Elemento cero - Zero element

En matemáticas , un elemento cero es una de varias generalizaciones del número cero a otras estructuras algebraicas . Estos significados alternativos pueden o no reducirse a lo mismo, según el contexto.

Identidades aditivas

Una identidad aditiva es el elemento de identidad en un grupo aditivo . Corresponde al elemento 0 tal que para todo x en el grupo, 0 + x = x + 0 = x . Algunos ejemplos de identidad aditiva incluyen:

• El vector cero bajo la suma de vectores : el vector de longitud 0 y cuyos componentes son todos 0. A menudo se denota como o . ${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle {\ vec {0}}}$
• La función cero o mapa cero definido por z ( x ) = 0 , bajo la suma puntual ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• El conjunto vacío debajo de la unión del conjunto
• Una suma vacía o un coproducto vacío
• Un objeto inicial en una categoría (un coproducto vacío y, por lo tanto, una identidad bajo coproductos )

Elementos absorbentes

Un elemento absorbente en un semigrupo multiplicativo o semiring generaliza la propiedad 0 ⋅ x = 0 . Ejemplos incluyen:

• El conjunto vacío , que es un elemento absorbente bajo el producto cartesiano de conjuntos, ya que {} × S = {}
• La función cero o mapa cero definido por z ( x ) = 0 bajo la multiplicación puntual ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Muchos elementos absorbentes también son identidades aditivas, incluido el conjunto vacío y la función cero. Otro ejemplo importante es el elemento distinguido 0 en un campo o anillo , que es tanto la identidad aditiva como el elemento absorbente multiplicativo, y cuyo ideal principal es el ideal más pequeño.

Objetos cero

Un objeto cero en una categoría es un objeto tanto inicial como terminal (y por lo tanto una identidad tanto en coproductos como en productos ). Por ejemplo, la estructura trivial (que contiene solo la identidad) es un objeto cero en categorías donde los morfismos deben asignar identidades a identidades. Los ejemplos específicos incluyen:

• El grupo trivial , que contiene solo la identidad (un objeto cero en la categoría de grupos )
• El módulo cero , que contiene solo la identidad (un objeto cero en la categoría de módulos sobre un anillo)

Morfismos cero

Un morfismo cero en una categoría es un elemento absorbente generalizado en función de la composición : cualquier morfismo compuesto con un morfismo cero da un morfismo cero. En concreto, si 0 _XY  : X → Y es el morfismo cero entre morfismos de X a Y , y f  : A → X y g  : Y → B son morfismos arbitrarias, entonces g ∘ 0 _XY = 0 _XB y 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

Si una categoría tiene un objeto de cero 0 , entonces hay morfismos canónicos X → 0 y 0 → Y , y componer les da un cero morfismo 0 _XY  : X → Y . En la categoría de grupos , por ejemplo, los morfismos cero son morfismos que siempre devuelven identidades de grupo, generalizando así la función z ( x ) = 0.

Elementos mínimos

Un elemento mínimo en un conjunto o celosía parcialmente ordenado a veces puede llamarse elemento cero y escribirse como 0 o ⊥.

Módulo cero

En matemáticas , el módulo cero es el módulo que consta únicamente de la identidad aditiva para la función de suma del módulo . En los enteros , esta identidad es cero , lo que le da el nombre de módulo cero . Que el módulo cero es de hecho un módulo es sencillo de mostrar; se cierra bajo la suma y la multiplicación trivialmente.

Ideal cero

En matemáticas , el ideal cero en un anillo es el ideal que consiste solo en la identidad aditiva (o elemento cero ). El hecho de que se trate de un ideal se deriva directamente de la definición. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Matriz cero

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero es una matriz con todas sus entradas siendo cero . Se indica alternativamente con el símbolo . Algunos ejemplos de matrices cero son ${\ Displaystyle O}$

${\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \}$

El conjunto de matrices m  ×  n con entradas en un anillo K forma un módulo . La matriz de cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , donde es la identidad aditivo en K . ${\ Displaystyle K_ {m, n}}$${\ Displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$${\ Displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K } \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en . Es decir, para todos : ${\ Displaystyle K_ {m, n}}$${\ Displaystyle A \ in K_ {m, n}}$

${\ Displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}$

Hay exactamente una matriz cero de cualquier tamaño dado m  ×  n (con entradas de un anillo dado), por lo que cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En general, el elemento cero de un anillo es único y normalmente se denota como 0 sin ningún subíndice para indicar el anillo principal. Por tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero.

Tensor cero

En matemáticas , el tensor cero es un tensor , de cualquier orden, todos cuyos componentes son cero . El tensor cero de orden 1 a veces se conoce como vector cero.

Tomar un producto tensorial de cualquier tensor con cualquier tensor cero da como resultado otro tensor cero. Agregar el tensor cero es equivalente a la operación de identidad.

Ver también

• Semigrupo nulo
• Divisor cero
• Objeto cero
• Cero de una función
• Cero : usos no matemáticos

Referencias