Modelo vectorial del átomo - Vector model of the atom

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia Libros de texto
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
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Formulaciones Visión de conjunto Imágenes dinámicas ( Heisenberg ; Interacción ; Schrödinger ) Matriz Espacio de fase Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integración funcional
Interpretaciones Visión de conjunto Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
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En física , específicamente en mecánica cuántica , el modelo vectorial del átomo es un modelo del átomo en términos de momento angular . Puede considerarse como la extensión del modelo de átomo de Rutherford-Bohr-Sommerfeld a átomos de múltiples electrones.

Introducción

Ilustración del modelo vectorial de momento angular orbital.

El modelo es una representación conveniente de los momentos angulares de los electrones en el átomo. El momento angular siempre se divide en orbital L , giro S y total J :

${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}$

Dado que en la mecánica cuántica, el momento angular está cuantificado y existe una relación de incertidumbre para los componentes de cada vector, la representación resulta bastante simple (aunque las matemáticas de fondo son bastante complejas). Geométricamente es un conjunto discreto de conos circulares rectos, sin la base circular, en el que los ejes de todos los conos están alineados sobre un eje común, convencionalmente el eje z para coordenadas cartesianas tridimensionales. A continuación se presentan los antecedentes de esta construcción.

Antecedentes matemáticos de los momentos angulares.

Conos de momento angular de espín, aquí mostrados para una partícula de espín-1/2

El conmutador implica que para cada uno de L , S y J , sólo se puede medir un componente de cualquier vector de momento angular en cualquier instante de tiempo; al mismo tiempo, los otros dos son indeterminados. El conmutador de dos operadores de momento angular (correspondientes a las direcciones de los componentes) no es cero. A continuación se presenta un resumen de las matemáticas relevantes en la construcción del modelo vectorial.

Las relaciones de conmutación son (usando la convención de suma de Einstein ):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ end {alineado}}}$

dónde

• L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) y J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (estos corresponden a L = ( L _x , L _y , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) y J = ( J _x , J _y , J _z ) en coordenadas cartesianas),
• a , b , c ∊ {1,2,3} son índices que etiquetan los componentes de los momentos angulares
• ε _abc es el tensor de permutación de 3 índices en 3-d.

Sin embargo , las magnitudes de L , S y J se pueden medir al mismo tiempo, ya que la conmutación del cuadrado de un operador de momento angular (resultante total, no componentes) con cualquier componente es cero, por lo que la medición simultánea de con , con y con satisfacer: ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$${\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$${\ Displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$${\ Displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ final {alineado}}}$

Las magnitudes satisfacen todo lo siguiente, en términos de operadores y componentes vectoriales:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ end {alineado}}}$

y números cuánticos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ end {alineado}}}$

dónde

• ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ , es el número cuántico azimutal ,
• s , es el número cuántico de espín intrínseco al tipo de partícula,
• j , es el número cuántico del momento angular total ,

que toman respectivamente los valores:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { alineado}}}$

Estos hechos matemáticos sugieren el continuo de todos los momentos angulares posibles para un número cuántico especificado correspondiente:

1. Una dirección es constante, las otras dos son variables.
2. La magnitud de los vectores debe ser constante (para un estado específico correspondiente al número cuántico), por lo que las dos componentes indeterminadas de cada uno de los vectores deben estar confinadas a un círculo, de tal manera que las componentes medibles y no medibles ( en un instante de tiempo) permiten que las magnitudes se construyan correctamente, para todos los posibles componentes indeterminados.

El resultado geométrico es un cono de vectores, el vector comienza en el vértice del cono y su punta alcanza la circunferencia del cono. Es una convención usar el componente z para el componente medible del momento angular, por lo que el eje del cono debe ser el eje z, dirigido desde el vértice al plano definido por la base circular del cono, perpendicular al plano . Para diferentes números cuánticos, los conos son diferentes. Entonces, hay un número discreto de estados en los que pueden ser los momentos angulares, regidos por los valores posibles anteriores para , s y j . Usando la configuración previa del vector como parte de un cono, cada estado debe corresponder a un cono. Esto es para crecientes , s y j , y decrecientes , s y j > Los números cuánticos negativos corresponden a los conos reflejados en el plano x - y . Uno de estos estados, para un número cuántico igual a cero, claramente no corresponde a un cono, solo a un círculo en el plano x - y . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

El número de conos (incluyendo el círculo planar degenerado) es igual a la multiplicidad de estados, . ${\ Displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Modelo de Bohr

Se puede considerar la extensión del modelo de Bohr porque Niels Bohr también propuso que el momento angular se cuantificó de acuerdo con:

${\ Displaystyle L = m \ hbar}$

donde m es un número entero, produjo resultados correctos para el átomo de hidrógeno. Aunque el modelo de Bohr no se aplica a los átomos de múltiples electrones, fue la primera cuantificación exitosa del momento angular aplicado al átomo, precediendo al modelo vectorial del átomo.

Adición de momentos angulares

Para los átomos de un electrón (es decir, hidrógeno), solo hay un conjunto de conos para el electrón en órbita. Para los átomos de múltiples electrones, hay muchos estados, debido al número creciente de electrones.

Los momentos angulares de todos los electrones en el átomo se suman vectorialmente . La mayoría de los procesos atómicos, tanto nucleares como químicos (electrónicos), excepto en el proceso absolutamente estocástico de la desintegración radiactiva , están determinados por el apareamiento de espines y el acoplamiento de los momentos angulares debidos a los nucleones y electrones vecinos . El término "acoplamiento" en este contexto significa la superposición vectorial de momentos angulares, es decir, se añaden magnitudes y direcciones.

En átomos de varios electrones, la suma vectorial de dos momentos angulares es:

${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}$

para el componente z, los valores proyectados son:

${\ Displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}$

dónde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ end {alineado}} \, \!}$

y las magnitudes son:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ end {alineado}}}$

en el cual

${\ Displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}$

Este proceso puede repetirse para un tercer electrón, luego el cuarto, etc. hasta que se haya encontrado el momento angular total.

Acoplamiento LS

Ilustración del acoplamiento LS. El momento angular total J es violeta, el orbital L es azul y el giro S es verde.

El proceso de sumar todos los momentos angulares es una tarea laboriosa, ya que los momentos resultantes no son definidos, todos los conos de los momentos anteriores al eje z deben incorporarse al cálculo. Esto se puede simplificar con algunas aproximaciones desarrolladas, como el esquema de acoplamiento de Russell-Saunders en el acoplamiento LS , que lleva el nombre de HN Russell y FA Saunders (1925).

Ver también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Acoplamiento LS
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Base esférica

Referencias

• Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2da edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN   978-0-471-87373-0

Otras lecturas

• Teoría atómica de muchos cuerpos , I.Lindgren, J. Morrison, Serie Springer-Verlag en: Física química N ^° 13, 1982, ISBN, monografía de nivel de posgrado sobre la teoría de muchos cuerpos en el contexto del momento angular, con mucho énfasis en la representación gráfica y métodos.
• Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN   0-07-145546-9