Axioma de elección global - Axiom of global choice

En matemáticas , específicamente en las teorías de clases , el axioma de elección global es una variante más fuerte del axioma de elección que se aplica tanto a clases de conjuntos adecuadas como a conjuntos de conjuntos. Establece informalmente que uno puede elegir simultáneamente un elemento de cada conjunto no vacío .

Declaración

El axioma de elección global establece que existe una función de elección global τ, es decir, una función tal que para cada conjunto z no vacío , τ ( z ) es un elemento de z .

El axioma de elección global no se puede establecer directamente en el lenguaje de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel con el axioma de elección), ya que la función de elección τ es una clase propia y en ZFC no se pueden cuantificar las clases. Puede establecerse agregando un nuevo símbolo de función τ al lenguaje de ZFC, con la propiedad de que τ es una función de elección global. Esta es una extensión conservadora de ZFC: cada declaración demostrable de esta teoría extendida que se puede enunciar en el lenguaje de ZFC ya es demostrable en ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.72). Alternativamente, Gödel mostró que dado el axioma de constructibilidad uno puede escribir una función de elección explícita (aunque algo complicada) τ en el lenguaje de ZFC, por lo que en cierto sentido el axioma de constructibilidad implica elección global (de hecho, (ZFC prueba que) en el lenguaje extendido por el símbolo de función unaria τ, el axioma de constructibilidad implica que si τ se dice función explícitamente definible, entonces esta τ es una función de elección global. Y entonces la elección global es moralmente válida, con τ como testigo ).

En el lenguaje de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , el axioma de elección global se puede enunciar directamente ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.133), y es equivalente a varias otras declaraciones:

En la teoría de conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel, la elección global no agrega ninguna consecuencia sobre los conjuntos (no las clases propias) más allá de lo que podría haberse deducido del axioma ordinario de elección.

La elección global es una consecuencia del axioma de limitación de tamaño .

Referencias

  • Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1973), Fundamentos de la teoría de conjuntos , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 67 (Segunda edición revisada), Amsterdam-Londres: North-Holland Publishing Co., ISBN   978-0720422702 , MR   0345816
  • Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN   3-540-44085-2 .
  • John L. Kelley ; Topología general ; ISBN   0-387-90125-6