Teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel - Von Neumann–Bernays–Gödel set theory

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel ( NBG ) es una teoría de conjuntos axiomática que es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC). NBG introduce la noción de clase , que es una colección de conjuntos definidos por una fórmula cuyos cuantificadores varían solo entre conjuntos. NBG puede definir clases que son más grandes que los conjuntos, como la clase de todos los conjuntos y la clase de todos los ordinales . La teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK) permite que las clases se definan mediante fórmulas cuyos cuantificadores abarcan clases. NBG es finitamente axiomatizable, mientras que ZFC y MK no lo son.

Un teorema clave de NBG es el teorema de existencia de clase, que establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores se extienden solo entre conjuntos, hay una clase que consta de conjuntos que satisfacen la fórmula. Esta clase se construye reflejando la construcción paso a paso de la fórmula con clases. Dado que todas las fórmulas de la teoría de conjuntos se construyen a partir de dos tipos de fórmulas atómicas ( membresía e igualdad ) y un número finito de símbolos lógicos , solo se necesitan un número finito de axiomas para construir las clases que los satisfacen. Ésta es la razón por la que NBG es finitamente axiomatizable. Las clases también se utilizan para otras construcciones, para manejar las paradojas de la teoría de conjuntos y para enunciar el axioma de elección global , que es más fuerte que el axioma de elección de ZFC .

John von Neumann introdujo las clases en la teoría de conjuntos en 1925. Las nociones primitivas de su teoría eran función y argumento . Utilizando estas nociones, definió clase y conjunto. Paul Bernays reformuló la teoría de von Neumann tomando clases y estableciendo como nociones primitivas. Kurt Gödel simplificó la teoría de Bernays por su prueba de coherencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado .

Clases de teoría de conjuntos

Los usos de las clases

Las clases tienen varios usos en NBG:

  • Producen una axiomatización finita de la teoría de conjuntos.
  • Se utilizan para enunciar una "forma muy fuerte del axioma de elección ", es decir, el axioma de elección global : existe una función de elección global definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos, de modo que para cada conjunto no vacío Esto es más fuerte que el de ZFC axioma de elección: Para cada conjunto de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en tal que para todos
  • Las paradojas de la teoría de conjuntos se manejan reconociendo que algunas clases no pueden ser conjuntos. Por ejemplo, suponga que la clase de todos los ordinales es un conjunto. Entonces es un conjunto transitivo bien ordenado por . Entonces, por definición, es un ordinal. Por lo tanto, lo que contradice ser un buen ordenamiento de Por lo tanto, no es un conjunto. Debido a que una clase que no es un conjunto se llama clase adecuada , es una clase adecuada.
  • Las clases adecuadas son útiles en las construcciones. En su prueba de la consistencia relativa del axioma de la elección global y la hipótesis del continuo generalizado , Gödel utilizó clases adecuadas para construir el universo construible . Construyó una función sobre la clase de todos los ordinales que, para cada ordinal, construye un conjunto construible aplicando una operación de construcción de conjuntos a conjuntos previamente construidos. El universo construible es la imagen de esta función.

Esquema de axioma versus teorema de existencia de clase

Una vez que las clases se agregan al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. Primero, se agrega el esquema de axioma de comprensión de clase. Este axioma estados de esquema: Para cada fórmula que cuantifica solamente más conjuntos, existe una clase que consiste en los - tuplas que satisfacen la fórmula, es decir, A continuación, el esquema del axioma de sustitución se sustituye por un único axioma que utiliza una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los otros axiomas de ZFC no se modifican.

Esta teoría no está finitamente axiomatizada. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido reemplazado por un solo axioma, pero se ha introducido el esquema de axioma de comprensión de clases.

Para producir una teoría con un número finito de axiomas, el esquema de axiomas de comprensión de clase se reemplaza primero con un número finito de axiomas de existencia de clase . Luego, estos axiomas se utilizan para probar el teorema de existencia de clase, que implica cada instancia del esquema de axioma. La demostración de este teorema requiere solo siete axiomas de existencia de clase, que se utilizan para convertir la construcción de una fórmula en la construcción de una clase que satisfaga la fórmula.

Axiomatización de NBG

Clases y conjuntos

NBG tiene dos tipos de objetos: clases y conjuntos. Intuitivamente, cada set también es una clase. Hay dos formas de axiomatizar esto. Bernays usó lógica de muchos ordenamientos con dos tipos: clases y conjuntos. Gödel evitó los géneros introduciendo predicados primitivos: para " es una clase" y para " es un conjunto" (en alemán, "conjunto" es Menge ). También introdujo axiomas que establecen que todo conjunto es una clase y que si la clase es miembro de una clase, entonces es un conjunto. El uso de predicados es la forma estándar de eliminar ordenaciones. Elliott Mendelson modificó el enfoque de Gödel haciendo que todo sea una clase y definiendo el predicado de conjunto como Esta modificación elimina el predicado de clase de Gödel y sus dos axiomas.

El enfoque de dos tipos de Bernays puede parecer más natural al principio, pero crea una teoría más compleja. En la teoría de Bernays, cada conjunto tiene dos representaciones: una como conjunto y la otra como clase. Además, hay dos relaciones de pertenencia : la primera, denotada por "∈", está entre dos conjuntos; el segundo, denotado por "η", está entre un conjunto y una clase. Esta redundancia es requerida por la lógica de muchos ordenamientos porque las variables de diferentes tipos se extienden sobre subdominios disjuntos del dominio del discurso .

Las diferencias entre estos dos enfoques no afectan lo que se puede probar, pero sí afectan la forma en que se escriben las declaraciones. En el enfoque de Gödel, where y are classes es una declaración válida. En el enfoque de Bernays, esta afirmación no tiene sentido. Sin embargo, si es un conjunto, hay una declaración equivalente: Define "el conjunto representa la clase " si tienen los mismos conjuntos que los miembros, es decir, la declaración donde el conjunto representa la clase es equivalente a la de Gödel

El enfoque adoptado en este artículo es el de Gödel con la modificación de Mendelson. Esto significa que NBG es un sistema axiomático en la lógica de predicados de primer orden con igualdad , y sus únicas nociones primitivas son la clase y la relación de pertenencia.

Definiciones y axiomas de extensionalidad y emparejamiento.

Un conjunto es una clase que pertenece al menos a una clase: es un conjunto si y solo si . Una clase que no es un conjunto se denomina clase adecuada: es una clase adecuada si y solo si . Por lo tanto, cada clase es un conjunto o una clase propiamente dicha, y ninguna clase es ambas (si la teoría es coherente ).

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas se extienden sobre clases, mientras que las variables en minúsculas se extienden sobre conjuntos. Gödel también usó nombres que comienzan con una letra mayúscula para denotar clases particulares, incluidas funciones y relaciones definidas en la clase de todos los conjuntos. En este artículo se utiliza la convención de Gödel. Nos permite escribir:

Los siguientes axiomas y definiciones son necesarios para la demostración del teorema de existencia de clases.

Axioma de extensionalidad. Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticos.

Este axioma generaliza el axioma de extensionalidad de ZFC a las clases.

Axioma de emparejamiento . Siyson conjuntos, entonces existe un conjuntocuyos únicos miembros sony.

Como en ZFC, el axioma de extensionalidad implica la unicidad del conjunto , lo que nos permite introducir la notación

Los pares ordenados se definen por:

Las tuplas se definen inductivamente utilizando pares ordenados:

Axiomas de existencia de clase y axioma de regularidad

Los axiomas de existencia de clase se utilizarán para probar el teorema de existencia de clase: para cada fórmula en variables de conjuntos libres que cuantifica solo sobre conjuntos, existe una clase de tuplas -tuplas que la satisfacen. El siguiente ejemplo comienza con dos clases que son funciones y crea una función compuesta . Este ejemplo ilustra las técnicas que se necesitan para probar el teorema de existencia de clase, que conduce a los axiomas de existencia de clase que se necesitan.

Ejemplo 1: Si las clases y son funciones, entonces la función compuesta se define mediante la fórmula: Dado que esta fórmula tiene dos variables de conjunto libre, y el teorema de existencia de clase construye la clase de pares ordenados:

Debido a que esta fórmula se construye a partir de fórmulas más simples usando conjunción y cuantificación existencial , se necesitan operaciones de clase que toman clases que representan las fórmulas más simples y producen clases que representan las fórmulas con y . Para producir una clase que representa una fórmula con , se usa la intersección desde Para producir una clase que representa una fórmula con , el dominio se usa desde

Antes de tomar la intersección, las tuplas entran y necesitan un componente adicional para que tengan las mismas variables. El componente se agrega a las tuplas de y se agrega a las tuplas de :

y

En la definición de la variable no está restringida por la declaración, por lo que se extiende a lo largo de la clase de todos los conjuntos. De manera similar, en la definición de los rangos de variable por encima de Entonces se necesita un axioma que agregue un componente extra (cuyos valores por encima de ) a las tuplas de una clase dada.

A continuación, las variables se colocan en el mismo orden para prepararse para la intersección:

y

Para ir de a y desde a se requieren dos permutaciones diferentes , por lo que se necesitan axiomas que apoyen las permutaciones de componentes de tuplas.

La intersección de y maneja :

Dado que se define como , tomando el dominio de los identificadores y produce la función compuesta:

Entonces se necesitan axiomas de intersección y dominio.

Los axiomas de existencia de clase se dividen en dos grupos: axiomas que manejan primitivas del lenguaje y axiomas que manejan tuplas. Hay cuatro axiomas en el primer grupo y tres axiomas en el segundo grupo.

Axiomas para manejar primitivas del lenguaje:

Afiliación. Existe una clase que contiene todos los pares ordenados cuyo primer componente es miembro del segundo componente.

Intersección (conjunción). Para dos clases cualesquiera y , hay una clase que consta precisamente de los conjuntos que pertenecen a ambos y .

Complemento (negación). Para cualquier clase, hay una clase queconsiste precisamente en los conjuntos a los que no pertenecen.

Dominio (cuantificador existencial). Para cualquier clase , existe una clase que consta precisamente de los primeros componentes de los pares ordenados de .

Según el axioma de extensionalidad, la clase en el axioma de intersección y la clase en los axiomas de complemento y dominio son únicas. Se denotarán por: y respectivamente. Por otro lado, la extensionalidad no es aplicable en el axioma de pertenencia ya que especifica solo aquellos conjuntos que son pares ordenados.

Los primeros tres axiomas implican la existencia de la clase vacía y la clase de todos los conjuntos: El axioma de pertenencia implica la existencia de una clase. Los axiomas de intersección y complemento implican la existencia de , que está vacío. Según el axioma de extensionalidad, esta clase es única; se denota por El complemento de es la clase de todos los conjuntos, que también es única por extensionalidad. El predicado de conjunto , que se definió como , ahora se redefine para evitar cuantificar sobre clases.

Axiomas para manejar tuplas:

Producto de . Para cualquier clase, hay una clase queconsta de los pares ordenados a los que pertenece el primer componente.

Permutación circular . Para cualquier clase, hay una clasecuyas 3 tuplas se obtienen aplicando la permutación circulara las 3 tuplas de.

Transposición . Para cualquier clase, hay una clasecuyas 3 tuplas se obtienen transponiendo los dos últimos componentes de las 3 tuplas de.

Por extensionalidad, el producto por axioma implica la existencia de una clase única, que se denota por Este axioma se usa para definir la clase de todas las tuplas : y Si es una clase, la extensionalidad implica que es la clase única que consta de las tuplas. de Por ejemplo, el axioma de pertenencia produce una clase que puede contener elementos que no son pares ordenados, mientras que la intersección contiene solo los pares ordenados de .

Los axiomas circulares de permutación y transposición no implican la existencia de clases únicas porque especifican solo las 3-tuplas de clase. Al especificar las 3-tuplas, estos axiomas también especifican las -tuplas para ya que: Los axiomas para manejar tuplas y el axioma de dominio implican el siguiente lema, que se utiliza en la demostración del teorema de existencia de clases.

Lema de tupla.

Prueba:   Clase : Aplicar el producto de a para producir Clase : Aplicar transposición a para producir Clase : Aplicar permutación circular a para producir Clase : Aplicar permutación circular a , luego aplicar dominio para producir
            
            
            

Se necesita un axioma más para probar el teorema de existencia de clase: el axioma de regularidad . Dado que se ha demostrado la existencia de la clase vacía, se da el enunciado habitual de este axioma.

Axioma de regularidad . Todo conjunto no vacío tiene al menos un elemento con el que no tiene ningún elemento en común.

Este axioma implica que un conjunto no puede pertenecer a sí mismo: Asuma eso y sea Entonces, ya que Esto contradice el axioma de regularidad porque es el único elemento en Por lo tanto, El axioma de regularidad también prohíbe infinitas secuencias descendentes de conjuntos de conjuntos:

Gödel declaró la regularidad para las clases más que para los conjuntos en su monografía de 1940, que se basó en conferencias dadas en 1938. En 1939, demostró que la regularidad para los conjuntos implica regularidad para las clases.

Teorema de existencia de clase

Teorema de existencia de clases. Sea una fórmula que cuantifique solo sobre conjuntos y no contenga otras variables libres que no sean (no necesariamente todas). Entonces, para todos , existe una clase única de -tuplas tal que: La clase se denota por

La demostración del teorema se realizará en dos pasos:

  1. Las reglas de transformación se utilizan para transformar la fórmula dada en una fórmula equivalente que simplifica la parte inductiva de la demostración. Por ejemplo, los símbolos lógico en la fórmula transformadas son , , y , por lo que la inducción maneja símbolos lógicos con sólo tres casos.
  2. El teorema de existencia de clase se demuestra inductivamente para fórmulas transformadas. Guiados por la estructura de la fórmula transformada, los axiomas de existencia de clase se utilizan para producir la clase única de tuplas que satisfacen la fórmula.

Reglas de transformación. En las reglas 1 y 2 a continuación, y las variables de ajuste o de clase denotan. Estas dos reglas eliminan todas las apariciones de variables de clase antes de una y todas las apariciones de igualdad. Cada vez que se aplica la regla 1 o 2 a una subfórmula, se elige de manera que difiera de las otras variables en la fórmula actual. Las tres reglas se repiten hasta que no hay subfórmulas a las que se pueden aplicar. Esto produce una fórmula que se construye únicamente con , , , , variables establecidas, y las variables de clase , donde no aparece antes de una .

  1. se transforma en
  2. La extensionalidad se usa para transformarse en
  3. Las identidades lógicas se utilizan para transformar subfórmulas que contienen y en subfórmulas que solo utilizan y

Reglas de transformación: variables ligadas . Considere la fórmula de la función compuesta del ejemplo 1 con sus variables de conjunto libre reemplazadas por y : La prueba inductiva eliminará , lo que produce la fórmula Sin embargo, dado que el teorema de existencia de clase se establece para variables subindicadas, esta fórmula no tiene la forma esperada por el hipótesis de inducción . Este problema se resuelve reemplazando la variable con las variables vinculadas dentro de los cuantificadores anidados que se manejan aumentando el subíndice en uno para cada cuantificador sucesivo. Esto conduce a la regla 4, que debe aplicarse después de las otras reglas, ya que las reglas 1 y 2 producen variables cuantificadas.

  1. Si una fórmula no contiene más variables de conjunto libre, las variables ligadas que están anidadas dentro de los cuantificadores se reemplazan por . Estas variables tienen una profundidad de anidación (cuantificadora) .

Ejemplo 2: La regla 4 se aplica a la fórmula que define la clase que consta de todos los conjuntos de la forma Es decir, conjuntos que contienen al menos y un conjunto que contiene , por ejemplo, dónde y son conjuntos.

Dado que es la única variable libre, la variable cuantificada aparece dos veces en la profundidad de anidación 2. Su subíndice es 3 porque si dos alcances cuantificadores están en la misma profundidad de anidación, son idénticos o disjuntos. Las dos apariciones de están en ámbitos cuantificadores disjuntos, por lo que no interactúan entre sí.

Prueba del teorema de existencia de clases. La prueba comienza aplicando las reglas de transformación a la fórmula dada para producir una fórmula transformada. Dado que esta fórmula es equivalente a la fórmula dada, la demostración se completa demostrando el teorema de existencia de clase para fórmulas transformadas.

Gödel señaló que el teorema de existencia de clase "es un metateorema , es decir, un teorema sobre el sistema [NBG], no en el sistema ..." Es un teorema sobre NBG porque está demostrado en la metateoría por inducción sobre fórmulas de NBG. Además, su prueba, en lugar de invocar un número finito de axiomas NBG, describe inductivamente cómo usar axiomas NBG para construir una clase que satisfaga una fórmula dada. Para cada fórmula, esta descripción se puede convertir en una prueba de existencia constructiva que está en NBG. Por lo tanto, este metateorema puede generar las pruebas de NBG que reemplazan los usos del teorema de existencia de clase de NBG.

Un programa informático recursivo captura de forma sucinta la construcción de una clase a partir de una fórmula determinada. La definición de este programa no depende de la demostración del teorema de existencia de clases. Sin embargo, la prueba es necesaria para demostrar que la clase construida por el programa satisface la fórmula dada y se construye usando los axiomas. Este programa está escrito en pseudocódigo que usa una declaración de caso de estilo Pascal .



Sea la fórmula del ejemplo 2 . La llamada a la función genera la clase que se compara a continuación con Esto muestra que la construcción de la clase refleja la construcción de su fórmula definitoria

Extendiendo el teorema de existencia de clases

Gödel extendió el teorema de existencia de clases a fórmulas que contienen relaciones entre clases (como y la relación unaria ), clases especiales (como ) y operaciones (como y ). Para ampliar el teorema de existencia de clases, las fórmulas que definen relaciones, clases especiales y operaciones deben cuantificar solo sobre conjuntos. Luego se puede transformar en una fórmula equivalente que satisfaga la hipótesis del teorema de existencia de clase .

Las siguientes definiciones especifican cómo las fórmulas definen relaciones, clases especiales y operaciones:

  1. Una relación se define por:
  2. Una clase especial se define por:
  3. Una operación se define por:

Un término se define por:

  1. Las variables y las clases especiales son términos.
  2. Si es una operación con argumentos y son términos, entonces es un término.

Las siguientes reglas de transformación eliminan relaciones, clases especiales y operaciones. Cada vez que se aplica la regla 2b, 3b o 4 a una subfórmula, se elige de manera que difiera de las otras variables en la fórmula actual. Las reglas se repiten hasta que no hay subfórmulas a las que se pueden aplicar. y denotan términos.

  1. Una relación se reemplaza por su fórmula definitoria
  2. Sea la fórmula definitoria para la clase especial
    1. es reemplazado por
    2. es reemplazado por
  3. Sea la fórmula definitoria de la operación
    1. es reemplazado por
    2. es reemplazado por
  4. La extensionalidad se usa para transformarse en
Ejemplo 3: Transformar

Ejemplo 4: Transformar

Este ejemplo ilustra cómo las reglas de transformación funcionan juntas para eliminar una operación.

Teorema de existencia de clases (versión extendida). Sea una fórmula que cuantifica solo sobre conjuntos, no contiene más variables libres que , y puede contener relaciones, clases especiales y operaciones definidas por fórmulas que cuantifican solo sobre conjuntos. Entonces, para todos , existe una clase única de tuplas tales que

Prueba: aplique las reglas de transformación para producir una fórmula equivalente que no contenga relaciones, clases especiales u operaciones. Esta fórmula satisface la hipótesis del teorema de existencia de clase. Por lo tanto, para todos hay una clase única de tuplas que satisfacen

Establecer axiomas

Los axiomas de emparejamiento y regularidad, que eran necesarios para la demostración del teorema de existencia de clase, se han dado anteriormente. NBG contiene otros cuatro conjuntos de axiomas. Tres de estos axiomas se refieren a la aplicación de operaciones de clase a conjuntos.

Definición. es una función si

En la teoría de conjuntos, la definición de una función no requiere especificar el dominio o codominio de la función (ver Función (teoría de conjuntos) ). La definición de función de NBG generaliza la definición de ZFC de un conjunto de pares ordenados a una clase de pares ordenados.

Las definiciones de ZFC de las operaciones de conjunto de imagen , unión y conjunto de poder también se generalizan a las operaciones de clase. La imagen de clase bajo la función es Esta definición no requiere que La unión de clase es La clase de potencia de es La versión extendida del teorema de existencia de clase implica la existencia de estas clases. Los axiomas de reemplazo, unión y conjunto de poder implican que cuando estas operaciones se aplican a conjuntos, producen conjuntos.

Axioma de reemplazo. Si es una función y es un conjunto, entonces la imagen de debajo es un conjunto.

No tener el requisito en la definición de produce un axioma de reemplazo más fuerte, que se usa en la siguiente prueba.

Teorema ( axioma de separación de NBG ). Si es un conjunto y es una subclase de entonces es un conjunto. Demostración: El teorema de existencia de clases construye la restricción de la función identidad a : Dado que la imagen de bajo es , el axioma de reemplazo implica que es un conjunto. Esta prueba depende de que la definición de imagen no tenga el requisito ya que en lugar de

Axioma de unión. Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene

Conjunto de axioma de poder. Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene

Teorema. Si es un conjunto, entonces y son conjuntos. Prueba: El axioma de unión establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. Asimismo, el axioma de poder establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto.

Axioma del infinito. Existe un conjunto no vacío tal que para todo en , existe una en tal forma que es un subconjunto propio de .

Los axiomas de infinito y reemplazo prueban la existencia del conjunto vacío . En la discusión de los axiomas de existencia de clase, se demostró la existencia de la clase vacía . Ahora demostramos que es un conjunto. Sea función y sea ​​el conjunto dado por el axioma de infinito. Por reemplazo, la imagen de debajo , que es igual , es un conjunto.

El axioma de infinito de NBG está implícito en el axioma de infinito de ZFC : La primera conjunción del axioma de ZFC , implica la primera conjunción del axioma de NBG. La segunda conjunción del axioma de ZFC , implica la segunda conjunción del axioma de NBG, ya que Para probar el axioma de infinito de ZFC a partir del axioma de infinito de NBG se requieren algunos de los otros axiomas de NBG (ver Axioma débil de infinito ).

Axioma de elección global

El concepto de clase permite que NBG tenga un axioma de elección más fuerte que ZFC. Una función de elección es una función definida en un conjunto de conjuntos no vacíos tal que para todos los axiomas de elección de ZFC se establece que existe una función de elección para cada conjunto de conjuntos no vacíos. Una función de elección global es una función definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos de manera que para cada conjunto no vacío El axioma de elección global establece que existe una función de elección global. Este axioma implica el axioma de elección de ZFC, ya que para cada conjunto de conjuntos no vacíos, (la restricción de a ) es una función de elección para En 1964, William B. Easton demostró que la elección global es más fuerte que el axioma de elección mediante el uso de forzar para construir un modelo que satisface el axioma de elección y todos los axiomas de NBG excepto el axioma de elección global. El axioma de elección global es equivalente a que cada clase tenga un buen orden, mientras que el axioma de elección de ZFC es equivalente a que cada conjunto tenga un buen orden.

Axioma de elección global. Existe una función que elige un elemento de cada conjunto no vacío.

Historia

referirse a la leyenda
Historia de los enfoques que llevaron a la teoría de conjuntos de NBG

El sistema de axiomas de 1925 de von Neumann

Von Neumann publicó un artículo introductorio sobre su sistema de axiomas en 1925. En 1928, proporcionó un tratamiento detallado de su sistema. Von Neumann basó su sistema de axiomas en dos dominios de objetos primitivos : funciones y argumentos. Estos dominios se superponen: los objetos que están en ambos dominios se denominan funciones de argumento. Las funciones corresponden a clases en NBG y las funciones de argumento corresponden a conjuntos. La operación primitiva de Von Neumann es la aplicación de una función , denotada por [ ax ] en lugar de a ( x ) donde a es una función y x es un argumento. Esta operación produce un argumento. Von Neumann define las clases y de configuraciones y funciones argumento-funciones que toman sólo dos valores, A y B . Definió x  ∈  un caso de [ unx ] ≠  A .

El trabajo de Von Neumann en la teoría de conjuntos fue influenciado por los artículos de Georg Cantor , los axiomas de 1908 de Ernst Zermelo para la teoría de conjuntos y las críticas de 1922 a la teoría de conjuntos de Zermelo que fueron dadas independientemente por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem . Tanto Fraenkel como Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z 0Z 1Z 2 , ...} donde Z 0 es el conjunto de números naturales y Z n +1 es el conjunto de potencias de Z n . Luego introdujeron el axioma de reemplazo, que garantizaría la existencia de tales conjuntos. Sin embargo, se mostraron reacios a adoptar este axioma: Fraenkel declaró "que Reemplazo era un axioma demasiado fuerte para la 'teoría general de conjuntos'", mientras que "Skolem sólo escribió que 'podríamos introducir' Reemplazo".

Von Neumann trabajó en los problemas de la teoría de conjuntos de Zermelo y proporcionó soluciones para algunos de ellos:

  • Una teoría de ordinales
    • Problema: la teoría de Cantor de los números ordinales no se puede desarrollar en la teoría de conjuntos de Zermelo porque carece del axioma de reemplazo.
    • Solución: Von Neumann recuperó la teoría de Cantor definiendo los ordinales usando conjuntos que están bien ordenados por la relación ∈, y usando el axioma de reemplazo para demostrar teoremas clave sobre los ordinales, como que todo conjunto bien ordenado es orden-isomórfico. con un ordinal. En contraste con Fraenkel y Skolem, von Neumann enfatizó cuán importante es el axioma de reemplazo para la teoría de conjuntos: "De hecho, creo que ninguna teoría de ordinales es posible en absoluto sin este axioma".
  • Un criterio que identifica clases que son demasiado grandes para ser conjuntos.
    • Problema: Zermelo no proporcionó ese criterio. Su teoría de conjuntos evita las grandes clases que conducen a las paradojas , pero deja fuera muchos conjuntos, como el mencionado por Fraenkel y Skolem.
    • Solución: Von Neumann introdujo el criterio: una clase es demasiado grande para ser un conjunto si y solo si se puede mapear en la clase V de todos los conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas de la teoría de conjuntos podían evitarse al no permitir que clases tan grandes fueran miembros de ninguna clase. La combinación de esta restricción con su criterio, obtuvo su axioma de limitación de tamaño : Una clase C no es un miembro de ninguna clase si y sólo si C puede ser mapeado en V .
  • Axiomatización finita
    • Problema: Zermelo había utilizado el concepto impreciso de " función proposicional definida " en su axioma de separación .
    • Soluciones: Skolem introdujo el esquema de axioma de separación que luego se utilizó en ZFC, y Fraenkel introdujo una solución equivalente. Sin embargo, Zermelo rechazó ambos enfoques "particularmente porque implican implícitamente el concepto de número natural que, en opinión de Zermelo, debería basarse en la teoría de conjuntos". Von Neumann evitó los esquemas de axiomas formalizando el concepto de "función proposicional definida" con sus funciones, cuya construcción requiere sólo un número finito de axiomas. Esto llevó a que su teoría de conjuntos tuviera un número finito de axiomas. En 1961, Richard Montague demostró que ZFC no se puede axiomatizar de manera finita.
  • El axioma de la regularidad
    • Problema: la teoría de conjuntos de Zermelo comienza con el conjunto vacío y un conjunto infinito, e itera los axiomas de emparejamiento, unión, conjunto de potencias, separación y elección para generar nuevos conjuntos. Sin embargo, no restringe los conjuntos a estos. Por ejemplo, permite conjuntos que no están bien fundamentados , como un conjunto x que satisface x  ∈  x .
    • Soluciones: Fraenkel introdujo un axioma para excluir estos conjuntos. Von Neumann analizó el axioma de Fraenkel y afirmó que no estaba "formulado con precisión", pero aproximadamente diría: "Además de los conjuntos ... cuya existencia es absolutamente requerida por los axiomas, no hay más conjuntos". Von Neumann propuso el axioma de regularidad como una forma de excluir conjuntos no bien fundados, pero no lo incluyó en su sistema de axiomas. En 1930, Zermelo se convirtió en el primero en publicar un sistema de axiomas que incluía la regularidad.

El sistema de axiomas de 1929 de von Neumann

referirse a la leyenda
John von Neumann

En 1929, von Neumann publicó un artículo que contenía los axiomas que conducirían a NBG. Este artículo fue motivado por su preocupación por la consistencia del axioma de limitación de tamaño. Afirmó que este axioma "hace mucho, en realidad demasiado". Además de implicar los axiomas de separación y reemplazo, y el teorema del buen orden , también implica que cualquier clase cuya cardinalidad sea ​​menor que la de V es un conjunto. Von Neumann pensó que esta última implicación iba más allá de la teoría de conjuntos cantoriana y concluyó: "Por lo tanto, debemos discutir si su consistencia [del axioma] no es incluso más problemática que una axiomatización de la teoría de conjuntos que no va más allá del marco cantoriano necesario".

Von Neumann comenzó su investigación de la consistencia presentando su sistema de axiomas de 1929, que contiene todos los axiomas de su sistema de axiomas de 1925, excepto el axioma de limitación de tamaño. Reemplazó este axioma con dos de sus consecuencias, el axioma de reemplazo y un axioma de elección. El axioma de elección de Von Neumann establece: "Toda relación R tiene una subclase que es una función con el mismo dominio que R ".

Sea S el sistema de axiomas de 1929 de von Neumann. Von Neumann introdujo el sistema de axioma S + Regularidad (que consiste en S y el axioma de regularidad) para demostrar que su sistema 1925 es consistente con respecto a S . Probó:

  1. Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente.
  2. S + Regularidad implica el axioma de limitación de tamaño. Dado que este es el único axioma de su sistema de axiomas 1925 S + Regularidad no tiene, S + Regularidad implica todos los axiomas de su sistema de 1925.

Estos resultados implican: Si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente. Prueba: si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente (resultado 1). Usando la prueba por contradicción , suponga que el sistema de axiomas de 1925 es inconsistente, o de manera equivalente: el sistema de axiomas de 1925 implica una contradicción. Dado que S + Regularidad implica los axiomas del sistema de 1925 (resultado 2), S + Regularidad también implica una contradicción. Sin embargo, esto contradice la consistencia de la regularidad S +. Por lo tanto, si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente.

Dado que S es su sistema de axiomas de 1929, el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente en relación con su sistema de axiomas de 1929, que está más cerca de la teoría de conjuntos de Cantoria. Las principales diferencias entre la teoría de conjuntos de Cantoria y el sistema de axiomas de 1929 son las clases y el axioma de elección de von Neumann. Bernays y Gödel modificaron el sistema de axiomas S + Regularidad para producir el sistema de axiomas NBG equivalente.

El sistema de axiomas de Bernays

Paul Bernays

En 1929, Paul Bernays comenzó a modificar el nuevo sistema de axiomas de von Neumann tomando clases y conjuntos como primitivos. Publicó su trabajo en una serie de artículos que aparecieron entre 1937 y 1954. Bernays afirmó que:

El propósito de modificar el sistema de von Neumann es permanecer más cerca de la estructura del sistema original de Zermelo y utilizar al mismo tiempo algunos de los conceptos de teoría de conjuntos de la lógica de Schröder y de Principia Mathematica que se han vuelto familiares para los lógicos. Como se verá, de esta disposición resulta una simplificación considerable.

Bernays manejó conjuntos y clases en una lógica de dos ordenamientos e introdujo dos primitivas de pertenencia: una para pertenencia a conjuntos y otra para pertenencia a clases. Con estos primitivos, reescribió y simplificó los axiomas de von Neumann de 1929. Bernays también incluyó el axioma de regularidad en su sistema de axiomas.

Sistema de axiomas de Gödel (NBG)

referirse a la leyenda
Kurt Gödel, c. 1926    

En 1931, Bernays envió una carta con su teoría de conjuntos a Kurt Gödel . Gödel simplificó la teoría de Bernays al hacer de cada conjunto una clase, lo que le permitió usar solo un tipo y una membresía primitiva. También debilitó algunos de los axiomas de Bernays y reemplazó el axioma de elección de von Neumann con el axioma equivalente de elección global. Gödel usó sus axiomas en su monografía de 1940 sobre la consistencia relativa de la elección global y la hipótesis del continuo generalizado.

Se han dado varias razones por las que Gödel eligió NBG para su monografía:

  • Gödel dio una razón matemática: la elección global de NBG produce un teorema de consistencia más fuerte: "Esta forma más fuerte del axioma [de elección], si es consistente con los otros axiomas, implica, por supuesto, que una forma más débil también es consistente".
  • Robert Solovay conjeturó: "Mi conjetura es que él [Gödel] deseaba evitar una discusión de los tecnicismos involucrados en el desarrollo de los rudimentos de la teoría de modelos dentro de la teoría axiomática de conjuntos".
  • Kenneth Kunen dio una razón para que Gödel evitara esta discusión: "También hay un enfoque mucho más combinatorio de L [el universo constructible ], desarrollado por ... [Gödel en su monografía de 1940] en un intento de explicar su trabajo a los lógicos ... Este enfoque tiene el mérito de eliminar todos los vestigios de lógica del tratamiento de L. "
  • Charles Parsons proporcionó una razón filosófica para la elección de Gödel: "Este punto de vista [que la 'propiedad del conjunto' es una primitiva de la teoría de conjuntos] puede reflejarse en la elección de Gödel de una teoría con variables de clase como marco para ... [su monografía] . "

El logro de Gödel junto con los detalles de su presentación llevaron a la prominencia que disfrutaría NBG durante las próximas dos décadas. En 1963, Paul Cohen probó sus pruebas de independencia para ZF con la ayuda de algunas herramientas que Gödel había desarrollado para sus pruebas de coherencia relativa para NBG. Más tarde, ZFC se hizo más popular que NBG. Esto fue causado por varios factores, incluido el trabajo adicional requerido para manejar el forzamiento en NBG, la presentación de Cohen de 1966 del forzamiento, que usó ZF, y la prueba de que NBG es una extensión conservadora de ZFC.

NBG, ZFC y MK

NBG no es lógicamente equivalente a ZFC porque su lenguaje es más expresivo: puede hacer declaraciones sobre clases, que no se pueden hacer en ZFC. Sin embargo, NBG y ZFC implican las mismas declaraciones sobre conjuntos. Por lo tanto, NBG es una extensión conservadora de ZFC. NBG implica teoremas que ZFC no implica, pero dado que NBG es una extensión conservadora, estos teoremas deben involucrar clases adecuadas. Por ejemplo, es un teorema del BNG que el axioma de elección mundial implica que la clase apropiada V puede ser bien ordenado y que cada clase adecuada se puede poner en correspondencia uno-a-uno con V .

Una consecuencia de la extensión conservadora es que ZFC y NBG son iguales . Para demostrarlo se utiliza el principio de explosión : a partir de una contradicción , todo es demostrable. Suponga que ZFC o NBG son inconsistentes. Entonces, la teoría inconsistente implica los enunciados contradictorios ∅ = ∅ y ∅ ≠ ∅, que son enunciados sobre conjuntos. Por la propiedad de extensión conservadora, la otra teoría también implica estos enunciados. Por lo tanto, también es inconsistente. Entonces, aunque NBG es más expresivo, es equivalente a ZFC. Este resultado, junto con la prueba de coherencia relativa de von Neumann de 1929, implica que su sistema de axiomas de 1925 con el axioma de limitación de tamaño es equivalente a ZFC. Esto resuelve por completo la preocupación de von Neumann acerca de la consistencia relativa de este poderoso axioma ya que ZFC está dentro del marco de Cantoria.

Aunque NBG es una extensión conservadora de ZFC, un teorema puede tener una demostración más corta y elegante en NBG que en ZFC (o viceversa). Para un estudio de resultados conocidos de esta naturaleza, ver Pudlák 1998 .

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley tiene un esquema de axioma de comprensión de clases que incluye fórmulas cuyos cuantificadores varían entre clases. MK es una teoría más fuerte que NBG porque MK prueba la consistencia de NBG, mientras que el segundo teorema de incompletitud de Gödel implica que NBG no puede probar la consistencia de NBG.

Para una discusión de algunas cuestiones ontológicas y filosóficas planteadas por NBG, especialmente cuando se contrasta con ZFC y MK, consulte el Apéndice C de Potter 2004 .

Modelos

ZFC, NBG y MK tienen modelos que se pueden describir en términos de la jerarquía acumulativa V α y la jerarquía constructiva L α . Sea V una κ cardinal inaccesible , sea XV κ y def ( X ) denote la clase de subconjuntos definibles de primer orden de X con parámetros. En los símbolos donde " " denota el modelo con dominio y relación , y " " denota la relación de satisfacción :

Luego:

  • ( V κ , ∈) y ( L κ , ∈) son modelos de ZFC .
  • ( V κV κ + 1 , ∈) es un modelo de MK donde V κ consta de los conjuntos del modelo y V κ + 1 consta de las clases del modelo. Dado que un modelo de MK es un modelo de NBG, este modelo también es un modelo de NBG.
  • ( V κ , Def ( V κ ), ∈) es un modelo de la versión de NBG de Mendelson, que reemplaza el axioma de elección global de NBG con el axioma de elección de ZFC. Los axiomas de ZFC son verdaderos en este modelo porque ( V κ , ∈) es un modelo de ZFC. En particular, el axioma de elección de ZFC se mantiene, pero la elección global de NBG puede fallar. Los axiomas de existencia de clase de NBG son verdaderos en este modelo porque las clases cuya existencia afirman pueden definirse mediante definiciones de primer orden. Por ejemplo, el axioma de pertenencia es válido ya que la clase está definida por:
  • ( L κ , L κ + , ∈), donde κ + es el cardenal sucesor de κ, es un modelo de NBG. Los axiomas de existencia de clase de NBG son verdaderos en ( L κL κ + , ∈). Por ejemplo, el axioma de pertenencia es válido ya que la clase está definida por:
Entonces E  ∈ 𝒫 ( L κ ). En su prueba de que GCH es verdadera en L , Gödel demostró que 𝒫 ( L κ ) ⊆  L κ + . Por lo tanto, E  ∈  L κ + , por lo que el axioma de pertenencia es verdadero en ( L κL κ + , ∈). Asimismo, los otros axiomas de existencia de clase son verdaderos. El axioma de elección global es cierto porque L κ está bien ordenado por la restricción de la función de Gödel (que asigna la clase de ordinales a los conjuntos construibles) a los ordinales menores que κ. Por lo tanto, ( L κL κ + , ∈) es un modelo de NBG.

Teoría de categorías

La ontología de NBG proporciona un andamiaje para hablar sobre "objetos grandes" sin arriesgarse a la paradoja. Por ejemplo, en algunos desarrollos de la teoría de categorías , una " categoría grande " se define como aquella cuyos objetos y morfismos forman una clase adecuada. Por otro lado, una "categoría pequeña" es aquella cuyos objetos y morfismos son miembros de un conjunto. Por lo tanto, podemos hablar de la " categoría de todos los conjuntos " o " categoría de todas las categorías pequeñas " sin arriesgarnos a la paradoja, ya que NBG admite categorías grandes.

Sin embargo, NBG no admite una "categoría de todas las categorías", ya que grandes categorías serían miembros de ella y NBG no permite que las clases adecuadas sean miembros de nada. Una extensión ontológica que nos permite hablar formalmente sobre tal "categoría" es el conglomerado , que es una colección de clases. Entonces, la "categoría de todas las categorías" se define por sus objetos: el conglomerado de todas las categorías; y sus morfismos: el conglomerado de todos los morfismos de A a B donde A y B son objetos. Sobre si una ontología que incluye clases y conjuntos es adecuada para la teoría de categorías, ver Muller 2001 .

Notas

Referencias

Bibliografía

enlaces externos