Axioma de emparejamiento - Axiom of pairing

En la teoría de conjuntos axiomáticos y las ramas de la lógica , las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de emparejamiento es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Fue introducido por Zermelo (1908) como un caso especial de su axioma de conjuntos elementales .

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ existe C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A \ lor D = B)]}$

En palabras:

Dado cualquier objeto A y cualquier objeto B , hay un conjunto C de tal manera que, dado cualquier objeto D , D es un miembro de C si y sólo si D es igual a A o D es igual a B .

O en palabras más simples:

Dados dos objetos, hay un conjunto cuyos miembros son exactamente los dos objetos dados.

Consecuencias

Como se ha señalado, el axioma lo que está diciendo es que, dadas dos objetos A y B , podemos encontrar un conjunto C , cuyos miembros son exactamente A y B .

Podemos usar el axioma de extensionalidad para mostrar que este conjunto C es único. Llamamos al conjunto C el par de A y B , y lo denotamos { A , B }. Por tanto, la esencia del axioma es:

Dos objetos cualesquiera tienen un par.

El conjunto { A , A } se abrevia { A }, llamado el singleton que contiene A . Tenga en cuenta que un singleton es un caso especial de un par. Ser capaz de construir un singleton es necesario, por ejemplo, para mostrar la inexistencia de las cadenas infinitamente descendentes del Axioma de regularidad . ${\ Displaystyle x = \ {x \}}$

El axioma de emparejamiento también permite la definición de pares ordenados . Para cualquier objeto y , el par ordenado se define por lo siguiente: ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}. \,}$

Tenga en cuenta que esta definición satisface la condición

${\ Displaystyle (a, b) = (do, d) \ iff a = c \ land b = d.}$

Las n- tuplas ordenadas se pueden definir de forma recursiva de la siguiente manera:

${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}). \!}$

Alternativas

No independencia

El axioma del emparejamiento generalmente se considera indiscutible y, o un equivalente, aparece en casi cualquier axiomatización de la teoría de conjuntos. Sin embargo, en la formulación estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de emparejamiento se deriva del esquema de axioma de reemplazo aplicado a cualquier conjunto dado con dos o más elementos y, por lo tanto, a veces se omite. La existencia de tal conjunto con dos elementos, como {{}, {{}}}, se puede deducir del axioma del conjunto vacío y del axioma del conjunto de poder o del axioma del infinito .

En ausencia de algunos de los axiomas de ZFC más fuertes, el axioma de emparejamiento aún puede, sin pérdida, introducirse en formas más débiles.

Más débiles

En presencia de formas estándar del esquema de axioma de separación , podemos reemplazar el axioma de emparejamiento por su versión más débil:

${\ Displaystyle \ forall A \ forall B \ existe C \ forall D ((D = A \ lor D = B) \ Rightarrow D \ in C)}$.

Este axioma débil de emparejamiento implica que cualquier objeto dado y son miembros de algún conjunto . Usando el esquema de axioma de separación podemos construir el conjunto cuyos miembros son exactamente y . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Otro axioma que implica el axioma de emparejamiento en presencia del axioma de conjunto vacío es

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ existe C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D \ in A \ lor D = B)]}$.

Se diferencia del estándar por el uso de en lugar de . El uso de {} A y X para B, obtenemos { x } para C. A continuación, utilice { x } de A y S para B , consiguiendo { x, y } para C. Uno puede seguir de esta manera para desarrollar cualquier finita colocar. Y esto podría usarse para generar todos los conjuntos finitos hereditariamente sin usar el axioma de unión . ${\ Displaystyle D \ in A}$${\ Displaystyle D = A}$

Más fuerte

Junto con el axioma de conjunto vacío y el axioma de unión , el axioma de emparejamiento se puede generalizar al siguiente esquema:

${\ Displaystyle \ forall A_ {1} \, \ ldots \, \ forall A_ {n} \, \ existe C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})]}$

es decir:

Dado cualquier número finito de objetos A ₁ a A _n , existe un conjunto C cuyos miembros son precisamente A ₁ a A _n .

Este conjunto C es nuevamente único por el axioma de extensionalidad , y se denota { A ₁ , ..., A _n }.

Por supuesto, no podemos referirnos rigurosamente a un número finito de objetos sin tener ya en nuestras manos un conjunto (finito) al que pertenecen los objetos en cuestión. Por lo tanto, esta no es una declaración única, sino un esquema , con una declaración separada para cada número natural n .

• El caso n = 1 es el axioma del emparejamiento con A = A ₁ y B = A ₁ .
• El caso n = 2 es el axioma del emparejamiento con A = A ₁ y B = A ₂ .
• Los casos n > 2 se pueden probar utilizando el axioma de emparejamiento y el axioma de unión varias veces.

Por ejemplo, para probar el caso n = 3, use el axioma de emparejamiento tres veces, para producir el par { A ₁ , A ₂ }, el singleton { A ₃ }, y luego el par {{ A ₁ , A ₂ } , { A ₃ }}. El axioma de unión produce entonces el resultado deseado, { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Podemos extender este esquema para incluir n = 0 si interpretamos ese caso como el axioma de conjunto vacío .

Por tanto, se puede utilizar esto como un esquema de axioma en lugar de los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento. Normalmente, sin embargo, uno usa los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento por separado, y luego demuestra esto como un esquema de teorema . Tenga en cuenta que adoptar esto como un esquema de axioma no reemplazará el axioma de unión , que todavía es necesario para otras situaciones.

Referencias

• Paul Halmos , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007 / bf01449999. Traducción al inglés: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigaciones en los fundamentos de la teoría de conjuntos", De Frege a Gödel: Un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 , Libros de referencia en la historia de las ciencias, Universidad de Harvard. Prensa, págs. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.