Extensión conservadora - Conservative extension

En lógica matemática , una extensión conservadora es una superteoría de una teoría que a menudo es conveniente para probar teoremas , pero no prueba nuevos teoremas sobre el lenguaje de la teoría original. De manera similar, una extensión no conservadora es una superteoría que no es conservadora y puede probar más teoremas que la original.

Enunciado de manera más formal, una teoría es una extensión conservadora ( teoría de la demostración ) de una teoría si cada teorema de es un teorema de , y cualquier teorema de en el lenguaje de ya es un teorema de . ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$

De manera más general, si es un conjunto de fórmulas en el lenguaje común de y , entonces es -conservador sobre si cada fórmula de demostrable en también se puede demostrar en . ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$

Tenga en cuenta que una extensión conservadora de un consistente teoría es consistente. Si no fuera así, entonces por el principio de explosión , cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que no sería consistente. Por lo tanto, las extensiones conservadoras no corren el riesgo de introducir nuevas inconsistencias. Esto también puede ser visto como una metodología para la escritura y la estructuración de grandes teorías: empezar con una teoría, que se conoce (o se supone) para ser coherente, y sucesivamente crear extensiones conservadoras , , ... de la misma. ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {0}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$

Recientemente, se han utilizado extensiones conservadoras para definir una noción de módulo para ontologías : si una ontología se formaliza como una teoría lógica, una subteoría es un módulo si toda la ontología es una extensión conservadora de la subteoría.

Una extensión que no es conservadora puede denominarse extensión adecuada .

Ejemplos de

ACA ₀ (un subsistema de aritmética de segundo orden ) es una extensión conservadora de la aritmética de Peano de primer orden .
La teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel con el axioma de elección (ZFC).
La teoría de conjuntos internos es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC).
Las extensiones por definiciones son conservadoras.
Las extensiones mediante símbolos de función o predicado no restringidos son conservadoras.
IΣ ₁ (un subsistema de la aritmética de Peano con inducción solo para fórmulas de Σ ⁰₁ ) es una extensión conservadora de Π ⁰₂ de la aritmética recursiva primitiva (PRA).
ZFC es un Σ ¹₃ extensión -conservative de ZF por teorema absoluto de Shoenfield .
ZFC con la hipótesis del continuo es una extensión conservadora Π ²₁ de ZFC.

Extensión conservadora de la teoría de modelos

Con los medios de la teoría de modelos , se obtiene una noción más fuerte: una extensión de una teoría es teóricamente conservadora si cada modelo de puede expandirse a un modelo de . Cada extensión conservadora de la teoría del modelo también es una extensión conservadora (de la teoría de la prueba) en el sentido anterior. La noción de la teoría del modelo tiene la ventaja sobre la teoría de la demostración de que no depende tanto del lenguaje en cuestión; por otro lado, suele ser más difícil establecer la conservadurismo de la teoría del modelo. ${\ Displaystyle T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {1} \ subseteq T_ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$