Oración (lógica matemática) - Sentence (mathematical logic)

Este artículo es un artículo técnico matemático en el área de la lógica de predicados. Para el significado del idioma inglés ordinario, consulte Sentencia (lingüística) , para un artículo introductorio menos técnico, consulte Declaración (lógica) .

En la lógica matemática , una frase (o fórmula cerrada ) de una lógica de predicados es un Boolean -valued fórmula bien formada sin variables libres . Se puede considerar que una oración expresa una proposición , algo que debe ser verdadero o falso. La restricción de no tener variables libres es necesaria para asegurarse de que las oraciones puedan tener valores de verdad fijos y concretos : como las variables libres de una fórmula (general) pueden oscilar entre varios valores, el valor de verdad de dicha fórmula puede variar.

Las oraciones sin conectivos lógicos o cuantificadores en ellas se conocen como oraciones atómicas ; por analogía con la fórmula atómica . Luego, las oraciones se construyen a partir de fórmulas atómicas mediante la aplicación de conectivos y cuantificadores.

Un conjunto de oraciones se llama teoría ; por tanto, las oraciones individuales pueden llamarse teoremas . Para evaluar adecuadamente la verdad (o falsedad) de una oración, se debe hacer referencia a una interpretación de la teoría. Para las teorías de primer orden, las interpretaciones se denominan comúnmente estructuras . Dada una estructura o interpretación, una oración tendrá un valor de verdad fijo . Una teoría es satisfactoria cuando es posible presentar una interpretación en la que todas sus oraciones son verdaderas. El estudio de algoritmos para descubrir automáticamente interpretaciones de teorías que hacen que todas las oraciones sean verdaderas se conoce como el problema de las teorías módulo de satisfacibilidad .

Ejemplo

El siguiente ejemplo en lógica de primer orden

es una oración. Esta oración es verdadera en los números reales positivos ℝ + , falsa en los números reales ℝ y verdadera en los números complejos ℂ. (En un lenguaje sencillo, esta oración se interpreta en el sentido de que cada miembro de la estructura en cuestión es el cuadrado de un miembro de esa estructura en particular). Por otro lado, la fórmula

no es una oración, debido a la presencia de la variable libre y . En la estructura de los números reales, esta fórmula es verdadera si sustituimos (arbitrariamente) y = 2, pero es falsa si y = –2.

Es la presencia de una variable libre, más que el valor de verdad inconstante, lo que es importante; por ejemplo, incluso en la estructura de los números complejos, donde el enunciado siempre es verdadero, todavía no se considera una oración. En su lugar, esta fórmula se puede llamar predicado .

Ver también

Referencias

  • Hinman, P. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
  • Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3.a ed.), Nueva York : Springer Science + Business Media , doi : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6.