Identidad aditiva - Additive identity

En matemáticas , la identidad aditiva de un conjunto que está equipado con la operación de suma es un elemento que, cuando se suma a cualquier elemento x del conjunto, produce x . Una de las identidades aditivas más familiares es el número 0 de las matemáticas elementales , pero las identidades aditivas ocurren en otras estructuras matemáticas donde se define la suma, como en grupos y anillos .

Ejemplos elementales

• La identidad aditiva familiar de las matemáticas elementales es cero, denotado 0 . Por ejemplo,

  ${\ Displaystyle 5 + 0 = 5 = 0 + 5.}$

• En los números naturales N (si se incluye 0), los enteros Z , los números racionales Q , los números reales R y los números complejos C , la identidad aditiva es 0. Esto dice que para un número n perteneciente a cualquiera de estos conjuntos

  ${\ Displaystyle n + 0 = n = 0 + n.}$

Definicion formal

Sea N un grupo que se cierra bajo la operación de adición , denotado + . Una identidad aditiva para N , denotada e , es un elemento en N tal que para cualquier elemento n en N ,

e + n = n = norte + e .

Más ejemplos

• En un grupo , la identidad aditiva es el elemento de identidad del grupo, a menudo se denota como 0 y es única (ver prueba a continuación).
• Un anillo o campo es un grupo bajo la operación de suma y, por lo tanto, estos también tienen una identidad aditiva única 0. Se define como diferente de la identidad multiplicativa 1 si el anillo (o campo) tiene más de un elemento. Si la identidad aditiva y la identidad multiplicativa son iguales, entonces el anillo es trivial (se demuestra a continuación).
• En el anillo M _{m  ×  n} ( R ) de m por n matrices sobre un anillo R , la identidad aditiva es la matriz cero, denotada O o 0 , y es la matriz m por n cuyas entradas consisten enteramente en el elemento identidad 0 en R . Por ejemplo, en las matrices 2 × 2 sobre los enteros M ₂ ( Z ) la identidad aditiva es

  ${\ displaystyle 0 = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

• En los cuaterniones , 0 es la identidad aditiva.
• En el anillo de funciones de R a R , la función que asigna cada número a 0 es la identidad aditiva.
• En el grupo aditivo de vectores en R ⁿ , el origen o vector cero es la identidad aditiva.

Propiedades

La identidad aditiva es única en un grupo.

Sea ( G , +) un grupo y deje que 0 y 0 'en G denoten identidades aditivas, por lo que para cualquier g en G ,

0 + g = g = g + 0 y 0 '+ g = g = g + 0'.

Luego se deduce de lo anterior que

0 ' = 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0 .

La identidad aditiva aniquila los elementos del anillo.

En un sistema con una operación de multiplicación que distribuye sobre la suma, la identidad aditiva es un elemento absorbente multiplicativo , lo que significa que para cualquier s en S , s  · 0 = 0 . Esto sigue porque:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} s \ cdot 0 & = s \ cdot (0 + 0) = s \ cdot 0 + s \ cdot 0 \\\ Rightarrow s \ cdot 0 & = s \ cdot 0-s \ cdot 0 \\\ Flecha derecha s \ cdot 0 & = 0. \ End {alineado}}}$

Las identidades aditivas y multiplicativas son diferentes en un anillo no trivial.

Deje que R sea un anillo y supongamos que la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son iguales, es decir, 0 = 1. Sea r ser cualquier elemento de R . Luego

r = r × 1 = r × 0 = 0

demostrando que R es trivial, es decir, R  = {0}. Por tanto, se muestra el contrapositivo , que si R no es trivial, entonces 0 no es igual a 1.

Ver también

• 0 (número)
• Aditivo inverso
• Elemento de identidad
• Identidad multiplicativa

Referencias

Bibliografía

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Álgebra abstracta , Wiley (3ª ed.): 2003, ISBN  0-471-43334-9 .

enlaces externos

• Singularidad de la identidad aditiva en un anillo en PlanetMath .