≤ β. Esto contradice β <λ. Por tanto, | V κ | = β = κ.

Los conjuntos y clases de V κ satisfacen todos los axiomas de NBG.

Limitación de la doctrina del tamaño

La doctrina de la limitación del tamaño es un principio heurístico que se utiliza para justificar los axiomas de la teoría de conjuntos. Evita las paradojas teóricas establecidas al restringir el esquema del axioma de comprensión completo (contradictorio):

a instancias "que no dan conjuntos 'mucho más grandes' que los que usan".

Si "más grande" significa "más grande en tamaño cardinal", entonces la mayoría de los axiomas pueden justificarse: el axioma de separación produce un subconjunto de x que no es más grande que x . El axioma de reemplazo produce un conjunto de imágenes f ( x ) que no es mayor que x . El axioma de unión produce una unión cuyo tamaño no es mayor que el tamaño del conjunto más grande de la unión multiplicado por el número de conjuntos de la unión. El axioma de elección produce un conjunto de elección cuyo tamaño no es mayor que el tamaño del conjunto dado de conjuntos no vacíos.

La doctrina de la limitación del tamaño no justifica el axioma del infinito:

que usa el conjunto vacío y los conjuntos obtenidos del conjunto vacío iterando la operación sucesora ordinal . Dado que estos conjuntos son finitos, cualquier conjunto que satisfaga este axioma, como ω, es mucho más grande que estos conjuntos. Fraenkel y Lévy consideran el conjunto vacío y el conjunto infinito de números naturales , cuya existencia está implícita en los axiomas del infinito y la separación, como el punto de partida de los conjuntos generadores.

El enfoque de Von Neumann para la limitación de tamaño utiliza el axioma de limitación de tamaño. Como se menciona en § Implicaciones del axioma , el axioma de von Neumann implica los axiomas de separación, reemplazo, unión y elección. Como Fraenkel y Lévy, von Neumann tuvo que agregar el axioma del infinito a su sistema, ya que no se puede probar a partir de sus otros axiomas. Las diferencias entre el enfoque de von Neumann sobre la limitación de tamaño y el enfoque de Fraenkel y Lévy son:

  • El axioma de Von Neumann coloca la limitación de tamaño en un sistema de axiomas, lo que hace posible probar la mayoría de los axiomas de existencia establecidos. La doctrina de la limitación del tamaño justifica los axiomas utilizando argumentos informales que están más abiertos al desacuerdo que a la prueba.
  • Von Neumann asumió el axioma del conjunto de potencias ya que no se puede probar a partir de sus otros axiomas. Fraenkel y Lévy afirman que la doctrina de la limitación del tamaño justifica el axioma del conjunto de poder.

Existe un desacuerdo sobre si la doctrina de la limitación del tamaño justifica el axioma del conjunto de poder. Michael Hallett ha analizado los argumentos de Fraenkel y Lévy. Algunos de sus argumentos miden el tamaño por criterios distintos al tamaño cardinal; por ejemplo, Fraenkel introduce "amplitud" y "extensibilidad". Hallett señala lo que él considera fallas en sus argumentos.

Hallett luego argumenta que los resultados en la teoría de conjuntos parecen implicar que no existe un vínculo entre el tamaño de un conjunto infinito y el tamaño de su conjunto de potencias. Esto implicaría que la doctrina de la limitación del tamaño es incapaz de justificar el axioma del conjunto de potencias porque requiere que el conjunto de potencias de x no sea "mucho mayor" que x . Para el caso en el que el tamaño se mide por el tamaño cardinal, Hallett menciona el trabajo de Paul Cohen . Partiendo de un modelo de ZFC y , Cohen construyó un modelo en el que la cardinalidad del conjunto de potencias de ω es si la cofinalidad de no es ω; de lo contrario, su cardinalidad es . Dado que la cardinalidad del conjunto de potencias de ω no tiene límite, no existe un vínculo entre el tamaño cardinal de ω y el tamaño cardinal de P (ω).

Hallett también analiza el caso en el que el tamaño se mide por "exhaustividad", que considera una colección "demasiado grande" si es de "comprensión ilimitada" o "extensión ilimitada". Señala que para un conjunto infinito, no podemos estar seguros de tener todos sus subconjuntos sin pasar por la extensión ilimitada del universo. También cita a John L. Bell y Moshé Machover : "... el conjunto de poder P ( u ) de un conjunto [infinito] dado u es proporcional no solo al tamaño de u sino también a la 'riqueza' del universo entero ... "Después de hacer estas observaciones, Hallett afirma:" Uno llega a sospechar que simplemente no existe un vínculo entre el tamaño (amplitud) de un infinito a y el tamaño de P ( a ) ".

Hallett considera que la doctrina de la limitación del tamaño es valiosa para justificar la mayoría de los axiomas de la teoría de conjuntos. Sus argumentos solo indican que no puede justificar los axiomas de infinito y conjunto de poder. Concluye que "la suposición explícita de von Neumann [de la pequeñez de los conjuntos de poder] parece preferible a la suposición implícita oscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel y Lévy de la pequeñez de los conjuntos de poder".

Historia

Von Neumann desarrolló el axioma de limitación de tamaño como un nuevo método para identificar conjuntos. ZFC identifica conjuntos a través de sus axiomas de construcción de conjuntos. Sin embargo, como señaló Abraham Fraenkel : "El carácter bastante arbitrario de los procesos que se eligen en los axiomas de Z [ZFC] como base de la teoría, está justificado por el desarrollo histórico de la teoría de conjuntos más que por argumentos lógicos. "

El desarrollo histórico de los axiomas ZFC comenzó en 1908 cuando Zermelo eligió axiomas para eliminar las paradojas y apoyar su demostración del teorema del buen orden . En 1922, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z 0Z 1Z 2 , ...} donde Z 0 es el conjunto de números naturales y Z n +1 es el conjunto de potencia de Z n . También introdujeron el axioma de reemplazo, que garantiza la existencia de este conjunto. Sin embargo, agregar axiomas a medida que son necesarios no garantiza la existencia de todos los conjuntos razonables ni aclara la diferencia entre conjuntos que son seguros de usar y colecciones que conducen a contradicciones.

En una carta de 1923 a Zermelo, von Neumann esbozó un enfoque de la teoría de conjuntos que identifica conjuntos que son "demasiado grandes" y pueden conducir a contradicciones. Von Neumann identificó estos conjuntos utilizando el criterio: "Un conjunto es 'demasiado grande' si y sólo si es equivalente al conjunto de todas las cosas". Luego restringió cómo se pueden usar estos conjuntos: "... para evitar las paradojas, los [conjuntos] que son 'demasiado grandes' se declaran no permitidos como elementos ". Mediante la combinación de esta restricción con su criterio, von Neumann obtuvo su primera versión del axioma de limitación de tamaño, que en el lenguaje de las clases de estados: la clase A es una clase adecuada si y sólo si es equinumerous con V . Hacia 1925, Von Neumann modificó su axioma cambiando "es equinumero con V " por "se puede mapear en V ", lo que produce el axioma de limitación de tamaño. Esta modificación permitió a von Neumann dar una prueba simple del axioma de reemplazo. Identifica conjuntos de axiomas de von Neumann como las clases que no se pueden asignar a V . Von Neumann se dio cuenta de que, incluso con este axioma, su teoría de conjuntos no los caracteriza por completo.

Gödel encontró que el axioma de von Neumann era "de gran interés":

"En particular, creo que su condición necesaria y suficiente [de von Neumann] que una propiedad debe satisfacer, para definir un conjunto, es de gran interés, porque aclara la relación de la teoría axiomática de conjuntos con las paradojas. Que esta condición realmente llega a la esencia de las cosas se ve por el hecho de que implica el axioma de la elección, que antiguamente estaba bastante apartado de otros principios existenciales. para mí, no solo muy elegante, sino también muy interesante desde el punto de vista lógico. Además, creo que solo yendo más allá en esta dirección, es decir, en la dirección opuesta al constructivismo , se resolverán los problemas básicos de la teoría abstracta de conjuntos. . "

Notas

Referencias

Bibliografía