Elemento mayor y elemento menor - Greatest element and least element

En matemáticas , especialmente en la teoría del orden , el elemento más grande de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de . El término elemento mínimo se define dualmente , es decir, es un elemento de que es más pequeño que cualquier otro elemento de${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$

Definiciones

Sea un conjunto preordenado y sea Se dice que un elemento es un elemento mayor de si y si también satisface: ${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ subseteq P.}$${\ Displaystyle g \ in P}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g \ in S}$

${\ Displaystyle s \ leq g}$ para todos ${\ Displaystyle s \ en S.}$

Utilizando en lugar de en la definición anterior, se obtiene la definición de un elemento mínimo de . Explícitamente, se dice que un elemento es un elemento mínimo de si y si también satisface: ${\ Displaystyle \, \ geq \,}$${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle l \ in P}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle l \ in S}$

${\ Displaystyle l \ leq s}$ para todos ${\ Displaystyle s \ en S.}$

Si es un conjunto parcialmente ordenado, entonces puede tener como máximo un elemento mayor y puede tener como máximo un elemento mínimo. Siempre que exista un elemento más grande de y sea único, este elemento se llamará el elemento más grande de . La terminología del elemento menor se define de manera similar. ${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

Si tiene un elemento más grande (resp. Un elemento mínimo) entonces este elemento también se llama una parte superior (resp. Una parte inferior ) de${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle (P, \ leq).}$

Relación con los límites superior / inferior

Los elementos más grandes están estrechamente relacionados con los límites superiores .

Sea un conjunto preordenado y deje Un límite superior de in es un elemento tal que y para todos Es importante destacar que un límite superior de in no es necesario para ser un elemento de${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ subseteq P.}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u \ in P}$${\ Displaystyle s \ leq u}$${\ Displaystyle s \ en S.}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle S.}$

Si entonces es un elemento mayor de si y solo si es un límite superior de in y En particular, cualquier elemento mayor de es también un límite superior de (in ) pero un límite superior de in es un elemento mayor de si y solo si pertenece a En el caso particular donde la definición de " es un límite superior de en " se convierte en: es un elemento tal que y para todos que es completamente idéntico a la definición de un elemento mayor dada anteriormente. Por lo tanto, es un elemento mayor de si y solo si es un límite superior de in . ${\ Displaystyle g \ in P}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$ ${\ Displaystyle g \ en S.}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$${\ Displaystyle P = S,}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u \ in S}$${\ Displaystyle s \ leq u}$${\ Displaystyle s \ en S,}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$

Si es un límite superior de in que no es un límite superior de in (lo que puede suceder si y solo si ) entonces no puede ser un elemento mayor de (sin embargo, es posible que algún otro elemento sea un elemento mayor de ). En particular, es posible que simultáneamente no tenga un elemento más grande y que exista algún límite superior de in . ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u \ not \ in S}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle P}$

Incluso si un conjunto tiene algunos límites superiores, no es necesario que tenga un elemento mayor, como se muestra en el ejemplo de los números reales negativos . Este ejemplo también demuestra que la existencia de un límite superior mínimo (el número 0 en este caso) tampoco implica la existencia de un elemento mayor.

Contraste con elementos máximos y máximos locales / absolutos

Un elemento mayor de un subconjunto de un conjunto preordenado no debe confundirse con un elemento máximo del conjunto, que son elementos que no son estrictamente más pequeños que cualquier otro elemento del conjunto.

Sea un conjunto preordenado y sea Se dice que un elemento es un elemento máximo de si se cumple la siguiente condición: ${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ subseteq P.}$${\ Displaystyle m \ in S}$${\ Displaystyle S}$

siempre que satisfaga entonces necesariamente${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle m \ leq s,}$${\ Displaystyle s \ leq m.}$

Si es un conjunto parcialmente ordenado, entonces es un elemento máximo de si y solo si no existe tal que y Un elemento máximo de se define como un elemento máximo del subconjunto${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle m \ in S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle m \ leq s}$${\ Displaystyle s \ neq m.}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S: = P.}$

Un conjunto puede tener varios elementos máximos sin tener un elemento mayor. Al igual que los límites superiores y los elementos máximos, los elementos mayores pueden no existir.

En un conjunto totalmente ordenado, el elemento máximo y el elemento mayor coinciden; y también se le llama máximo ; en el caso de valores de función también se le llama máximo absoluto , para evitar confusiones con un máximo local . Los términos duales son mínimo y mínimo absoluto . Juntos se denominan extremos absolutos . Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.

Papel de la (in) comparabilidad en la distinción de elementos máximos frente a elementos máximos

Una de las diferencias más importantes entre un elemento mayor y un elemento máximo de un conjunto preordenado tiene que ver con qué elementos son comparables. Se dice que dos elementos son comparables si o ; se les llama incomparables si no son comparables. Debido a que los pedidos anticipados son reflexivos (lo que significa que es cierto para todos los elementos ), cada elemento es siempre comparable a sí mismo. En consecuencia, los únicos pares de elementos que posiblemente podrían ser incomparables son pares distintos . Sin embargo, en general, los conjuntos preordenados (e incluso los conjuntos parcialmente ordenados dirigidos ) pueden tener elementos que son incomparables. ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle x, y \ in P}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle y \ leq x}$${\ Displaystyle x \ leq x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

Por definición, un elemento es un elemento más grande de si para todos ; así que por su propia definición, un elemento mayor de debe, en particular, ser comparable a todos los elementos en Esto no se requiere de elementos máximos. Maximales de se no se requiere que sean comparables a todos los elementos de Esto es porque a diferencia de la definición de "elemento más grande", la definición de "elemento de máxima" incluye un importante si comunicado. La condición definitoria para ser un elemento máximo de puede reformularse como: ${\ Displaystyle g \ in P}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle s \ leq g,}$${\ Displaystyle s \ in P}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle P.}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle P.}$${\ Displaystyle m \ in P}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$

Para todos los IF (por lo que se ignoran los elementos que son incomparables ), entonces${\ Displaystyle s \ en P,}$ ${\ Displaystyle m \ leq s}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle s \ leq m.}$

Ejemplo donde todos los elementos son máximos pero ninguno es mayor

Supongamos que es un conjunto que contiene al menos dos elementos (distintos) y define un orden parcial en declarando que si y solo si If pertenece a entonces ni ni se cumple, lo que muestra que todos los pares de elementos distintos (es decir, no iguales) en son en comparable. En consecuencia, no puede haber un elemento mayor (porque un elemento mayor de tendría, en particular, que ser comparable a todos los elementos de pero no tiene tal elemento). Sin embargo, cada elemento es un elemento máximo de porque hay exactamente un elemento en el que es comparable y ese elemento es él mismo (que, por supuesto, lo es ). ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle i = j.}$${\ Displaystyle i \ neq j}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle j \ leq i}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (S, \ leq)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle m \ in S}$${\ Displaystyle (S, \ leq)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ geq m,}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ leq m}$

Por el contrario, si un conjunto preordenado tiene un elemento mayor, entonces necesariamente será un elemento máximo de y, además, como consecuencia de que el elemento mayor sea ​​comparable a cada elemento de si también está parcialmente ordenado, entonces es posible concluir que es el único elemento máximo de Sin embargo, la conclusión de unicidad ya no está garantizada si el conjunto preordenado no está también parcialmente ordenado. Por ejemplo, suponga que es un conjunto no vacío y defina un preorden en declarando que siempre es válido para todos. El conjunto preordenado dirigido está parcialmente ordenado si y solo si tiene exactamente un elemento. Todos los pares de elementos de son comparables y cada elemento de es un elemento mayor (y por lo tanto también un elemento máximo) de Entonces, en particular, si tiene al menos dos elementos, entonces tiene múltiples elementos mayores distintos . ${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle P,}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle (P, \ leq).}$${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle i \ leq j}$ ${\ Displaystyle i, j \ en R.}$${\ Displaystyle (R, \ leq)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle (R, \ leq).}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle (R, \ leq)}$

Propiedades

A lo largo, sea ​​un conjunto parcialmente ordenado y deje${\ Displaystyle (P, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ subseteq P.}$

• Un conjunto puede tener como máximo un elemento mayor. Por lo tanto, si un conjunto tiene un elemento más grande, entonces es necesariamente único.${\ Displaystyle S}$
• Si existe, entonces el mayor elemento de es un límite superior de que también está contenido en${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$
• Si es el mayor elemento de entonces es también un elemento máximo de y, además, cualquier otro elemento máximo de será necesariamente igual a${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g.}$
  • Por tanto, si un conjunto tiene varios elementos máximos, no puede tener un elemento mayor.${\ Displaystyle S}$
• Si satisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento máximo si, y solo si , tiene un elemento máximo.${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle P}$
• Cuando la restricción de a es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. ${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S = \ {1,2,4 \}}$
  • Sin embargo, esta no es una condición necesaria porque siempre que tiene un elemento mayor, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente.${\ Displaystyle S}$
• Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces hay un orden total en${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle P,}$${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle P.}$

Condiciones suficientes

• Una cadena finita siempre tiene un elemento mayor y uno menor.

Arriba y abajo

El elemento menor y mayor de todo el conjunto parcialmente ordenado juega un papel especial y también se denominan inferior (⊥) y superior (⊤), o cero (0) y unidad (1), respectivamente. Si ambos existen, el poset se llama poset acotado . La notación de 0 y 1 se usa preferiblemente cuando el poset es una celosía complementada y cuando no es probable que haya confusión, es decir, cuando no se está hablando de órdenes parciales de números que ya contienen elementos 0 y 1 diferentes de bottom y top. La existencia de elementos mínimos y mayores es una propiedad de completitud especial de un orden parcial.

Se puede encontrar más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .

Ejemplos de

• El subconjunto de números enteros no tiene límite superior en el conjunto de números reales .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Deje que la relación en ser dada por el conjunto tiene límites superiores y pero no menos límite superior, y no mayor elemento (imagen cf.).${\ Displaystyle \, \ leq \,}$${\ Displaystyle \ {a, b, c, d \}}$${\ Displaystyle a \ leq c,}$ ${\ Displaystyle a \ leq d,}$ ${\ Displaystyle b \ leq c,}$ ${\ Displaystyle b \ leq d.}$${\ Displaystyle \ {a, b \}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle d,}$
• En los números racionales , el conjunto de números con su cuadrado menor que 2 tiene límites superiores pero ningún elemento mayor ni límite superior mínimo.
• En el conjunto de números, menos de 1 tiene un límite superior mínimo, a saber. 1, pero no el elemento más importante.${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$
• En el conjunto de números menores o iguales a 1 tiene un elemento mayor, a saber. 1, que también es su límite superior mínimo.${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$
• Con el pedido del producto , el conjunto de pares con no tiene límite superior.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle 0 <x <1}$
• En el orden lexicográfico , este conjunto tiene límites superiores, por ejemplo, no tiene límite superior mínimo.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle (1,0).}$

Ver también

• Supremum esencial e infimum esencial
• Objetos iniciales y terminales
• Elementos máximos y mínimos
• Límite superior y límite inferior (límite mínimo)
• Límites superior e inferior

Notas

Referencias

• Davey, BA; Priestley, HA (2002). Introducción a las celosías y el orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-78451-1.