Spin número cuántico - Spin quantum number

En física atómica , el número cuántico de espín es un número cuántico (designado $m$ _$s$ ) que describe el momento angular intrínseco (o momento angular de espín, o simplemente espín ) de un electrón u otra partícula . La frase se usó originalmente para describir el cuarto de un conjunto de números cuánticos (el número cuántico principal $n$ , el número cuántico azimutal $l$ , el número cuántico magnético $my$ el número cuántico de espín $m$ _$s$ ), que describen completamente el estado cuántico de un electrón en un átomo. El nombre proviene de un giro físico del electrón alrededor de un eje, propuesto por Uhlenbeck y Goudsmit . El valor de $m$ _$s$ es el componente del momento angular de espín paralelo a una dirección dada (el eje $z$ ), que puede ser +1/2 o –1/2 (en unidades de la constante de Planck reducida ).

Sin embargo, esta imagen simplista rápidamente se dio cuenta de que era físicamente imposible porque requeriría que los electrones giraran más rápido que la velocidad de la luz. Por lo tanto, fue reemplazado por una descripción mecánica cuántica más abstracta. Esta descripción implica técnicamente dos números cuánticos de espín $m$ _$s$ y $s$ , donde $s$ está relacionado con la magnitud del espín del electrón. Sin embargo, $s$ siempre es +1/2 para un electrón, por lo que no es necesario incluir su valor en el conjunto de números cuánticos que describen el estado de cada electrón en un átomo.

En un nivel elemental, $m$ _$s$ se describe como el número cuántico de espín, y $s$ no se menciona ya que su valor 1/2 es una propiedad fija del electrón. En un nivel más avanzado, en el que se introducen los operadores de la mecánica cuántica, $s$ se denomina número cuántico de espín y $m$ _$s$ se describe como número cuántico magnético de espín o como componente z de espín $s$ _$z$ .

Puntos clave sobre Spin Quantum Number

Los números cuánticos dan información completa sobre el electrón en un átomo, es decir, energía, posición, tamaño, forma y orientación de ese orbital y la dirección de giro. La dirección del espín se describe mediante el número cuántico de espín.
El electrón de un átomo no solo se mueve alrededor del núcleo, sino que también gira sobre su propio eje. Este número proporciona información sobre la dirección de giro del electrón presente en cualquier orbital.
El momento angular de giro es una propiedad intrínseca, como la masa en reposo y la carga.
La magnitud del número cuántico de espín de un electrón no se puede cambiar.
El giro puede estar en orientación 2s + 1 = 2 .
Cada tipo de partícula subatómica tiene números cuánticos de espín fijos como 0,1 / 2, 1, 3/2 , ... etc.
El valor de espín de un electrón, protón, neutrón es 1/2 .
Las partículas que tienen un valor medio integral (1/2, 3/2…) de espín se denominan fermiones.
Las partículas que tienen un valor integral (0,1,2 ..) de espín se denominan bosones.

Determinación de la naturaleza magnética

Este número cuántico ayuda a explicar las propiedades magnéticas de las sustancias.
Un electrón en rotación se comporta como un microimán con un momento magnético definido. Si un orbital contiene dos electrones, entonces su momento magnético se opone y se cancela entre sí.
Si los orbitales están completamente llenos, el momento magnético neto es cero y la sustancia se comporta como diamagnética (es decir, repelida por el campo magnético externo).
Los orbitales están medio llenos, la sustancia tiene un momento magnético neto y es paramagnética (es decir, atraída por el campo magnético externo)

Historia

Los primeros intentos de explicar el comportamiento de los electrones en los átomos se centraron en resolver la ecuación de onda de Schrödinger para el átomo de hidrógeno , el caso más simple posible, con un solo electrón unido al núcleo atómico . Esto tuvo éxito en explicar muchas características de los espectros atómicos .

Las soluciones requerían que cada estado posible del electrón fuera descrito por tres "números cuánticos". Estos se identificaron como, respectivamente, el número $n de$ la "capa" de electrones, el número "orbital" $l$ y el número $m$ del "momento angular orbital" . El momento angular es un concepto llamado "clásico" que mide el momento de una masa en movimiento circular alrededor de un punto. Los números de shell comienzan en 1 y aumentan indefinidamente. Cada capa del número $n$ contiene $n$ ² orbitales. Cada orbital se caracteriza por su número de $l$ , donde $l$ toma valores enteros de 0 a $n$ -1, y su número de momento angular $m$ , donde $m$ toma valores enteros desde + $l$ a - $l$ . Mediante una variedad de aproximaciones y extensiones, los físicos pudieron extender su trabajo sobre el hidrógeno a átomos más complejos que contienen muchos electrones.

Los espectros atómicos miden la radiación absorbida o emitida por los electrones que "saltan" de un "estado" a otro, donde un estado está representado por valores de $n$ , $l$ y $m$ . La llamada " regla de transición " limita los "saltos" posibles. En general, se permite un salto o "transición" solo si los tres números cambian en el proceso. Esto se debe a que una transición podrá provocar la emisión o absorción de radiación electromagnética solo si implica un cambio en el dipolo electromagnético del átomo.

Sin embargo, en los primeros años de la mecánica cuántica se reconoció que los espectros atómicos medidos en un campo magnético externo (ver efecto Zeeman ) no se pueden predecir con solo $n$ , $l$ y $m$ .

En enero de 1925, cuando Ralph Kronig todavía era un estudiante de doctorado en la Universidad de Columbia, propuso por primera vez el espín del electrón después de escuchar a Wolfgang Pauli en Tübingen. Werner Heisenberg y Pauli inmediatamente odiaron la idea. Acababan de descartar todas las acciones imaginables de la mecánica cuántica. Ahora Kronig estaba proponiendo que el electrón girara en el espacio. Pauli ridiculizó especialmente la idea del giro, diciendo que "es realmente muy inteligente pero, por supuesto, no tiene nada que ver con la realidad". Ante semejantes críticas, Kronig decidió no publicar su teoría y la idea del espín del electrón tuvo que esperar a que otros se llevaran el mérito. A Ralph Kronig se le había ocurrido la idea del espín del electrón varios meses antes que George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit . La mayoría de los libros de texto atribuyen el descubrimiento a estos dos físicos holandeses.

Pauli propuso posteriormente (también en 1925) un nuevo grado cuántico de libertad (o número cuántico ) con dos valores posibles, con el fin de resolver las inconsistencias entre los espectros moleculares observados y la teoría en desarrollo de la mecánica cuántica.

Poco después, Uhlenbeck y Goudsmit identificaron el nuevo grado de libertad de Pauli como el espín del electrón .

Espín de electrones

Una partícula de spin-1/2 se caracteriza por un número impulso cuántico angular para Spin s de medio. En soluciones de la ecuación de Schrödinger-Pauli , el momento angular se cuantifica de acuerdo con este número, de modo que el momento angular de espín total

{\ Displaystyle S = \ hbar {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {2}} + 1 \ right)}} = {\ frac {\ sqrt {3 }} {2}} \ hbar}

.

La estructura fina del espectro de hidrógeno se observa como un doblete correspondiente a dos posibilidades para el componente z del momento angular, donde para cualquier dirección dada z :

{\ Displaystyle S_ {z} = \ pm {\ frac {1} {2}} \ hbar}

cuya solución tiene sólo dos componentes z posibles para el electrón. En el electrón, las dos orientaciones de espín diferentes a veces se denominan "spin-up" o "spin-down".

La propiedad de espín de un electrón daría lugar al momento magnético , que era un requisito para el cuarto número cuántico. El momento magnético del espín del electrón viene dado por la fórmula:

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {s} = - {\ frac {e} {2m}} g \ mathbf {S}}

dónde

e

es la carga del electrón

g

es el factor g de Landé

y por la ecuación:

{\ Displaystyle \ mu _ {z} = \ pm {\ frac {1} {2}} g {\ mu _ {\ rm {B}}}}

donde está el magneton de Bohr . ${\ Displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$

Cuando los átomos tienen un número par de electrones, el espín de cada electrón en cada orbital tiene una orientación opuesta a la de sus vecinos inmediatos. Sin embargo, muchos átomos tienen un número impar de electrones o una disposición de electrones en la que hay un número desigual de orientaciones "spin-up" y "spin-down". Se dice que estos átomos o electrones tienen espines no apareados que se detectan en la resonancia de espines de electrones .

Detección de giro

Cuando las líneas del espectro de hidrógeno se examinan con una resolución muy alta, se descubre que son dobletes poco espaciados. Esta división se llama estructura fina y fue una de las primeras evidencias experimentales del espín de los electrones. La observación directa del momento angular intrínseco del electrón se logró en el experimento de Stern-Gerlach .

Experimento de Stern-Gerlach

La teoría de la cuantificación espacial del momento de giro del momento de los electrones de los átomos situados en el campo magnético necesitaba ser probada experimentalmente. En 1920 (dos años antes de que se creara la descripción teórica del espín) Otto Stern y Walter Gerlach lo observaron en el experimento que realizaron.

Los átomos de plata se evaporaron utilizando un horno eléctrico al vacío. Usando rendijas delgadas, los átomos se guiaron hacia un haz plano y el haz se envió a través de un campo magnético no homogéneo antes de chocar con una placa metálica. Las leyes de la física clásica predicen que la colección de átomos de plata condensados en la placa debería formar una delgada línea sólida con la misma forma que el rayo original. Sin embargo, el campo magnético no homogéneo hizo que el rayo se dividiera en dos direcciones separadas, creando dos líneas en la placa metálica.

El fenómeno se puede explicar con la cuantificación espacial del momento de giro del momento. En los átomos, los electrones están emparejados de manera que uno gira hacia arriba y el otro hacia abajo, neutralizando el efecto de su giro sobre la acción del átomo en su conjunto. Pero en la capa de valencia de los átomos de plata, hay un solo electrón cuyo espín permanece desequilibrado.

El giro desequilibrado crea un momento magnético de giro , lo que hace que el electrón actúe como un imán muy pequeño. A medida que los átomos atraviesan el campo magnético no homogéneo, el momento de fuerza en el campo magnético influye en el dipolo del electrón hasta que su posición coincide con la dirección del campo más fuerte. Luego, el átomo se acercaría o alejaría del campo magnético más fuerte una cantidad específica, dependiendo del valor del giro del electrón de valencia. Cuando el espín del electrón es +1/2, el átomo se aleja del campo más fuerte, y cuando el espín es -1/2, el átomo se mueve hacia él. Por lo tanto, el haz de átomos de plata se divide mientras viaja a través del campo magnético no homogéneo, de acuerdo con el giro del electrón de valencia de cada átomo.

En 1927, Phipps y Taylor llevaron a cabo un experimento similar, utilizando átomos de hidrógeno con resultados similares. Más tarde, los científicos realizaron experimentos utilizando otros átomos que tienen solo un electrón en su capa de valencia: ( cobre , oro , sodio , potasio ). Cada vez se formaron dos líneas en la placa metálica.

El núcleo atómico también puede tener espín, pero los protones y neutrones son mucho más pesados que los electrones (aproximadamente 1836 veces), y el momento dipolar magnético es inversamente proporcional a la masa. Por tanto, la cantidad de movimiento del dipolo magnético nuclear es mucho menor que la del átomo completo. Este pequeño dipolo magnético fue posteriormente medido por Stern, Frisch y Easterman.

Resonancia paramagnética de electrones

Para átomos o moléculas con un electrón desapareado, también se pueden observar transiciones en un campo magnético en el que solo cambia el número cuántico de espín, sin cambios en el orbital del electrón o los otros números cuánticos. Este es el método de resonancia paramagnética de electrones (EPR) o resonancia de espín de electrones (ESR), que se utiliza para estudiar los radicales libres . Dado que solo cambia la interacción magnética del espín, el cambio de energía es mucho menor que para las transiciones entre orbitales, y los espectros se observan en la región de microondas .

Derivación

Para una solución de la ecuación de Pauli no relativista o la ecuación relativista de Dirac , el momento angular cuantificado (ver número cuántico de momento angular ) se puede escribir como:

{\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {s} \ Vert = {\ sqrt {s \, (s + 1)}} \, \ hbar}

dónde

{\ Displaystyle \ mathbf {s}}

es el vector de espín cuantificado o espinor

{\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {s} \ Vert}

es la norma del vector de giro

${\ Displaystyle s}$ es el número cuántico de espín asociado con el momento angular de espín

{\ Displaystyle \ hbar}

es la constante de Planck reducida .

Dada una dirección z arbitraria (generalmente determinada por un campo magnético externo) la proyección z de espín viene dada por

{\ Displaystyle s_ {z} = m_ {s} \, \ hbar}

donde $m$ _$s$ es el número cuántico de espín secundario , que varía de - $sa$ + $s$ en pasos de uno. Esto genera $2 s + 1$ valores diferentes de $m$ _$s$ .

Los valores permitidos para s son enteros no negativos o medios enteros . Los fermiones tienen valores medio enteros, incluidos el electrón , el protón y el neutrón, que tienen s = 1/2. Los bosones como el fotón y todos los mesones ) tienen valores de espín enteros.

Álgebra

La teoría algebraica del espín es una copia al carbón del momento angular en la teoría de la mecánica cuántica . En primer lugar, el espín satisface la relación de conmutación fundamental :

{\ Displaystyle [S_ {i}, S_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} S_ {k}}

,

{\ Displaystyle \ left [S_ {i}, S ^ {2} \ right] = 0}

donde está el símbolo (antisimétrico) de Levi-Civita . Esto significa que es imposible conocer dos coordenadas del espín al mismo tiempo debido a la restricción del principio de incertidumbre . ${\ Displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

A continuación, los autovectores de y satisfacen: ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S_ {z}}$

{\ Displaystyle S ^ {2} | s, m_ {s} \ rangle = {\ hbar} ^ {2} s (s + 1) | s, m_ {s} \ rangle}

{\ Displaystyle S_ {z} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar m_ {s} | s, m_ {s} \ rangle}

{\ Displaystyle S _ {\ pm} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1) -m_ {s} (m_ {s} \ pm 1)}} | s, m_ {s} \ pm 1 \ rangle}

donde están los operadores de creación y aniquilación (o "subir" y "bajar" o "subir" y "bajar"). ${\ Displaystyle S _ {\ pm} = S_ {x} \ pm iS_ {y}}$

Niveles de energía de la ecuación de Dirac

En 1928, Paul Dirac desarrolló una ecuación de onda relativista , ahora denominada ecuación de Dirac , que predijo correctamente el momento magnético de espín y, al mismo tiempo, trató al electrón como una partícula puntual. Al resolver la ecuación de Dirac para los niveles de energía de un electrón en el átomo de hidrógeno, los cuatro números cuánticos, incluido el $s,$ ocurrieron de forma natural y coincidieron bien con el experimento.

Spin total de un átomo o molécula

Para algunos átomos, los espines de varios electrones no apareados (s ₁ , s ₂ , ...) se acoplan para formar un número cuántico de espín total S. Esto ocurre especialmente en átomos ligeros (o en moléculas formadas solo por átomos ligeros) cuando el espín- El acoplamiento orbital es débil comparado con el acoplamiento entre espines o el acoplamiento entre momentos angulares orbitales, una situación conocida como acoplamiento LS porque L y S son constantes de movimiento. Aquí L es el número cuántico del momento angular orbital total.

Para átomos con un S bien definido, la multiplicidad de un estado se define como (2S + 1). Esto es igual al número de diferentes valores posibles del momento angular total (orbital más espín) J para una combinación dada (L, S), siempre que S ≤ L (el caso típico). Por ejemplo, si S = 1, hay tres estados que forman un triplete . Los valores propios de S _z para estos tres estados son + 1ħ, 0 y -1ħ. El término símbolo de un estado atómico indica sus valores de L, S y J.

Como ejemplos, los estados fundamentales tanto del átomo de oxígeno como de la molécula de dioxígeno tienen dos electrones desapareados y, por lo tanto, son estados tripletes. El estado atómico se describe con el término símbolo ³ P, y el estado molecular con el término símbolo ³ Σ^-
_g.

Giro nuclear

Los núcleos atómicos también tienen espines. El espín nuclear $I$ es una propiedad fija de cada núcleo y puede ser un número entero o medio entero. La componente $m$ _$I$ del espín nuclear paralelo al eje $z$ puede tener (2 $I$ + 1) valores $I$ , $I$ –1, ..., $-I$ . Por ejemplo, un núcleo de ¹⁴ N tiene $I$ = 1, de modo que hay 3 posibles orientaciones relativas al eje $z$ , correspondientes a los estados $m$ _$I$ = +1, 0 y -1.

Los espines $I$ de diferentes núcleos se interpretan utilizando el modelo de capa nuclear . Los núcleos pares con números pares tanto de protones como de neutrones, como ¹² C y ¹⁶ O, tienen espín cero. Los núcleos de números de masa impares tienen espines semintegrales, como 3/2 para ⁷ Li, 1/2 para ¹³ C y 5/2 para ¹⁷ O, que generalmente corresponden al momento angular del último nucleón agregado. Los núcleos impares con números impares tanto de protones como de neutrones tienen espines integrales, como 3 para ¹⁰ B y 1 para ¹⁴ N. Los valores de espín nuclear para un isótopo dado se encuentran en las listas de isótopos para cada elemento. (Ver isótopos de oxígeno , isótopos de aluminio , etc., etc.)

Ver también

Referencias

enlaces externos

Weiss, Michael (2001). "Tratamiento completo de Spin, incluidos los orígenes, la evolución de la teoría de Spin y los detalles de las ecuaciones de Spin" . Departamento de Matemáticas de UC Riverside .

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