Teoría (lógica matemática) - Theory (mathematical logic)

En lógica matemática , una teoría (también llamada teoría formal ) es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal . En la mayoría de los escenarios, un sistema deductivo se entiende primero a partir del contexto, después de lo cual un elemento de una teoría se denomina teorema de la teoría. En muchos sistemas deductivos suele haber un subconjunto que se denomina "el conjunto de axiomas " de la teoría , en cuyo caso el sistema deductivo también se denomina " sistema axiomático ". Por definición, todo axioma es automáticamente un teorema. Una teoría de primer orden es un conjunto de${\ Displaystyle \ phi \ in T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ Sigma \ subconjunto T}$${\ Displaystyle T}$oraciones de primer orden (teoremas) obtenidas recursivamente por las reglas de inferencia del sistema aplicadas al conjunto de axiomas.

Teorías generales (expresadas en lenguaje formal)

Al definir teorías con fines fundamentales, se debe tener cuidado adicional ya que el lenguaje normal de teoría de conjuntos puede no ser apropiado.

La construcción de una teoría comienza especificando una clase conceptual definida no vacía , cuyos elementos se denominan enunciados . Estos enunciados iniciales a menudo se denominan elementos primitivos o enunciados elementales de la teoría, para distinguirlos de otros enunciados que pueden derivarse de ellos. ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Una teoría es una clase conceptual que consta de algunos de estos enunciados elementales. Los enunciados elementales que pertenecen a se denominan teoremas elementales de y se dice que son verdaderos . De esta manera, una teoría puede verse como una forma de designar un subconjunto del cual solo contienen enunciados que son verdaderos. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Esta forma general de designar una teoría estipula que la verdad de cualquiera de sus enunciados elementales no se conoce sin referencia a . Por tanto, el mismo enunciado elemental puede ser verdadero con respecto a una teoría pero falso con respecto a otra. Esto es una reminiscencia del caso en el lenguaje ordinario donde declaraciones como "Él es una persona honesta" no se pueden juzgar verdaderas o falsas sin interpretar quién es "él" y, en realidad, qué es una "persona honesta" según esta teoría. . ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Subteorías y extensiones

Una teoría es una subteoría de una teoría si es un subconjunto de . Si es un subconjunto de then se llama una extensión o una supertoría de${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Teorías deductivas

Se dice que una teoría es una teoría deductiva si es una clase inductiva . Es decir, que su contenido se basa en algún sistema deductivo formal y que algunos de sus enunciados elementales se toman como axiomas . En una teoría deductiva, cualquier oración que sea una consecuencia lógica de uno o más de los axiomas es también una oración de esa teoría. Más formalmente, si es una relación de consecuencia al estilo de Tarski , entonces está cerrada bajo (y por lo tanto cada uno de sus teoremas es una consecuencia lógica de sus axiomas) si y solo si, para todas las oraciones en el lenguaje de la teoría , si , entonces ; o, de manera equivalente, si es un subconjunto finito de (posiblemente el conjunto de axiomas de en el caso de teorías finitamente axiomatizables) y , entonces , y por lo tanto . ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle \ vdash}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle \ vdash}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ vdash \ phi}$${\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} '}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} '\ vdash \ phi}$${\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {T}} '}$${\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {T}}}$

Coherencia e integridad

Una teoría sintácticamente consistente es una teoría a partir de la cual no se pueden probar todas las oraciones en el lenguaje subyacente (con respecto a algún sistema deductivo que generalmente se desprende del contexto). En un sistema deductivo (como la lógica de primer orden) que satisface el principio de explosión , esto equivale a requerir que no haya una oración φ tal que tanto φ como su negación puedan probarse a partir de la teoría.

Una teoría satisfactoria es una teoría que tiene un modelo . Esto significa que hay una estructura M que satisface todas las frases de la teoría. Cualquier teoría satisfactoria es sintácticamente consistente, porque la estructura que satisface la teoría satisfará exactamente uno de φ y la negación de φ, para cada oración φ.

A veces, una teoría coherente se define como una teoría sintácticamente coherente y, a veces, se define como una teoría satisfactoria. Para la lógica de primer orden , el caso más importante, del teorema de completitud se deduce que los dos significados coinciden. En otras lógicas, como la lógica de segundo orden , hay teorías sintácticamente consistentes que no son satisfactorias, como las teorías ω-inconsistentes .

Una teoría consistente completa (o simplemente una teoría completa ) es una teoría consistente tal que para cada oración φ en su lenguaje, φ es demostrable a partir de o {φ} es inconsistente. Para las teorías cerradas bajo consecuencia lógica, esto significa que para cada oración φ, la teoría contiene φ o su negación. Una teoría incompleta es una teoría consistente que no está completa. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ Displaystyle \ cup}$

(ver también teoría ω-consistente para una noción más fuerte de consistencia).

Interpretación de una teoría

Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y algún tema cuando hay una correspondencia de varios a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un corresponsal, se denomina interpretación completa ; de lo contrario, se denomina interpretación parcial .

Teorías asociadas a una estructura

Cada estructura tiene varias teorías asociadas. La teoría completa de una estructura A es el conjunto de todos los de primer orden frases más de la firma de A que se satisface mediante una . Se denota por Th ( A ). De manera más general, la teoría de K , una clase de estructuras σ, es el conjunto de todas las oraciones σ de primer orden que son satisfechas por todas las estructuras en K , y se denota por Th ( K ). Claramente Th ( A ) = Th ({ A }). Estas nociones también se pueden definir con respecto a otras lógicas.

Para cada estructura σ A , hay varias teorías asociadas en una firma más grande σ' que se extiende σ mediante la adición de un nuevo símbolo constante para cada elemento del dominio de A . (Si los nuevos símbolos constantes se identifican con los elementos de A que representan, σ 'se pueden tomar para ser σ A.) La cardinalidad de σ' es, pues, el más grande de la cardinalidad de σ y la cardinalidad de A . ${\ Displaystyle \ cup}$

El diagrama de A se compone de todos atómicas σ'oraciones atómicas o negados que son satisfechas por A y se denota por diag _A . El diagrama positivo de A es el conjunto de todas las oraciones σ 'atómicas que A satisface. Se denota por diag ⁺ _A . El diagrama elemental de A es el conjunto eldiag _A de todas las oraciones σ ' de primer orden que son satisfechas por A o, de manera equivalente, la teoría completa (de primer orden) de la expansión natural de A a la firma σ'.

Teorías de primer orden

Una teoría de primer orden es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal de primer orden . ${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Derivación en una teoría de primer orden

Hay muchos sistemas formales de derivación ("prueba") para la lógica de primer orden. Estos incluyen los sistemas deductivos al estilo de Hilbert , la deducción natural , el cálculo secuencial , el método de cuadros y la resolución .

Consecuencia sintáctica en una teoría de primer orden

Una fórmula A es una consecuencia sintáctica de una teoría de primer orden si hay una derivación de A usando solo fórmulas como axiomas no lógicos. Esta fórmula A también se denomina teorema de . La notación " " indica que A es un teorema de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}} \ vdash A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$

Interpretación de una teoría de primer orden

Una interpretación de una teoría de primer orden proporciona una semántica para las fórmulas de la teoría. Se dice que una interpretación satisface una fórmula si la fórmula es verdadera según la interpretación. Un modelo de una teoría de primer orden es una interpretación en la que se satisface toda fórmula de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$

Teorías de primer orden con identidad

Una teoría de primer orden es una teoría de primer orden con identidad si incluye el símbolo de relación de identidad "=" y los esquemas de axioma de reflexividad y sustitución para este símbolo. ${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {QS}}}$

Temas relacionados con las teorías de primer orden

• Teorema de compacidad
• Conjunto consistente
• Teorema de la deducción
• Teorema de enumeración
• Lema de Lindenbaum
• Teorema de Löwenheim-Skolem

Ejemplos de

Una forma de especificar una teoría es definir un conjunto de axiomas en un idioma en particular. Se puede considerar que la teoría incluye solo esos axiomas, o sus consecuencias lógicas o demostrables, según se desee. Las teorías obtenidas de esta manera incluyen ZFC y la aritmética de Peano .

Una segunda forma de especificar una teoría es comenzar con una estructura y dejar que la teoría sea el conjunto de oraciones que satisface la estructura. Este es un método para producir teorías completas a través de la ruta semántica, con ejemplos que incluyen el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( N , +, ×, 0, 1, =), donde N es el conjunto de números naturales y el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( R , +, ×, 0, 1, =), donde R es el conjunto de números reales. La primera de ellas, llamada teoría de la verdadera aritmética , no puede escribirse como el conjunto de consecuencias lógicas de ningún conjunto enumerable de axiomas. Tarski demostró que la teoría de ( R , +, ×, 0, 1, =) es decidible ; es la teoría de los campos cerrados reales (ver Decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales para más información).

Ver también

• Sistema axiomático
• Interpretabilidad
• Lista de teorías de primer orden
• Teoría matemática

Referencias

Otras lecturas

• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-58713-1.