Geometría cuántica - Quantum geometry

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Entrelazamiento Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Expresar Superposición Simetría Tunelización Incertidumbre Función de onda  ( colapso )
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fase Schrödinger Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Descripción general Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger
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En física teórica , la geometría cuántica es el conjunto de conceptos matemáticos que generalizan los conceptos de geometría cuya comprensión es necesaria para describir los fenómenos físicos a escalas de distancia comparables a la longitud de Planck . A estas distancias, la mecánica cuántica tiene un efecto profundo sobre los fenómenos físicos.

Gravedad cuántica

Cada teoría de la gravedad cuántica utiliza el término "geometría cuántica" de una manera ligeramente diferente. La teoría de cuerdas , un candidato líder para una teoría cuántica de la gravedad, usa el término geometría cuántica para describir fenómenos exóticos como la dualidad T y otras dualidades geométricas , simetría especular , transiciones de cambio de topología , escala de distancia mínima posible y otros efectos que desafían intuición. Más técnicamente, la geometría cuántica se refiere a la forma de una variedad de espacio-tiempo experimentada por D-branas, que incluye correcciones cuánticas al tensor métrico , como los instantones de la hoja del mundo . Por ejemplo, el volumen cuántico de un ciclo se calcula a partir de la masa de una brana envuelta en este ciclo. Como otro ejemplo, la distancia entre dos partículas de la mecánica cuántica se puede expresar en términos de la métrica de Łukaszyk-Karmowski .

En un enfoque alternativo a la gravedad cuántica llamado gravedad cuántica de bucle (LQG), la frase "geometría cuántica" generalmente se refiere al formalismo dentro de LQG donde los observables que capturan la información sobre la geometría ahora son operadores bien definidos en un espacio de Hilbert . En particular, ciertos observables físicos , como el área, tienen un espectro discreto . También se ha demostrado que la geometría cuántica de bucle no es conmutativa .

Es posible (pero se considera improbable) que esta comprensión estrictamente cuantificada de la geometría sea coherente con la imagen cuántica de la geometría que surge de la teoría de cuerdas.

Otro enfoque, bastante exitoso, que intenta reconstruir la geometría del espacio-tiempo a partir de los "primeros principios" es la gravedad cuántica de Lorentzian discreta .

Estados cuánticos como formas diferenciales

Las formas diferenciales se utilizan para expresar estados cuánticos , utilizando el producto de la cuña :

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int \ psi (\ mathbf {x}, t) \, | \ mathbf {x}, t \ rangle \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} }$

donde el vector de posición es

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}$

el elemento de volumen diferencial es

${\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} = \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ wedge \ mathrm {d } x ^ {3}}$

y x ¹ , x ² , x ³ son un conjunto arbitrario de coordenadas, los índices superiores indican contravarianza , los índices inferiores indican covarianza , por lo que explícitamente el estado cuántico en forma diferencial es:

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int \ psi (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t) \, | x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t \ rangle \, \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {3}}$

La integral de superposición está dada por:

${\ Displaystyle \ langle \ chi | \ psi \ rangle = \ int \ chi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x}}$

en forma diferencial esto es

${\ Displaystyle \ langle \ chi | \ psi \ rangle = \ int \ chi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ cuña \ mathrm {d} x ^ {3}}$

La probabilidad de encontrar la partícula en alguna región del espacio R viene dada por la integral sobre esa región:

${\ Displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ { 2} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {3}}$

siempre que la función de onda esté normalizada . Cuando R es todo el espacio de posición 3d, la integral debe ser 1 si la partícula existe.

Las formas diferenciales son un enfoque para describir la geometría de curvas y superficies de forma independiente de las coordenadas. En la mecánica cuántica , las situaciones idealizadas ocurren en coordenadas cartesianas rectangulares , como el pozo de potencial , la partícula en una caja , el oscilador armónico cuántico y aproximaciones más realistas en coordenadas polares esféricas , como electrones en átomos y moléculas . En general, es útil un formalismo que se pueda utilizar en cualquier sistema de coordenadas.

Ver también

• Geometría no conmutativa

Referencias

Otras lecturas

• Supersimetría , desmitificada, P. Labelle, McGraw-Hill (EE. UU.), 2010, ISBN  978-0-07-163641-4
• Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  9780131461000
• Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN  0-07-145546 9
• Teoría cuántica de campos , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN  978-0-07-154382-8

enlaces externos

• Espacio y tiempo: desde la antigüedad hasta Einstein y más allá
• Geometría cuántica y sus aplicaciones