Ley del pensamiento - Law of thought

Las leyes del pensamiento son reglas axiomáticas fundamentales en las que a menudo se considera que se basa el discurso racional. La formulación y clarificación de tales reglas tiene una larga tradición en la historia de la filosofía y la lógica . Generalmente se toman como leyes que guían y subyacen en el pensamiento, pensamientos , expresiones, discusiones, etc. de todos. Sin embargo, estas ideas clásicas a menudo son cuestionadas o rechazadas en desarrollos más recientes, como la lógica intuicionista , el dialeísmo y la lógica difusa .

Según el Diccionario de Filosofía de Cambridge de 1999 , las leyes del pensamiento son leyes por las cuales o de acuerdo con las cuales procede el pensamiento válido, o que justifican la inferencia válida, o a las que toda deducción válida es reducible. Las leyes del pensamiento son reglas que se aplican sin excepción a cualquier tema de pensamiento, etc .; a veces se dice que son objeto de lógica. El término, rara vez utilizado exactamente en el mismo sentido por diferentes autores, se ha asociado durante mucho tiempo con tres expresiones igualmente ambiguas: la ley de identidad (DI), la ley de contradicción (o no contradicción; NC) y la ley de exclusión. medio (EM). A veces, estas tres expresiones se toman como proposiciones de ontología formal que tienen el tema más amplio posible, proposiciones que se aplican a entidades como tales: (ID), todo es (es decir, es idéntico a) sí mismo; (NC) ninguna cosa que tenga una cualidad determinada también tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, ningún número par es no par); (EM) todo tiene una cualidad determinada o tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, cada número es par o no par). Igualmente común en trabajos más antiguos es el uso de estas expresiones para los principios de la metalógica sobre proposiciones: (ID) toda proposición se implica a sí misma; (NC) ninguna proposición es a la vez verdadera y falsa; (EM) toda proposición es verdadera o falsa.

Desde mediados hasta finales del siglo XIX, estas expresiones se han utilizado para denotar proposiciones del álgebra booleana sobre clases: (ID) cada clase se incluye a sí misma; (NC) cada clase es tal que su intersección ("producto") con su propio complemento es la clase nula; (EM) cada clase es tal que su unión ("suma") con su propio complemento es la clase universal. Más recientemente, las dos últimas de las tres expresiones se han utilizado en conexión con la lógica proposicional clásica y con la llamada lógica proposicional prototética o cuantificada ; en ambos casos, la ley de no contradicción implica la negación de la conjunción ("y") de algo con su propia negación, ¬ (A∧¬A), y la ley del medio excluido implica la disyunción ("o") de algo con su propia negación, A∨¬A. En el caso de la lógica proposicional, el "algo" es una letra esquemática que sirve como marcador de posición, mientras que en el caso de la lógica prototética, el "algo" es una variable genuina. Las expresiones "ley de no contradicción" y "ley del medio excluido" también se utilizan para los principios semánticos de la teoría de modelos con respecto a oraciones e interpretaciones: (NC) bajo ninguna interpretación es una oración dada tanto verdadera como falsa, (EM) bajo cualquier interpretación, una oración dada es verdadera o falsa.

Todas las expresiones mencionadas anteriormente se han utilizado de muchas otras formas. También se han mencionado muchas otras proposiciones como leyes del pensamiento, incluido el dictum de omni et nullo atribuido a Aristóteles , la sustituibilidad de idénticos (o iguales) atribuidos a Euclides , la llamada identidad de indiscernibles atribuida a Gottfried Wilhelm Leibniz , y otros "verdades lógicas".

La expresión "leyes del pensamiento" ganó prominencia adicional gracias a su uso por Boole (1815-1864) para denotar teoremas de su "álgebra de lógica"; de hecho, nombró a su segundo libro de lógica Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades (1854). Los lógicos modernos, en desacuerdo casi unánime con Boole, toman esta expresión como un nombre inapropiado; Ninguna de las proposiciones anteriores clasificadas bajo "leyes del pensamiento" se refiere explícitamente al pensamiento per se, un fenómeno mental estudiado por la psicología , ni implican una referencia explícita a un pensador o conocedor como sería el caso de la pragmática o la epistemología . La distinción entre psicología (como estudio de los fenómenos mentales) y lógica (como estudio de inferencia válida) está ampliamente aceptada.

Las tres leyes tradicionales

Historia

Hamilton ofrece una historia de las tres leyes tradicionales que comienza con Platón , pasa por Aristóteles y termina con los escolásticos de la Edad Media ; además, ofrece una cuarta ley (ver la entrada a continuación, bajo Hamilton ):

" Los principios de la contradicción y del medio excluido se remontan a Platón : los principios de la contradicción y del medio excluido se remontan a Platón, por quien fueron enunciados y aplicados con frecuencia; aunque no fue hasta mucho después que de ellos obtuvieron una denominación distintiva. Para tomar primero el principio de contradicción. Esta ley la emplea con frecuencia Platón, pero los pasajes más notables se encuentran en el Phœdo, en el Sophista y en los libros cuarto y séptimo de la República. [Hamilton LECT . V. LÓGICA. 62]

Ley del Medio Excluido : La ley del Medio Excluido entre dos contradictorios remonta, como he dicho, también a Platón, aunque el Segundo Alcibíades, el diálogo en el que se expresa con mayor claridad, debe admitirse como espurio. También está en los fragmentos de Pseudo-Archytas, que se encuentran en Stobæus . [Hamilton LECT. V. LÓGICA. sesenta y cinco]

Hamilton observa además que "Aristóteles lo enuncia explícita y enfáticamente en muchos pasajes tanto de su Metafísica (l. Iii. (Iv.) C.7.) Como de su Analítica, tanto Prior (lic 2) como Posterior (1. ic 4) En el primero de ellos dice: "Es imposible que exista algún medio entre opuestos contradictorios, pero es necesario afirmar o negar todo de todo" [Hamilton LECT. V. LOGIC. sesenta y cinco]

" Ley de la identidad. [Hamilton también llama a esto" El principio de toda afirmación y definición lógica "] Antonius Andreas : La ley de la identidad, dije, no se explicó como un principio de coordenadas hasta un período relativamente reciente. He encontrado esto hecho, es Antonius Andreas , un erudito de Escoto, que floreció a fines del siglo XIII y principios del XIV. El escolar, en el cuarto libro de su Comentario de la metafísica de Aristóteles, un comentario que está lleno de los puntos de vista más ingeniosos y originales, - no sólo afirma a la ley de la identidad una dignidad coordinada con la ley de la contradicción, sino que, contra Aristóteles, sostiene que el principio de identidad, y no el principio de contradicción, es el primero absolutamente . La fórmula en la que Andreas lo expresó fue Ens est ens . Posteriormente a este autor, la cuestión relativa a la prioridad relativa de las dos leyes de la Identidad y de la Contradicción se convirtió en una agi tated en las escuelas; aunque también se encontraron algunos que afirmaron a la ley del Medio Excluido este rango supremo ". [De Hamilton LECT. V. LOGIC. 65-66]

Tres leyes tradicionales: identidad, no contradicción, medio excluido

A continuación se expondrán las tres "leyes" tradicionales en palabras de Bertrand Russell (1912):

La ley de la identidad

La ley de la identidad : "Todo lo que es, es".

Para todo a: a = a.

Con respecto a esta ley, Aristóteles escribió:

Primero, entonces esto al menos es obviamente cierto, que la palabra "ser" o "no ser" tiene un significado definido, de modo que no todo será "así y no así". De nuevo, si "hombre" tiene un significado, sea "animal de dos patas"; por tener un significado, entiendo esto: si "hombre" significa "X", entonces si A es un hombre, "X" será lo que "ser un hombre" significa para él. (No hay ninguna diferencia incluso si uno dijera que una palabra tiene varios significados, si solo están limitados en número; porque a cada definición se le podría asignar una palabra diferente. Por ejemplo, podríamos decir que "hombre" no tiene uno. es decir, pero varias, una de las cuales tendría una definición, a saber, "animal de dos patas", mientras que también podría haber varias otras definiciones si tan sólo fueran limitadas en número, porque podría asignarse un nombre peculiar a cada una de las definiciones. Sin embargo, si no estuvieran limitados, pero se dijera que la palabra tiene un número infinito de significados, obviamente el razonamiento sería imposible; porque no tener un significado es no tener significado, y si las palabras no tienen significado, nuestro razonamiento con unos a otros, y de hecho con nosotros mismos, han sido aniquilados; porque es imposible pensar en algo si no pensamos en una cosa; pero si esto es posible, se le podría asignar un nombre a esta cosa).

-  Aristóteles, Metafísica , Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross)

Más de dos milenios después, George Boole aludió al mismo principio que hizo Aristóteles cuando Boole hizo la siguiente observación con respecto a la naturaleza del lenguaje y aquellos principios que deben ser inherentes de forma natural a ellos:

Existen, en efecto, ciertos principios generales fundados en la naturaleza misma del lenguaje, por los cuales se determina el uso de los símbolos, que no son sino elementos del lenguaje científico. Hasta cierto punto, estos elementos son arbitrarios. Su interpretación es puramente convencional: se nos permite emplearlos en el sentido que queramos. Pero este permiso está limitado por dos condiciones indispensables, primero, que del sentido una vez establecido convencionalmente nunca, en el mismo proceso de razonamiento, nos separamos; en segundo lugar, que las leyes por las que se lleva a cabo el proceso se fundan exclusivamente en el sentido fijo anterior o en el significado de los símbolos empleados.

-  George Boole, Una investigación de las leyes del pensamiento

La ley de la no contradicción

La ley de la no contradicción (alternativamente la "ley de la contradicción"): "Nada puede ser y no ser al mismo tiempo".

En otras palabras: "dos o más afirmaciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo": ¬ (A ∧ ¬A).

En palabras de Aristóteles, que "no se puede decir de algo que es y que no es en el mismo sentido y al mismo tiempo". Como ilustración de esta ley, escribió:

Es imposible, entonces, que "ser un hombre" signifique precisamente no ser un hombre, si "hombre" no solo significa algo sobre un tema sino que tiene un significado ... Y no será posible ser y no ser sea ​​lo mismo, excepto en virtud de la ambigüedad, como si uno a quien llamamos "hombre" y otros llamaran "no-hombre"; pero el punto en cuestión no es si la misma cosa puede ser al mismo tiempo y no ser un hombre de nombre, sino si puede ser de hecho.

-  Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross)

La ley del medio excluido

La ley del medio excluido: "Todo debe ser o no ser".

De acuerdo con la ley del tercio medio excluido o del tercio excluido, para cada proposición, su forma positiva o negativa es verdadera: A ∨ ¬A.

Con respecto a la ley del medio excluido , Aristóteles escribió:

Pero, por otro lado, no puede haber un intermedio entre las contradictorias, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado. Esto queda claro, en primer lugar, si definimos qué son lo verdadero y lo falso. Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdad; para que el que diga de cualquier cosa que es o que no es, diga lo que es verdadero o lo que es falso

-  Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 7 (traducido por WD Ross)

Razón fundamental

Como indican las citas de Hamilton anteriores, en particular la entrada de la "ley de la identidad", la razón fundamental y la expresión de las "leyes del pensamiento" han sido un terreno fértil para el debate filosófico desde Platón. Hoy continúa el debate sobre cómo "llegamos a conocer" el mundo de las cosas y nuestros pensamientos; para obtener ejemplos de fundamentos, consulte las entradas a continuación.

Platón

En uno de los diálogos socráticos de Platón , Sócrates describió tres principios derivados de la introspección :

Primero, que nada puede volverse mayor o menor, ya sea en número o en magnitud, sin dejar de ser igual a sí mismo ... En segundo lugar, que sin adición o sustracción no hay aumento o disminución de nada, sino sólo igualdad ... En tercer lugar, que lo que no era antes no puede ser después, sin devenir y haber llegado a ser.

-  Platón , Theaetetus , 155

Lógica india

La ley de la no contradicción se encuentra en la lógica india antigua como una meta-regla en los Shrauta Sutras , la gramática de Pāṇini y los Brahma Sutras atribuidos a Vyasa . Posteriormente fue elaborado por comentaristas medievales como Madhvacharya .

Locke

John Locke afirmó que los principios de identidad y contradicción (es decir, la ley de identidad y la ley de no contradicción) eran ideas generales y solo se les ocurrían a la gente después de un considerable pensamiento filosófico abstracto. Caracterizó el principio de identidad como "Todo lo que es, es". Afirmó el principio de contradicción como "Es imposible que una misma cosa sea y no sea". Para Locke, estos no eran principios innatos ni a priori .

Leibniz

Gottfried Leibniz formuló dos principios adicionales, uno o ambos de los cuales a veces pueden contarse como una ley del pensamiento:

• principio de razón suficiente
• identidad de indiscernibles

En el pensamiento de Leibniz, así como en general en el enfoque del racionalismo , los dos últimos principios se consideran axiomas claros e incontestables . Fueron ampliamente reconocidos en el pensamiento europeo de los siglos XVII, XVIII y XIX, aunque fueron objeto de un mayor debate en el siglo XIX. Como resultó ser el caso de la ley de continuidad , estas dos leyes involucran asuntos que, en términos contemporáneos, están sujetos a mucho debate y análisis (respectivamente sobre determinismo y extensionalidad ). Los principios de Leibniz fueron particularmente influyentes en el pensamiento alemán. En Francia, la lógica de Port-Royal se dejó llevar menos por ellos. Hegel se peleó con la identidad de los indiscernibles en su Ciencia de la lógica (1812-1816).

Schopenhauer

Cuatro leyes

"Las leyes primarias del pensamiento, o las condiciones de lo pensable, son cuatro: 1. La ley de la identidad [A es A]. 2. La ley de la contradicción. 3. La ley de la exclusión; o el medio excluido. 4. La ley de la razón suficiente ". (Thomas Hughes, La teoría ideal de Berkeley y el mundo real , Parte II, Sección XV, nota al pie, p. 38 )

Arthur Schopenhauer discutió las leyes del pensamiento y trató de demostrar que son la base de la razón. Los enumeró de la siguiente manera en su Sobre la raíz cuádruple del principio de razón suficiente , §33:

1. Un sujeto es igual a la suma de sus predicados, o a = a.
2. Ningún predicado puede atribuirse y negarse simultáneamente a un sujeto, o un ≠ ~ a.
3. De cada dos predicados contradictoriamente opuestos, uno debe pertenecer a todos los sujetos.
4. La verdad es la referencia de un juicio a algo externo a él como su razón o fundamento suficiente.

También:

Las leyes del pensamiento pueden expresarse de la manera más inteligible así:

1. Todo lo que es, existe.
2. Nada puede ser y no ser simultáneamente.
3. Todas y cada una de las cosas son o no lo son.
4. De todo lo que es, se puede encontrar por qué es.

Entonces habría que añadir sólo el hecho de que, de una vez por todas, en lógica, la cuestión es sobre lo que se piensa y, por tanto, sobre conceptos y no sobre cosas reales.

-  Schopenhauer, Manuscript Remains , vol. 4, "Pandectae II", §163

Para demostrar que son el fundamento de la razón , dio la siguiente explicación:

A través de una reflexión, que podría llamar un autoexamen de la facultad de la razón, sabemos que estos juicios son la expresión de las condiciones de todo pensamiento y, por tanto, las tienen como fundamento. Así, al hacer vanos intentos de pensar en oposición a estas leyes, la facultad de la razón las reconoce como las condiciones de posibilidad de todo pensamiento. Entonces descubrimos que es tan imposible pensar en oposición a ellos como lo es mover nuestras extremidades en una dirección contraria a sus articulaciones. Si el sujeto pudiera conocerse a sí mismo, deberíamos conocer esas leyes inmediatamente , y no primero a través de experimentos con objetos, es decir, representaciones (imágenes mentales).

-  Schopenhauer, Sobre la raíz cuádruple del principio de razón suficiente , §33

Las cuatro leyes de Schopenhauer se pueden presentar esquemáticamente de la siguiente manera:

1. A es A.
2. A no es no-A.
3. X es A o no-A.
4. Si A entonces B (A implica B).

Dos leyes

Más tarde, en 1844, Schopenhauer afirmó que las cuatro leyes del pensamiento podían reducirse a dos. En el noveno capítulo del segundo volumen de El mundo como voluntad y representación , escribió:

Me parece que la doctrina de las leyes del pensamiento podría simplificarse si tuviéramos que establecer solo dos, la ley del medio excluido y la de la razón suficiente. El primero así: "Todo predicado puede ser confirmado o negado de todo sujeto". Aquí ya está contenido en el "uno u otro" que ambos no pueden ocurrir simultáneamente y, en consecuencia, exactamente lo que expresan las leyes de la identidad y la contradicción. Así, estos se agregarían como corolarios de ese principio que realmente dice que cada dos esferas conceptuales deben ser consideradas como unidas o separadas, pero nunca como ambas a la vez; y por tanto, aunque se unan palabras que expresan esto último, estas palabras afirman un proceso de pensamiento que no se puede llevar a cabo. La conciencia de esta inviabilidad es el sentimiento de contradicción. La segunda ley del pensamiento, el principio de razón suficiente, afirmaría que la atribución o refutación anterior debe ser determinada por algo diferente al juicio mismo, que puede ser una percepción (pura o empírica), o simplemente otro juicio. Esta otra cosa diferente se llama entonces fundamento o razón del juicio. En la medida en que un juicio satisface la primera ley del pensamiento, es pensable; en la medida en que satisface el segundo, es verdadero, o al menos en el caso en el que el fundamento de un juicio es sólo otro juicio, es lógica o formalmente verdadero.

Boole (1854): De sus "leyes de la mente", Boole deriva la "Ley de contradicción" de Aristóteles.

El título del tratado de lógica de George Boole de 1854, Una investigación sobre las leyes del pensamiento , indica un camino alternativo. Las leyes están ahora incorporadas en una representación algebraica de sus "leyes de la mente", perfeccionadas a lo largo de los años en el álgebra booleana moderna .

Justificación: cómo se deben distinguir las "leyes de la mente"

Boole comienza su capítulo I "Naturaleza y diseño de esta obra" con una discusión de qué característica distingue, en general, las "leyes de la mente" de las "leyes de la naturaleza":

"Las leyes generales de la naturaleza no son, en su mayor parte, objetos inmediatos de percepción. O son inferencias inductivas de un gran cuerpo de hechos, la verdad común en la que expresan, o, al menos en su origen, hipótesis físicas de una naturaleza causal ... Son en todos los casos, y en el sentido más estricto del término, conclusiones probables, acercándose, de hecho, cada vez más cerca de la certeza, a medida que reciben cada vez más la confirmación de la experiencia ... . "

En contraste con esto están lo que él llama "leyes de la mente": Boole afirma que estas son conocidas en su primera instancia, sin necesidad de repetición:

"Por otra parte, el conocimiento de las leyes de la mente no requiere como base ninguna colección extensa de observaciones. La verdad general se ve en el caso particular, y no se confirma por la repetición de casos ... no sólo vemos en el ejemplo particular la verdad general, sino que también la vemos como una cierta verdad, una verdad, en la que nuestra confianza no seguirá aumentando con la experiencia creciente de su verificación práctica ". (Boole 1854: 4)

Los signos de Boole y sus leyes.

Boole comienza con la noción de "signos" que representan "clases", "operaciones" e "identidad":

"Todos los signos del Lenguaje, como instrumento de razonamiento, pueden ser conducidos por un sistema de signos compuesto por los siguientes elementos

"Primeros símbolos literales como x, y, etc.que representan cosas como sujetos de nuestras concepciones,

"2º Signos de operación, como +, -, x representando aquellas operaciones de la mente por las cuales las concepciones de las cosas se combinan o resuelven para formar nuevas concepciones que involucran los mismos elementos,

"3º El signo de identidad, =.

Y estos símbolos de la lógica están sujetos en su uso a leyes definidas, en parte de acuerdo y en parte difiriendo de las leyes de los símbolos correspondientes en la ciencia del álgebra. (Boole 1854: 27)

Boole luego aclara qué representa un "símbolo literal", por ejemplo, x, y, z, ..., un nombre aplicado a una colección de instancias en "clases". Por ejemplo, "pájaro" representa a toda la clase de criaturas de sangre caliente aladas y emplumadas. Para sus propósitos, extiende la noción de clase para representar la pertenencia a "uno", o "nada", o "el universo", es decir, la totalidad de todos los individuos:

"Acordemos entonces representar la clase de individuos a los que se aplica un nombre o descripción en particular, con una sola letra, como z. o descripción puede ser aplicada; pero en este trabajo el significado del término se ampliará para incluir el caso en el que existe un solo individuo, respondiendo al nombre o descripción requerida, así como los casos denotados por los términos " nada "y" universo ", que como" clases "debe entenderse que comprenden, respectivamente, 'ningún ser', 'todos los seres'" (Boole 1854: 28).

Luego define lo que significa la cadena de símbolos, por ejemplo, xy [lógica moderna &, conjunción]:

"Queda de acuerdo además, que por la combinación xy se representará la clase de cosas a las que los nombres o descripciones representadas por xey son simultáneamente aplicables. Así, si x solo significa" cosas blancas ", ey para "oveja", deje que xy represente 'oveja blanca' "(Boole 1854: 28)

Dadas estas definiciones, ahora enumera sus leyes con su justificación más ejemplos (derivados de Boole):

• (1) xy = yx [ley conmutativa]

"x representa 'estuarios' ey 'ríos', las expresiones xy e yx representarán indistintamente" 'ríos que son estuarios' o 'estuarios que son ríos' "

• (2) xx = x, alternativamente x ² = x [Identidad absoluta de significado, "ley fundamental del pensamiento" de Boole, véase la página 49]

"Así, 'buenos, buenos' hombres, equivale a 'buenos' hombres".

OR lógico : Boole define la "recopilación de partes en un todo o separar un todo en sus partes" (Boole 1854: 32). Aquí el conectivo "y" se usa disyuntivamente, como es "o"; presenta una ley conmutativa (3) y una ley distributiva (4) para la noción de "recaudación". La noción de separar una parte del todo la simboliza con la operación "-"; define una ley conmutativa (5) y distributiva (6) para esta noción:

• (3) y + x = x + y [ley conmutativa]

Por tanto, la expresión 'hombres y mujeres' es ... equivalente a la expresión 'mujeres y hombres'. Deje que x represente 'hombres', y, 'mujeres' y deje que + represente 'y' y 'o' ... "

• (4) z (x + y) = zx + zy [ley distributiva]

z = europeo, (x = "hombres, y = mujeres): hombres y mujeres europeos = hombres europeos y mujeres europeas

• (5) x - y = −y + x [ley de conmutación: separar una parte del todo]

"Todos los hombres (x) excepto los asiáticos (y)" está representado por x - y. "Todos los estados (x) excepto los estados monárquicos (y)" está representado por x - y

• (6) z (x - y) = zx - zy [ley distributiva]

Por último, hay una noción de "identidad" simbolizada por "=". Esto permite dos axiomas: (axioma 1): igual sumado a igual da como resultado igual, (axioma 2): igual restado de igual da como resultado igual.

• (7) Identidad ("es", "son") por ejemplo, x = y + z, "estrellas" = "soles" y "los planetas"

Nada "0" y Universo "1" : Observa que los únicos dos números que satisfacen xx = x son 0 y 1. Luego observa que 0 representa "Nada" mientras que "1" representa el "Universo" (del discurso).

El NOT lógico : Boole define el contrario (NOT lógico) de la siguiente manera (su Proposición III):

"Si x representa cualquier clase de objetos, entonces 1 - x representará la clase de objetos contraria o complementaria, es decir, la clase que incluye todos los objetos que no están comprendidos en la clase x" (Boole 1854: 48)

Si x = "hombres", entonces "1 - x" representa el "universo" menos "hombres", es decir, "no hombres".

La noción de particular en oposición a universal : Para representar la noción de "algunos hombres", Boole escribe la letra minúscula "v" antes del predicado-símbolo "vx" algunos hombres.

OR exclusivo e inclusivo : Boole no usa estos nombres modernos, pero los define de la siguiente manera x (1-y) + y (1-x) y x + y (1-x), respectivamente; éstos concuerdan con las fórmulas derivadas por medio del álgebra booleana moderna.

Boole deriva la ley de la contradicción

Armado con su "sistema" deriva el "principio de [no] contradicción" a partir de su ley de identidad: x ² = x. Resta x de ambos lados (su axioma 2), obteniendo x ² - x = 0. Luego, factoriza x: x (x - 1) = 0. Por ejemplo, si x = "hombres", entonces 1 - x representa NO-hombres. Entonces tenemos un ejemplo de la "Ley de la contradicción":

"Por lo tanto: x (1 - x) representará la clase cuyos miembros son a la vez" hombres "y" no hombres ", y la ecuación [x (1 - x) = 0] expresará así el principio de que una clase cuyo los miembros son al mismo tiempo hombres y no hombres no existe. En otras palabras, que es imposible que un mismo individuo sea al mismo tiempo un hombre y no un hombre ... esto es idénticamente que "principio de contradicción "que Aristóteles ha descrito como el axioma fundamental de toda filosofía ... lo que se ha considerado comúnmente como el axioma fundamental de la metafísica no es sino la consecuencia de una ley del pensamiento, matemática en su forma". (con más explicación sobre esta "dicotomía" se produce cf Boole 1854: 49ff)

Boole define la noción "dominio (universo) del discurso"

Esta noción se encuentra a lo largo de las "Leyes del pensamiento" de Boole, por ejemplo, 1854: 28, donde el símbolo "1" (el número entero 1) se usa para representar "Universo" y "0" para representar "Nada", y con mucho más detalle más adelante. (páginas 42 y siguientes):

"Ahora bien, cualquiera que sea la extensión del campo en el que se encuentran todos los objetos de nuestro discurso, ese campo puede denominarse propiamente el universo del discurso ... Además, este universo del discurso es, en el sentido más estricto, el sujeto último. del discurso ".

En su capítulo "El cálculo de predicados", Kleene observa que la especificación del "dominio" del discurso "no es una suposición trivial, ya que no siempre se satisface claramente en el discurso ordinario ... igualmente en matemáticas, la lógica puede volverse bastante resbaladiza cuando no se ha especificado ningún [dominio] D explícita o implícitamente, o la especificación de un [dominio] D es demasiado vaga (Kleene 1967: 84).

Hamilton (1837-1838 conferencias sobre lógica, publicado en 1860): una cuarta "Ley de la razón y la consecuencia"

Como se señaló anteriormente, Hamilton especifica cuatro leyes, las tres tradicionales más la cuarta "Ley de la razón y la consecuencia", de la siguiente manera:

"XIII. Las Leyes Fundamentales del Pensamiento, o las condiciones de lo pensable, como se recibe comúnmente, son cuatro: 1. La Ley de la Identidad; 2. La Ley de la Contradicción; 3. La Ley de la Exclusión o del Medio Excluido; y , 4. La Ley de la Razón y la Consecuente, o de la Razón Suficiente ".

Justificación: "La lógica es la ciencia de las leyes del pensamiento como pensamiento"

Hamilton opina que el pensamiento se presenta en dos formas: "necesario" y "contingente" (Hamilton 1860: 17). Con respecto a la forma "necesaria", define su estudio como "lógica": "La lógica es la ciencia de las formas necesarias de pensamiento" (Hamilton 1860: 17). Para definir "necesario", afirma que implica las siguientes cuatro "cualidades":

(1) "determinado o necesario por la naturaleza del sujeto pensante mismo ... está determinado subjetivamente, no objetivamente;

(2) "original y no adquirido;

(3) "universal; es decir, no puede ser que necesite en algunas ocasiones y no necesite en otras".

(4) "debe ser una ley; porque una ley es la que se aplica a todos los casos sin excepción, y de la cual una desviación es siempre, y en todas partes, imposible o, al menos, no permitida ... Esta última condición, Asimismo, nos permite dar la enunciación más explícita del objeto-materia de la Lógica, al decir que la Lógica es la ciencia de las Leyes del Pensamiento como Pensamiento, o la ciencia de las Leyes Formales del Pensamiento, o la ciencia de las Leyes del Pensamiento. la Forma del Pensamiento, pues todas estas son meras expresiones diversas de la misma cosa ".

Cuarta ley de Hamilton: "No infiera nada sin fundamento o razón"

Aquí está la cuarta ley de Hamilton de su LECT. V. LÓGICA. 60–61:

"Paso ahora a la cuarta ley.

" Par. XVII. Ley de la Razón Suficiente, o de la Razón y Consecuente :

"XVII. El pensamiento de un objeto, como realmente se caracteriza por atributos positivos o negativos, no se deja al capricho de la comprensión - la facultad del pensamiento; pero esa facultad debe ser necesaria para este o aquel acto determinado de pensar por un conocimiento de algo diferente e independiente del proceso de pensar en sí. Esta condición de nuestro entendimiento está expresada por la ley, como se le llama, de la Razón Suficiente ( principium Rationis Sufficientis ); pero es más propiamente denominada la ley de la Razón y Consecuente ( principium Rationis et Consecutionis ) .Ese conocimiento por el cual la mente es necesaria para afirmar o postular algo más, se llama el fundamento o antecedente de la razón lógica ; ese algo más que la mente debe afirmar o postular, se llama el consecuente lógico ; y la relación entre la razón y el consecuente, se llama conexión lógica o consecuencia . Esta ley se expresa en la fórmula - No inferir nada sin un fundamento o razón. ¹

Relaciones entre Razón y Consecuente : Las relaciones entre Razón y Consecuente, cuando se comprenden en un pensamiento puro, son las siguientes:

1. Cuando se da una razón explícita o implícitamente, entonces debe ¶ existir un consecuente; y viceversa , cuando se da un consecuente, también debe existir una razón.

¹ Ver Schulze, Logik , §19, y Krug, Logik , §20, - ED.

2. Donde no hay razón, no puede haber consecuencia; y viceversa , donde no hay consecuente (implícita o explícitamente) no puede haber razón. Es decir, los conceptos de razón y de consecuente, como recíprocamente relativos, se involucran y se suponen mutuamente.

El significado lógico de esta ley : El significado lógico de la ley de Razón y Consecuente radica en esto, - Que en virtud de ella, el pensamiento se constituye en una serie de actos todos indisolublemente conectados; cada uno necesariamente infiere al otro. Así es que la distinción y oposición de materia posible, actual y necesaria, que ha sido introducida en la Lógica, es una doctrina totalmente ajena a esta ciencia.

Welton

En el siglo XIX, las leyes aristotélicas del pensamiento, así como a veces las leyes leibnizianas del pensamiento, eran material estándar en los libros de texto de lógica, y J. Welton las describió de esta manera:

Las Leyes del Pensamiento, los Principios Reguladores del Pensamiento o los Postulados del Conocimiento, son aquellas leyes fundamentales, necesarias, formales y a priori mentales de acuerdo con las cuales todo pensamiento válido debe llevarse a cabo. Son a priori, es decir, resultan directamente de los procesos de la razón ejercida sobre los hechos del mundo real. Son formales; porque como las leyes necesarias de todo pensamiento, no pueden, al mismo tiempo, determinar las propiedades definidas de una clase particular de cosas, porque es opcional si pensamos en esa clase de cosas o no. Son necesarias, porque nadie jamás las piensa, ni puede, concebirlas al revés, ni violarlas realmente, porque nadie acepta jamás una contradicción que se le presente como tal.

-  Welton, Manual de lógica , 1891, vol. Yo, p. 30.

Russell (1903-1927)

La secuela de "Los principios de las matemáticas" de Bertrand Russell de 1903 se convirtió en el trabajo de tres volúmenes llamado Principia Mathematica (en adelante PM), escrito en conjunto con Alfred North Whitehead . Inmediatamente después de que él y Whitehead publicaran PM, escribió su libro de 1912 "Los problemas de la filosofía". Sus "Problemas" reflejan "las ideas centrales de la lógica de Russell".

Los principios de las matemáticas (1903)

En sus "Principios" de 1903, Russell define la lógica simbólica o formal (utiliza los términos como sinónimos) como "el estudio de los diversos tipos generales de deducción" (Russell 1903: 11). Afirma que "la lógica simbólica se ocupa esencialmente de la inferencia en general" (Russell 1903: 12) y con una nota al pie de página indica que no distingue entre inferencia y deducción ; además, considera que la inducción "es una deducción encubierta o un mero método de hacer conjeturas plausibles" (Russell 1903: 11). Esta opinión cambiará en 1912, cuando considere que su "principio de inducción" está a la altura de los diversos "principios lógicos" que incluyen las "Leyes del pensamiento".

En su Parte I "Los indefinibles de las matemáticas" Capítulo II "Lógica simbólica" Parte A "El cálculo proposicional" Russell reduce la deducción ("cálculo proposicional") a 2 "indefinibles" y 10 axiomas:

17. Requerimos, entonces, en el cálculo proposicional, no indefinible excepto los dos tipos de implicación [simple también conocida como "material" y "formal"] - recordando, sin embargo, que la implicación formal es una noción compleja, cuyo análisis queda por hacer. En lo que respecta a nuestros dos indefinibles, necesitamos ciertas proposiciones indemostrables, que hasta ahora no he logrado reducir a menos de diez (Russell 1903: 15).

De estas afirma poder derivar la ley del medio excluido y la ley de la contradicción, pero no exhibe sus derivaciones (Russell 1903: 17). Posteriormente, él y Whitehead perfeccionaron estos "principios primitivos" y axiomas en los nueve encontrados en PM, y aquí Russell realmente exhibe estas dos derivaciones en ❋1.71 y ❋3.24, respectivamente.

Los problemas de la filosofía (1912)

En 1912 Russell en sus "Problemas" presta mucha atención a la "inducción" (razonamiento inductivo) así como a la "deducción" (inferencia), las cuales representan solo dos ejemplos de "principios lógicos evidentes" que incluyen las "Leyes de Pensamiento."

Principio de inducción : Russell dedica un capítulo a su "principio de inducción". Él lo describe como que viene en dos partes: en primer lugar, como una colección repetida de evidencia (sin fallas de asociación conocidas) y, por lo tanto, una probabilidad creciente de que siempre que ocurra A, B siga; en segundo lugar, en un nuevo caso en el que efectivamente ocurra A, B seguirá de hecho: es decir, "un número suficiente de casos de asociación hará que la probabilidad de una nueva asociación sea casi una certeza, y la acercará a la certeza sin límite".

Luego recopila todos los casos (instancias) del principio de inducción (por ejemplo, caso 1: A ₁ = "el sol naciente", B ₁ = "el cielo del este"; caso 2: A ₂ = "el sol poniente", B ₂ = "el cielo occidental"; caso 3: etc.) en una ley de inducción "general" que expresa de la siguiente manera:

"(a) Cuanto mayor sea el número de casos en los que una cosa del tipo A se ha encontrado asociada con una cosa del tipo B, más probable es (si se conocen casos de falla de asociación) que A esté siempre asociado con B;

"(b) En las mismas circunstancias, un número suficiente de casos de asociación de A con B hará que sea casi seguro que A siempre está asociado con B, y hará que esta ley general se acerque a la certeza sin límite".

Argumenta que este principio de inducción no puede ser refutado ni probado por la experiencia, el fracaso de la refutación ocurre porque la ley se ocupa de la probabilidad de éxito en lugar de la certeza; la falla de la prueba se debe a casos no examinados que aún no se han experimentado, es decir, que ocurrirán (o no) en el futuro. "Por lo tanto, debemos aceptar el principio inductivo sobre la base de su evidencia intrínseca, o renunciar a toda justificación de nuestras expectativas sobre el futuro".

En su próximo capítulo ("Sobre nuestro conocimiento de los principios generales") Russell ofrece otros principios que tienen esta propiedad similar: "que no pueden ser probados o refutados por la experiencia, sino que se utilizan en argumentos que parten de lo experimentado". Afirma que estos "tienen una evidencia aún mayor que el principio de inducción ... el conocimiento de ellos tiene el mismo grado de certeza que el conocimiento de la existencia de datos sensoriales. Constituyen los medios para extraer inferencias de lo que se da en sensación".

Principio de inferencia : Russell ofrece un ejemplo que él llama principio "lógico". Dos veces anteriormente ha afirmado este principio, primero como el 4º axioma en su 1903 y luego como su primera "proposición primitiva" de PM: "❋1.1 Todo lo que implica una proposición elemental verdadera es verdadero". Ahora lo repite en su 1912 en una forma refinada: "Así, nuestro principio establece que si esto implica eso, y esto es cierto, entonces eso es cierto. En otras palabras, 'todo lo que implica una proposición verdadera es verdadero', o ' todo lo que se sigue de una proposición verdadera es verdadero. »En este principio pone gran énfasis, afirmando que" este principio está realmente involucrado - al menos, instancias concretas de él están involucrados - en todas las demostraciones ".

No llama a su principio de inferencia modus ponens , pero su expresión formal y simbólica del mismo en PM (2ª edición, 1927) es la de modus ponens ; la lógica moderna llama a esto una "regla" en oposición a una "ley". En la cita que sigue, el símbolo "⊦" es el "signo de aserción" (cf PM: 92); "⊦" significa "es cierto que", por lo tanto "⊦p" donde "p" es "el sol está saliendo" significa "es cierto que el sol está saliendo", alternativamente "La afirmación 'El sol está saliendo' es cierto". El símbolo de "implicación" "⊃" se lee comúnmente "si p entonces q", o "p implica q" (cf PM: 7). Incrustadas en esta noción de "implicación" hay dos "ideas primitivas", "la Función Contradictoria" (simbolizada por NOT, "~") y "la Suma Lógica o Disyunción" (simbolizada por OR, "⋁"); estos aparecen como "proposiciones primitivas" ❋1.7 y ❋1.71 en PM (PM: 97). Con estas dos "proposiciones primitivas" Russell define "p ⊃ q" para tener la equivalencia lógica formal "NOT-p OR q" simbolizada por "~ p ⋁ q":

" Inferencia . El proceso de inferencia es el siguiente: se afirma una proposición" p "y se afirma una proposición" p implica q ", y luego, como secuela, se afirma la proposición" q ". La confianza en la inferencia es la creencia que si las dos afirmaciones anteriores no son erróneas, la afirmación final no es errónea. En consecuencia, siempre que, en símbolos, donde pyq tengan, por supuesto, una determinación especial

"" ⊦p "y" ⊦ (p ⊃ q) "

"han ocurrido, entonces" ⊦q "ocurrirá si se desea que se registre. El proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de" ⊦q ". ... Una inferencia es el abandono de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación ".

En otras palabras, en una larga "cadena" de inferencias, después de cada inferencia podemos separar el "consecuente" "⊦q" de la cadena de símbolos "⊦p, ⊦ (p⊃q)" y no llevar estos símbolos hacia adelante en un cadena de símbolos cada vez más larga.

Las tres "leyes" (principios) tradicionales del pensamiento : Russell continúa afirmando otros principios, de los cuales el principio lógico anterior es "sólo uno". Afirma que "algunos de estos deben concederse antes de que cualquier argumento o prueba sea posible. Cuando algunos de ellos han sido concedidos, otros pueden probarse". De estas diversas "leyes", afirma que "sin muy buena razón, tres de estos principios han sido señalados por la tradición bajo el nombre de 'Leyes del Pensamiento'. Y los enumera de la siguiente manera:

"(1) La ley de la identidad : 'Todo lo que es, es'.

(2) La ley de la contradicción : "Nada puede ser y no ser al mismo tiempo".

(3) La ley del medio excluido : 'Todo debe ser o no ser' ".

Justificación : Russell opina que "el nombre 'leyes del pensamiento' es ... engañoso, porque lo importante no es el hecho de que pensemos de acuerdo con estas leyes, sino el hecho de que las cosas se comporten de acuerdo con ellas; en otras palabras , el hecho de que cuando pensamos de acuerdo con ellos pensamos verdaderamente ". Pero califica esta como una "gran pregunta" y la expande en dos capítulos siguientes, donde comienza con una investigación de la noción de conocimiento "a priori" (innato, incorporado), y finalmente llega a su aceptación del "mundo platónico". de universales ". En su investigación, vuelve de vez en cuando a las tres leyes tradicionales del pensamiento, destacando la ley de la contradicción en particular: "La conclusión de que la ley de la contradicción es una ley del pensamiento es, sin embargo, errónea ... [más bien], la la ley de la contradicción se refiere a las cosas, y no meramente a los pensamientos ... un hecho relativo a las cosas del mundo ".

Su argumento comienza con la afirmación de que las tres leyes tradicionales del pensamiento son "muestras de principios autoevidentes". Para Russell, la cuestión de lo "evidente por sí mismo" simplemente introduce la cuestión más amplia de cómo obtenemos nuestro conocimiento del mundo. Cita la "controversia histórica ... entre las dos escuelas llamadas respectivamente 'empiristas' [ Locke , Berkeley y Hume ] y 'racionalistas' [ Descartes y Leibniz ]" (estos filósofos son sus ejemplos). Russell afirma que los racionalistas "sostenían que, además de lo que conocemos por experiencia, hay ciertas 'ideas innatas' y 'principios innatos', que conocemos independientemente de la experiencia"; Para eliminar la posibilidad de que los bebés tengan un conocimiento innato de las "leyes del pensamiento", Russell cambia el nombre de este tipo de conocimiento a priori . Y aunque Russell está de acuerdo con los empiristas en que "no se puede saber que exista nada excepto con la ayuda de la experiencia", también está de acuerdo con los racionalistas en que algún conocimiento es a priori , específicamente "las proposiciones de la lógica y las matemáticas puras, así como las proposiciones fundamentales de la ética ".

Esta pregunta de cómo puede existir tal conocimiento a priori dirige a Russell a una investigación sobre la filosofía de Immanuel Kant , que después de una cuidadosa consideración rechaza de la siguiente manera:

"... hay una objeción principal que parece fatal para cualquier intento de abordar el problema del conocimiento a priori mediante su método. Lo que hay que explicar es nuestra certeza de que los hechos deben ajustarse siempre a la lógica y la aritmética ... Así, la solución de Kant limita indebidamente el alcance de las proposiciones a priori , además de fracasar en el intento de explicar su certeza ”.

Sus objeciones a Kant llevan entonces a Russell a aceptar la 'teoría de las ideas' de Platón , "en mi opinión ... uno de los intentos más exitosos hasta ahora hechos"; afirma que "... debemos examinar nuestro conocimiento de los universales ... donde encontraremos que [esta consideración] resuelve el problema del conocimiento a priori ".

Principia Mathematica (Parte I: Primera edición de 1910, Segunda edición de 1927)

Desafortunadamente, los "Problemas" de Russell no ofrecen un ejemplo de un "conjunto mínimo" de principios que se aplicarían al razonamiento humano, tanto inductivo como deductivo. Pero PM proporciona al menos un conjunto de ejemplos (pero no el mínimo; ver Post a continuación) que es suficiente para el razonamiento deductivo por medio del cálculo proposicional (en oposición al razonamiento por medio del cálculo de predicados más complicado ): un total de 8 principios al comienzo de la "Parte I: Lógica matemática". Cada una de las fórmulas: ❋1.2 a: ❋1.6 es una tautología (verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de p, q, r ...). Lo que falta en el tratamiento de PM es una regla formal de sustitución; en su tesis doctoral de 1921, Emil Post corrige esta deficiencia (ver Post a continuación). A continuación, las fórmulas están escritas en un formato más moderno que el utilizado en PM; los nombres se dan en PM).

❋1.1 Todo lo que esté implícito en una proposición elemental verdadera es verdadero.

❋1.2 Principio de tautología: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 Principio de suma [lógica]: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 Principio de permutación: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ redundante ]

❋1.6 Principio de suma [lógica]: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [NOT lógico]: Si p es una proposición elemental, ~ p es una proposición elemental.

❋1.71 [OR lógico inclusivo]: Si pyq son proposiciones elementales, (p ⋁ q) es una proposición elemental.

Russell resume estos principios con "Esto completa la lista de proposiciones primitivas requeridas para la teoría de la deducción aplicada a proposiciones elementales" (PM: 97).

Partiendo de estas ocho tautologías y de un uso tácito de la "regla" de sustitución, PM luego deriva más de cien fórmulas diferentes, entre las cuales se encuentran la Ley del Medio Excluido ❋1.71 y la Ley de Contradicción ❋3.24 (esta última requiere una definición de AND lógico simbolizado por el moderno ⋀: (p ⋀ q) = _def ~ (~ p ⋁ ~ q). (PM usa el símbolo de "punto" _▪ para AND lógico)).

Ladd-Franklin (1914): "principio de exclusión" y "principio de agotamiento"

Aproximadamente al mismo tiempo (1912) en que Russell y Whitehead estaban terminando el último volumen de sus Principia Mathematica, y la publicación de "The Problems of Philosophy" de Russell, al menos dos lógicos ( Louis Couturat , Christine Ladd-Franklin ) estaban afirmando que dos Las "leyes" (principios) de la contradicción "y el" medio excluido "son necesarios para especificar las" contradictorias "; Ladd-Franklin renombró estos principios de exclusión y agotamiento . Lo siguiente aparece como una nota al pie de página en la página 23 de Couturat 1914:

"Como verdaderamente ha señalado la Sra. LADD · FRANKLIN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artículo" Laws of Thought "), el principio de contradicción no es suficiente para definir las contradictorias; debe agregarse el principio del medio excluido que igualmente merece el nombre de principio de contradicción, por lo que la señora LADD-FRANKLIN propone denominarlos respectivamente principio de exclusión y principio de agotamiento, ya que, según el primero, dos términos contradictorios son exclusivos (el uno del otro); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso) ".

En otras palabras, la creación de "contradictorias" representa una dicotomía , es decir, la "escisión" de un universo de discurso en dos clases (colecciones) que tienen las siguientes dos propiedades: son (i) mutuamente excluyentes y (ii) (colectivamente ) exhaustivo. En otras palabras, ninguna cosa (extraída del universo del discurso) puede ser simultáneamente miembro de ambas clases (ley de no contradicción), pero [y] cada cosa (en el universo del discurso) debe ser miembro de una clase u otra (ley del medio excluido).

Post (1921): El cálculo proposicional es consistente y completo

Como parte de su tesis doctoral "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales", Emil Post demostró que "el sistema de proposiciones elementales de Principia [PM]" es decir, su "cálculo proposicional" descrito por las primeras 8 "proposiciones primitivas" de PM es consistente . La definición de "consistente" es la siguiente: que por medio del "sistema" deductivo en cuestión (sus axiomas declarados, leyes, reglas) es imposible derivar (mostrar) tanto una fórmula S como su ~ S contradictorio (es decir, su lógica negación) (Nagel y Newman 1958: 50). Para demostrar esto formalmente, Post tuvo que agregar una proposición primitiva a las 8 proposiciones primitivas de PM, una "regla" que especificaba la noción de "sustitución" que faltaba en el PM original de 1910.

Dado el pequeño conjunto de "proposiciones primitivas" de PM y la prueba de su consistencia, Post luego prueba que este sistema ("cálculo proposicional" de PM) está completo , lo que significa que todas las tablas de verdad posibles pueden generarse en el "sistema":

"... todo sistema de verdad tiene una representación en el sistema de Principia mientras que todo sistema completo, es decir, uno que tiene todas las tablas de verdad posibles, es equivalente a él ... Así vemos que los sistemas completos son equivalentes al sistema de Principia no sólo en el desarrollo de la tabla de verdad, sino también postulativamente. Como otros sistemas son en cierto sentido formas degeneradas de sistemas completos, podemos concluir que no se introducen nuevos sistemas lógicos ".

¿Un conjunto mínimo de axiomas? El asunto de su independencia

Luego está la cuestión de la "independencia" de los axiomas. En su comentario antes de Post 1921, van Heijenoort afirma que Paul Bernays resolvió el asunto en 1918 (pero publicado en 1926) - la fórmula ❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) puede demostrarse con los otros cuatro. En cuanto a qué sistema de "proposiciones primitivas" es el mínimo, van Heijenoort afirma que el asunto fue "investigado por Zylinski (1925), el propio Post (1941) y Wernick (1942)", pero van Heijenoort no responde a la pregunta.

Teoría de modelos versus teoría de la prueba: prueba de Post

Kleene (1967: 33) observa que la "lógica" se puede "fundamentar" de dos maneras, primero como una "teoría modelo", o en segundo lugar mediante una "prueba" formal o "teoría axiomática"; "las dos formulaciones, la de la teoría de modelos y la de la teoría de la prueba, dan resultados equivalentes" (Kleene 1967: 33). Esta elección fundamental y su equivalencia también se aplica a la lógica de predicados (Kleene 1967: 318).

En su introducción a Post 1921, van Heijenoort observa que tanto la "tabla de verdad como los enfoques axiomáticos están claramente presentados". Este asunto de una prueba de consistencia en ambos sentidos (por una teoría de modelo, por una teoría de prueba axiomática) surge en la versión más agradable de la prueba de consistencia de Post que se puede encontrar en Nagel y Newman 1958 en su capítulo V "Un ejemplo de una Exitosa prueba absoluta de coherencia ". En el cuerpo principal del texto usan un modelo para lograr su prueba de consistencia (también afirman que el sistema está completo pero no ofrecen una prueba) (Nagel & Newman 1958: 45–56). Pero su texto promete al lector una prueba que es axiomática en lugar de depender de un modelo, y en el Apéndice entregan esta prueba basada en las nociones de una división de fórmulas en dos clases K ₁ y K ₂ que son mutuamente excluyentes y exhaustivas ( Nagel y Newman 1958: 109-113).

Gödel (1930): El cálculo de predicados de primer orden está completo

El (restringido) "cálculo de predicados de primer orden" es el "sistema de lógica" que agrega a la lógica proposicional (cf Post , arriba) la noción de "sujeto-predicado", es decir, el sujeto x se extrae de un dominio (universo) del discurso y el predicado es una función lógica f (x): x como sujeto yf (x) como predicado (Kleene 1967: 74). Aunque la prueba de Gödel implica la misma noción de "integridad" que la prueba de Post, la prueba de Gödel es mucho más difícil; lo que sigue es una discusión del conjunto de axiomas.

Lo completo

Kurt Gödel en su tesis doctoral de 1930 "La integridad de los axiomas del cálculo funcional de la lógica" demostró que en este "cálculo" (es decir, lógica de predicados restringida con o sin igualdad) que toda fórmula válida es "refutable o satisfactoria" o lo que equivale a lo mismo: toda fórmula válida es demostrable y, por tanto, la lógica es completa. Aquí está la definición de Gödel de si el "cálculo funcional restringido" es "completo":

"... si realmente es suficiente para la derivación de toda proposición lógico-matemática, o cuando, tal vez, sea concebible que haya proposiciones verdaderas (que pueden demostrarse por medio de otros principios) que no pueden derivarse en el sistema bajo consideración."

El cálculo de predicados de primer orden

Este cálculo de predicados en particular está "restringido al primer orden". Al cálculo proposicional agrega dos símbolos especiales que simbolizan las generalizaciones " para todos " y "existe (al menos uno)" que se extienden sobre el dominio del discurso . El cálculo requiere solo la primera noción "para todos", pero típicamente incluye ambas: (1) la noción "para todo x" o "para cada x" está simbolizada en la literatura de diversas formas como (x), ∀x, Πx, etc. ., y la noción (2) de "existe (al menos una x)" simbolizada de diversas formas como Ex, ∃x.

La restricción es que la generalización "para todos" se aplica solo a las variables (objetos x, y, z, etc. extraídas del dominio del discurso) y no a las funciones, en otras palabras, el cálculo permitirá ∀xf (x) (" para todas las criaturas x, x es un pájaro ") pero no ∀f∀x (f (x)) [pero si se agrega" igualdad "al cálculo, permitirá ∀f: f (x); ver más abajo en Tarski ]. Ejemplo:

Sea el predicado "función" f (x) "x es un mamífero", y el dominio-sujeto (o universo del discurso ) (cf. Kleene 1967: 84) sea la categoría "murciélagos":

La fórmula ∀xf (x) produce el valor de verdad "verdad" (lea: "Para todos los casos x de objetos 'murciélagos', 'x es un mamífero'" es una verdad, es decir, "Todos los murciélagos son mamíferos");

Pero si las instancias de x se extraen de un dominio "criaturas aladas", entonces ∀xf (x) produce el valor de verdad "falso" (es decir, "Para todas las instancias x de 'criaturas aladas', 'x es un mamífero'" tiene un valor valor de verdad de "falsedad"; "Los insectos voladores son mamíferos" es falso);

Sin embargo el amplio dominio del discurso "todas las criaturas aladas" (por ejemplo "pájaros" + "insectos voladores" + "ardillas voladoras" + "murciélagos") que podemos afirmar ∃xf (x) (es decir: "Existe al menos un alado criatura que es un mamífero '"; da un valor de verdad de" verdad "porque los objetos x pueden provenir de la categoría" murciélagos "y tal vez" ardillas voladoras "(dependiendo de cómo definamos" aladas "). Pero la fórmula da como resultado "falsedad" cuando el dominio del discurso se restringe a "insectos voladores" o "pájaros" o tanto "insectos" como "pájaros".

Kleene comenta que "el cálculo de predicados (sin o con igualdad) cumple plenamente (para las teorías de primer orden) lo que se ha concebido como el papel de la lógica" (Kleene 1967: 322).

Un nuevo axioma: la máxima de Aristóteles: "la máxima de todos y ninguno"

Esta primera mitad de este axioma - "la máxima de todos" aparecerá como el primero de dos axiomas adicionales en el conjunto de axiomas de Gödel. El "dictum de Aristóteles" ( dictum de omni et nullo ) a veces se llama "la máxima de todos y nada", pero en realidad son dos "máximas" que afirman: "Lo que es cierto de todos (miembros del dominio) es cierto de algunos (miembros del dominio) "y" Lo que no es cierto para todos (miembros del dominio) es cierto para ninguno (de los miembros del dominio) ".

El "dictum" aparece en Boole 1854 en un par de lugares:

"Puede ser una cuestión de si esa fórmula del razonamiento, que se llama el dictum de Aristóteles, de Omni et nullo , expresa una ley primaria del razonamiento humano o no; pero no hay duda de que expresa una verdad general en la lógica" ( 1854: 4)

Pero luego parece argumentar en contra:

"[Algunos principios de] principio general de naturaleza axiomática, como el" dictamen de Aristóteles: "Todo lo que se afirma o niega del género puede, en el mismo sentido, ser afirmado o negado de cualquier especie incluida en ese género ... o bien enuncian directamente, pero en forma abstracta, el argumento que se supone que deben dilucidar y, al afirmar ese argumento, afirman su validez; o implican en su expresión términos técnicos que, después de la definición, nos conducen de nuevo al mismo punto, es decir, el enunciado abstracto de las supuestas formas permisibles de inferencia ".

Pero la primera mitad de este "dictum" ( dictum de omni ) es retomada por Russell y Whitehead en PM, y por Hilbert en su versión (1927) de la "lógica de predicados de primer orden"; su (sistema) incluye un principio que Hilbert llama "dictum de Aristóteles"

(x) f (x) → f (y)

Este axioma también aparece en el conjunto de axiomas moderno ofrecido por Kleene (Kleene 1967: 387), como su "esquema ∀", uno de los dos axiomas (él los llama "postulados") requeridos para el cálculo de predicados; el otro es el "esquema ∃" f (y) ⊃ ∃xf (x) que razona desde el f (y) particular a la existencia de al menos un sujeto x que satisface el predicado f (x); ambos requieren la adhesión a un dominio definido (universo) del discurso.

Cálculo de predicados restringido de Gödel

Para complementar los cuatro (menos de cinco; ver Post ) axiomas del cálculo proposicional, Gödel 1930 agrega el dictum de omni como el primero de dos axiomas adicionales. Tanto este "dictamen" como el segundo axioma, afirma en una nota al pie, se derivan de Principia Mathematica . De hecho, PM incluye tanto como

❋10.1 ⊦ ∀xf (x) ⊃ f (y) ["Es decir, lo que es cierto en todos los casos es cierto en cualquier caso" ("Dictum de Aristóteles", reescrito con símbolos más modernos)]

❋10.2 ⊦∀x (p ⋁ f (x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf (x)) [reescrito en símbolos más modernos]

Este último afirma que la suma lógica (es decir, ⋁, OR) de una proposición simple py un predicado ∀xf (x) implica la suma lógica de cada uno por separado. Pero PM deriva ambos de seis proposiciones primitivas de ❋9, que en la segunda edición de PM se descarta y se reemplaza con cuatro nuevos "Pp" (principios primitivos) de ❋8 (ver en particular ❋8.2, y Hilbert deriva la primera de su "axioma ε lógico" en su 1927 y no menciona el segundo.No está claro cómo Hilbert y Gödel llegaron a adoptar estos dos como axiomas.

También se requieren dos "reglas" más de desapego ("modus ponens") aplicables a los predicados.

Tarski (1946): ley de Leibniz

Alfred Tarski en su 1946 (segunda edición) "Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas" cita una serie de lo que él considera "leyes universales" del cálculo oracional, tres "reglas" de inferencia y una ley fundamental de identidad (de la que deriva cuatro leyes más). Las tradicionales "leyes del pensamiento" están incluidas en su larga lista de "leyes" y "reglas". Su tratamiento, como sugiere el título de su libro, se limita a la "Metodología de las Ciencias Deductivas".

Justificación : En su introducción (segunda edición) observa que lo que comenzó con una aplicación de la lógica a las matemáticas se ha ampliado a "la totalidad del conocimiento humano":

"[Quiero presentar] una idea clara de esa poderosa tendencia del pensamiento contemporáneo que se concentra en la lógica moderna. Esta tendencia surgió originalmente de la tarea algo limitada de estabilizar los fundamentos de las matemáticas. En su fase actual, sin embargo, tiene mucho objetivos más amplios. Porque busca crear un aparato conceptual unificado que proporcione una base común para todo el conocimiento humano ".

Ley de identidad (ley de Leibniz, igualdad)

Agregar la noción de "igualdad" al "cálculo proposicional" (esta nueva noción no debe confundirse con la equivalencia lógica simbolizada por ↔, ⇄, "si y solo si (iff)", "bicondicional", etc.) Tarski ( cf p54-57) simboliza lo que él llama "ley de Leibniz" con el símbolo "=". Esto extiende el dominio (universo) del discurso y los tipos de funciones a números y fórmulas matemáticas (Kleene 1967: 148ff, Tarski 1946: 54ff).

En pocas palabras: dado que "x tiene todas las propiedades que tiene y", podemos escribir "x = y", y esta fórmula tendrá un valor de verdad de "verdad" o "falsedad". Tarski establece esta ley de Leibniz de la siguiente manera:

• I. Ley de Leibniz: x = y, si, y solo si, x tiene todas las propiedades que tiene y e y tiene todas las propiedades que tiene x.

Luego deriva algunas otras "leyes" de esta ley:

• II. Ley de la Reflexividad: Todo es igual a sí mismo: x = x. [Comprobado en PM ❋13.15]
• III. Ley de simetría: si x = y, entonces y = x. [Comprobado en PM ❋13.16]
• IV. Ley de la transitividad: si x = y e y = z, entonces x = z. [Comprobado en PM ❋13.17]
• V. Si x = z y y = z, entonces x = y. [Comprobado en PM ❋13.172]

Principia Mathematica define la noción de igualdad como sigue (en símbolos modernos); tenga en cuenta que la generalización "para todos" se extiende a las funciones de predicado f ():

❋13.01. x = y = _def ∀f: (f (x) → f (y)) ("Esta definición establece que xey deben ser llamados idénticos cuando cada función de predicado satisfecha por x es satisfecha por y"

Hilbert 1927: 467 agrega solo dos axiomas de igualdad, el primero es x = x, el segundo es (x = y) → ((f (x) → f (y)); falta el "para todo f" (o Gödel 1930 define la igualdad de manera similar a PM: ❋13.01. Kleene 1967 adopta los dos de Hilbert 1927 más dos más (Kleene 1967: 387).

Desarrollos contemporáneos

Todos los "sistemas de lógica" anteriores se consideran proposiciones de significado "clásicas" y las expresiones de predicado tienen dos valores, con el valor de verdad "verdad" o "falsedad", pero no con ambos (Kleene 1967: 8 y 83). Si bien la lógica intuicionista cae en la categoría "clásica", se opone a extender el operador "para todos" a la Ley del Medio Excluido; permite instancias de la "Ley", pero no su generalización a un dominio infinito del discurso.

Lógica intuicionista

La ' lógica intuicionista ', a veces más generalmente llamada lógica constructiva , es una lógica simbólica paracompleta que se diferencia de la lógica clásica al reemplazar el concepto tradicional de verdad por el concepto de demostrabilidad constructiva .

La ley generalizada del medio excluido no es parte de la ejecución de la lógica intuicionista , pero tampoco se niega. La lógica intuicionista simplemente prohíbe el uso de la operación como parte de lo que define como una " prueba constructiva ", lo que no es lo mismo que demostrar que es inválida (esto es comparable al uso de un estilo de construcción particular en el que los tornillos están prohibidos y solo se permiten clavos; no necesariamente refuta o incluso cuestiona la existencia o utilidad de los tornillos, sino que simplemente demuestra lo que se puede construir sin ellos).

Lógica paraconsistente

La " lógica paraconsistente " se refiere a los llamados sistemas lógicos tolerantes a la contradicción en los que una contradicción no necesariamente resulta en trivialismo . En otras palabras, el principio de explosión no es válido en tales lógicas. Algunos (a saber, los dialetéístas) argumentan que la lógica dialéctica niega la ley de la no contradicción . Están motivados por ciertas paradojas que parecen implicar un límite de la ley de la no contradicción, a saber, la paradoja del mentiroso . Para evitar un sistema lógico trivial y aún permitir que ciertas contradicciones sean verdaderas, los dialetistas emplearán una lógica paraconsistente de algún tipo.

Lógica de tres valores

TBD cf Lógica de tres valores pruebe esto Una aritmética y lógica ternarias - Semantic Scholar

Cálculos proposicionales modales

(cf. Kleene 1967: 49): Estos " cálculos " incluyen los símbolos ⎕A, que significa "A es necesaria" y ◊A que significa "A es posible". Kleene afirma que:

"Estas nociones entran en dominios del pensamiento donde se entiende que hay dos tipos diferentes de" verdad ", uno más universal o convincente que el otro ... Un zoólogo podría declarar que es imposible que las salamandras o cualquier otro ser vivo puedan sobrevivir fuego; pero posible (aunque falso) que existan unicornios, y posible (aunque improbable) que existan abominables muñecos de nieve ".

Lógica difusa

La " lógica difusa " es una forma de lógica de muchos valores ; se trata de un razonamiento aproximado en lugar de fijo y exacto.

Ver también

• Álgebra de conceptos

Referencias

• Aristóteles , "Las categorías", Harold P. Cooke (trad.), Págs. 1-109 en Aristóteles, vol. 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann , Londres, Reino Unido, 1938.
• Aristóteles, "Sobre la interpretación", Harold P. Cooke (trad.), Págs. 111-179 en Aristóteles, vol. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londres, Reino Unido, 1938.
• Aristóteles, " Prior Analytics ", Hugh Tredennick ( traducción ), págs. 181–531 en Aristóteles, vol. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londres, Reino Unido, 1938.
• Boole, George , Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades , Macmillan , 1854. Reimpreso con correcciones, Dover Publications , Nueva York, NY, 1958.
• Louis Couturat , traducido por Lydia Gillingham Robinson, 1914, The Algebra of Logic , The Open Court Publishing Company, Chicago y Londres. Descargado a través de googlebooks.
• Gödel 1944 La lógica matemática de Russell en Kurt Gödel: Collected Works Volume II , Oxford University Press, Nueva York, NY, ISBN  978-0-19-514721-6
• Sir William Hamilton, noveno baronet , ( Henry L. Mansel y John Veitch , ed.), 1860 Conferencias sobre metafísica y lógica, en dos volúmenes. Vol. II. Logic , Boston: Gould y Lincoln. Descargado a través de googlebooks.
• Stephen Cole Kleene , 1967, reimpresión de Mathematical Logic 2002, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN  0-486-42533-9 (pbk.)
• Ernest Nagel , James R. Newman , 1958, Prueba de Gödel , New York University Press, LCCCN: 58-5610.
• Bertrand Russell , Los problemas de la filosofía (1912), Oxford University Press, Nueva York, 1997, ISBN  0-19-511552-X .
• Arthur Schopenhauer , El mundo como voluntad y representación , Volumen 2, Publicaciones de Dover , Mineola, Nueva York, 1966, ISBN  0-486-21762-0
• Alfred Tarski , 1946 (segunda edición), republicado en 1995, Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas traducido por Olaf Helmer, Dover Publications, Inc., Nueva York, ISBN  0-486-28462-X (pbk.)
• Jean van Heijenoort , 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  978-0-674-32449-7 (pbk)

• Emil Post , 1921, Introducción a una teoría general de proposiciones elementales con comentario de van Heijenoort, páginas 264 y siguientes.
• David Hilbert , 1927, Los fundamentos de las matemáticas con comentario de van Heijenoort, páginas 464 y siguientes.
• Kurt Gödel , 1930a, La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica con comentario de van Heijenoort, páginas 592 y siguientes.

• Alfred North Whitehead , Bertrand Russell . Principia Mathematica , 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912 y 1913. Segunda edición, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abreviado como Principia Mathematica a * 56 (segunda edición) , Cambridge University Press, 1962, sin LCCCN o ISBN

enlaces externos

• James Danaher, " Las leyes del pensamiento " , The Philosopher , Volume LXXXXII No. 1
• Peter Suber, " Non-Contradiction and Excluded Middle " , Earlham College