Imágenes dinámicas - Dynamical pictures

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia Libros de texto
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Regla nacida Longitud de onda de Compton Coherencia Decoherencia Complementariedad Nivel de energía Entrelazamiento Hamiltoniano Principio de incertidumbre Estado fundamental Amplitud de probabilidad Distribución de probabilidad Interferencia Medición Medida débil No localidad Observable Operador Cuántico Fluctuación cuántica Número cuántico Ruido cuántico Estado cuántico Sistema cuántico Teletransportación cuántica Qubit Girar Superposición Estado de vacío cuántico Simetría Ruptura de simetría (espontánea) Estado de vacío Propagación de onda Función de onda Colapso de la función de onda Dualidad onda-partícula Ola de materia Barrera de potencial rectangular Espacio fock
Efectos Efecto Zeeman Efecto Stark Efecto Aharonov-Bohm Cuantización de Landau Efecto Hall cuántico Efecto Quantum Zeno Túneles cuánticos Efecto fotoeléctrico Efecto Casimir
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Visión de conjunto Imágenes dinámicas ( Heisenberg ; Interacción ; Schrödinger ) Matriz Espacio de fase Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integración funcional
Interpretaciones Visión de conjunto Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
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v t mi

En mecánica cuántica , las imágenes (o representaciones ) dinámicas son las múltiples formas equivalentes de formular matemáticamente la dinámica de un sistema cuántico.

Los dos más importantes son la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger . Estos difieren solo por un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, análogo a la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo : en resumen, la dependencia del tiempo se adjunta a los estados cuánticos en la imagen de Schrödinger y a los operadores en la imagen de Heisenberg.

También existe una formulación intermedia conocida como imagen de interacción (o imagen de Dirac ) que es útil para hacer cálculos cuando un hamiltoniano complicado tiene una descomposición natural en un hamiltoniano "libre" simple y una perturbación .

Las ecuaciones que se aplican en una imagen no se cumplen necesariamente en las demás, porque las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan los operadores de una imagen con los operadores análogos de las otras. No todos los libros de texto y artículos especifican de qué imagen proviene cada operador, lo que puede generar confusión.

Cuadro de Schrödinger

Fondo

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico cuántico está representado por una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , | Psi ⟩. Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico-cuántico es una función que toma un ket | Psi ⟩ y devuelve algún otro ket | ψ ′ ⟩.

Las diferencias entre las imágenes de la mecánica cuántica de Schrödinger y Heiseinberg giran en torno a cómo lidiar con los sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser transmitida por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado | Psi ⟩ para el que el valor esperado de la cantidad de movimiento, , oscila sinusoidalmente en el tiempo. Entonces se puede preguntar si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado | Psi ⟩, el operador del momento , o ambos. Las tres opciones son válidas; el primero da la imagen de Schrödinger, el segundo la imagen de Heisenberg y el tercero la imagen de interacción. ${\ Displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata de un independiente del tiempo de Hamilton H , es decir, . ${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} H = 0}$

El operador de evolución temporal

Definición

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el tiempo t ₀ para producir el ket en algún otro momento t :

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Para los sujetadores , en cambio tenemos

${\ Displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}).}$

Propiedades

Unitaridad

El operador de evolución temporal debe ser unitario . Esto se debe a que exigimos que la norma del Estado Ket no cambie con el tiempo. Eso es,

${\ Displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I.}$

Identidad

Cuando t  = t ₀ , U es el operador de identidad , ya que

${\ Displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Cierre

La evolución temporal de t ₀ a t puede verse como una evolución temporal de dos pasos, primero desde t ₀ a un tiempo intermedio t ₁ , y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,

${\ Displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}).}$

Ecuación diferencial para el operador de evolución en el tiempo

Dejamos caer el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = H | \ psi (t) \ rangle,}$

donde H es el hamiltoniano . Ahora, usando el operador de evolución temporal U para escribir , tenemos ${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle}$

${\ Displaystyle i \ hbar {\ parcial \ sobre \ parcial t} U (t) | \ psi (0) \ rangle = HU (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

Dado que es una ce constante (el estado ce en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es verdadera para cualquier ce constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución del tiempo debe obedecer la ecuación ${\ Displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ Displaystyle i \ hbar {\ parcial \ sobre \ parcial t} U (t) = HU (t).}$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es

${\ Displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}.}$

Dado que H es un operador, esta expresión exponencial se evaluará mediante su serie de Taylor :

${\ Displaystyle e ^ {- iHt / \ hbar} = 1 - {\ frac {iHt} {\ hbar}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ht} {\ hbar} } \ right) ^ {2} + \ cdots.}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Tenga en cuenta que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un autoestado del hamiltoniano, con autovalor E , obtenemos: ${\ Displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iEt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Por lo tanto, vemos que los autoestados del hamiltoniano son estados estacionarios : solo recogen un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos viajan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

${\ Displaystyle U (t) = \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt'} \ right), }$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no se desplazan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

${\ Displaystyle U (t) = \ mathrm {T} \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt' }\derecho),}$

donde T es el operador de ordenación de tiempo , que a veces se conoce como la serie Dyson, después de FJDyson.

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un marco de referencia giratorio, que a su vez está siendo girado por el propagador. Dado que la rotación ondulatoria ahora está siendo asumida por el propio marco de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg (abajo).

Cuadro de Heisenberg

La imagen de Heisenberg es una formulación (hecha por Werner Heisenberg mientras estaba en Heligoland en la década de 1920) de la mecánica cuántica en la que los operadores ( observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo.

Definición

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, el vector de estado,, no cambia con el tiempo, y un observable A satisface ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$

donde H es el hamiltoniano y [•, •] denota el conmutador de dos operadores (en este caso H y A ). Al tomar los valores esperados, se obtiene el teorema de Ehrenfest que figura en el principio de correspondencia .

Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes. En cierto sentido, la imagen de Heisenberg es más natural y conveniente que la imagen equivalente de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas . La invariancia de Lorentz se manifiesta en la imagen de Heisenberg. Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica : al reemplazar el conmutador anterior por el corchete de Poisson , la ecuación de Heisenberg se convierte en una ecuación en la mecánica hamiltoniana .

Derivación de la ecuación de Heisenberg

El valor esperado de un observable A , que es un operador lineal hermitiano para un estado dado , está dado por ${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.}$

En el cuadro de Schrödinger , el estado en el instante t está relacionado con el estado en el momento 0 unitaria por un operador de evolución temporal , : ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle U (t)}$

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

Si el hamiltoniano no varía con el tiempo, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

${\ Displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar},}$

donde H es el hamiltoniano y ħ es la constante de Planck reducida . Por lo tanto,

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Defina, entonces,

${\ Displaystyle A (t): = e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar}.}$

Resulta que

${\ Displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} He ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ( {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha) e ^ {- iHt / \ hbar} + {i \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} A \ cdot (-H) e ^ {- iHt / \ hbar}}$

${\ displaystyle = {i \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} \ left (HA-AH \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({ \ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha) e ^ {- iHt / \ hbar}}$

${\ Displaystyle = {i \ over \ hbar} \ left (HA (t) -A (t) H \ right) + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar}.}$

La diferenciación se realizó de acuerdo con la regla del producto , mientras que ∂ A / ∂ t es la derivada en el tiempo de la A inicial , no el operador A ( t ) definido. La última ecuación es válida desde exp (- Iht / ħ ) conmuta con H .

Por lo tanto

${\ Displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} [H, A (t)] + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ parcial A} { \ parcial t}} \ derecha) e ^ {- iHt / \ hbar},}$

de donde surge la ecuación de movimiento de Heisenberg anterior, ya que la dependencia funcional convectiva de x (0) yp (0) se convierte en la misma dependencia de x ( t ), p ( t ), de modo que el último término se convierte en ∂ A ( t) / ∂ t . [ X ,  Y ] es el conmutador de dos operadores y se define como [ X ,  Y ]: = XY  -  YX .

La ecuación se resuelve mediante la A (t) definida anteriormente, como es evidente mediante el uso de la identidad estándar del operador ,

${\ displaystyle {e ^ {B} Ae ^ {- B}} = A + [B, A] + {\ frac {1} {2!}} [B, [B, A]] + {\ frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]] + \ cdots.}$

lo que implica

${\ Displaystyle A (t) = A + {\ frac {it} {\ hbar}} [H, A] - {\ frac {t ^ {2}} {2! \ hbar ^ {2}}} [H, [H, A]] - {\ frac {it ^ {3}} {3! \ Hbar ^ {3}}} [H, [H, [H, A]]] + \ dots}$

Esta relación también es válida para la mecánica clásica , el límite clásico de lo anterior, dada la correspondencia entre corchetes de Poisson y conmutadores ,

${\ Displaystyle [A, H] \ leftrightarrow i \ hbar \ {A, H \}}$

En la mecánica clásica, para una A sin dependencia temporal explícita,

${\ Displaystyle \ {A, H \} = {d \ over dt} A ~,}$

entonces, nuevamente, la expresión para A (t) es la expansión de Taylor alrededor de t = 0.

Relaciones del conmutador

Las relaciones del conmutador pueden parecer diferentes a las de la imagen de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere la operadores x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) y p ( t ₂ ) . La evolución temporal de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Considerando el oscilador armónico unidimensional,

${\ Displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} x ^ {2}} {2}}}$ ,

la evolución de los operadores de posición y momento viene dada por:

${\ Displaystyle {d \ over dt} x (t) = {i \ over \ hbar} [H, x (t)] = {\ frac {p} {m}}}$ ,

${\ Displaystyle {d \ over dt} p (t) = {i \ over \ hbar} [H, p (t)] = - m \ omega ^ {2} x}$ .

Diferenciando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas,

${\ Displaystyle {\ dot {p}} (0) = - m \ omega ^ {2} x_ {0},}$

${\ Displaystyle {\ dot {x}} (0) = {\ frac {p_ {0}} {m}},}$

lleva a

${\ Displaystyle x (t) = x_ {0} \ cos (\ omega t) + {\ frac {p_ {0}} {\ omega m}} \ sin (\ omega t)}$ ,

${\ Displaystyle p (t) = p_ {0} \ cos (\ omega t) -m \ omega \! x_ {0} \ sin (\ omega t)}$ .

El cálculo directo produce las relaciones de conmutador más generales,

${\ Displaystyle [x (t_ {1}), x (t_ {2})] = {\ frac {i \ hbar} {m \ omega}} \ sin (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1 })}$ ,

${\ Displaystyle [p (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar m \ omega \ sin (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1})}$ ,

${\ Displaystyle [x (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar \ cos (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1})}$ .

Porque , uno simplemente recupera las relaciones de conmutación canónicas estándar válidas en todas las imágenes. ${\ Displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

Imagen de interacción

La interacción Imagen es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver con exactitud, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano para los observables se llama "hamiltoniano libre" y el hamiltoniano para los estados se llama "hamiltoniano de interacción".

Definición

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para cambiar a la imagen de interacción, dividimos la imagen de Schrödinger hamiltoniana en dos partes,

Cualquier posible elección de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes se elegirán típicamente de modo que se comprenda bien y se resuelva exactamente, mientras que contenga alguna perturbación más difícil de analizar en este sistema. ${\ Displaystyle H_ {0, S}}$${\ Displaystyle H_ {1, S}}$

Si el hamiltoniano tiene una dependencia temporal explícita (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), generalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con , dejando el tiempo independiente. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si no es un contexto en el que tiene sentido tener sea dependiente del tiempo, entonces se puede proceder mediante la sustitución por el correspondiente operador de evolución temporal en las definiciones siguientes. ${\ Displaystyle H_ {1, S}}$${\ Displaystyle H_ {0, S}}$${\ Displaystyle H_ {0, S}}$${\ Displaystyle e ^ {\ pm iH_ {0, S} t / \ hbar}}$

Vectores de estado

Un vector de estado en la imagen de interacción se define como

donde es el mismo vector de estado que en la imagen de Schrödinger. ${\ Displaystyle | \ psi _ {S} (t) \ rangle}$

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

Tenga en cuenta que normalmente no dependerá de t , y se puede reescribir como solo . Sólo depende de t si el operador tiene una "dependencia temporal explícita", por ejemplo debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado, variable en el tiempo. ${\ Displaystyle A_ {S} (t)}$${\ Displaystyle A_ {S}}$

Operador hamiltoniano

Para el propio operador , la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden, ${\ Displaystyle H_ {0}}$

${\ Displaystyle H_ {0, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {0, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = H_ {0, S}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces llamarse H ₀ sin ambigüedad.

Para la perturbación hamiltoniana H _{1, yo} , sin embargo,

${\ Displaystyle H_ {1, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {1, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar},}$

donde el hamiltoniano de perturbación de imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _{1, s} , H _{0, s} ] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un H _{0, s} ( t ) hamiltoniano dependiente del tiempo , pero las exponenciales deben ser reemplazadas por el propagador unitario para la evolución generada por H _{0, s} ( t ), o más. explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Matriz de densidad

Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sea y sea ​​la matriz de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si hay probabilidad de estar en el estado físico , entonces ${\ Displaystyle \ rho _ {I}}$${\ Displaystyle \ rho _ {S}}$${\ Displaystyle p_ {n}}$${\ Displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ rho _ {I} (t) = \ sum _ {n} p_ {n} (t) | \ psi _ {n, I} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, I} (t) | = \ sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {n, S} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, S} (t) | e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}$

Ecuaciones de evolución temporal

Estados

Transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción da:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = H_ {1, I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle .}$

Esta ecuación se conoce como la ecuación de Schwinger - Tomonaga .

Operadores

Si el operador es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; ver más arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para viene dada por: ${\ Displaystyle A_ {S}}$${\ Displaystyle A_ {I} (t)}$

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} A_ {I} (t) = \ left [A_ {I} (t), H_ {0} \ right]. \;}$

En la imagen de interacción, los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano . ${\ Displaystyle H '= H_ {0}}$

Matriz de densidad

La transformación de la ecuación de Schwinger-Tomonaga en el lenguaje de la matriz de densidad (o de manera equivalente, la transformación de la ecuación de von Neumann en la imagen de interacción) da:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho _ {I} (t) = \ left [H_ {1, I} (t), \ rho _ {I} (t) \ right ].}$

Existencia

La imagen de interacción no siempre existe. Al interactuar las teorías de campos cuánticos, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre y otra que interactúa dentro de un sector de superselección. Además, incluso si en la imagen de Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo, H = H ₀ + V , en la imagen de interacción sí lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

${\ Displaystyle H _ {\ rm {int}} (t) \ equiv e ^ {{(i / \ hbar}) tH_ {0}} \, V \, e ^ {{(- i / \ hbar}) tH_ {0}}}$ .

Comparación de imágenes

La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica clásica de Hamilton (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores corresponden directamente a los paréntesis de Poisson clásicos ). La imagen de Schrödinger, la formulación preferida en los textos introductorios, es fácil de visualizar en términos de rotaciones espaciales de Hilbert de vectores de estado, aunque carece de generalización natural a los sistemas invariantes de Lorentz. La imagen de Dirac es más útil en la teoría de perturbaciones no estacionarias y covariantes, por lo que es adecuada para la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos .

Comparación resumida de evoluciones

Evolución	Imagen ( v t mi )
de:	Heisenberg	Interacción	Schrödinger
Estado de Ket	constante	${\ Displaystyle | \ psi _ {\ rm {I}} (t) \ rangle = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle}$	${\ Displaystyle | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle = e ^ {- iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} ( 0) \ rangle}$
Observable	${\ Displaystyle A _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} A _ {\ rm {S}} e ^ {- iH _ {\ rm {S }} ~ t / \ hbar}}$	${\ Displaystyle A _ {\ rm {I}} (t) = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} A _ {\ rm {S}} e ^ {- iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar}}$	constante
Matriz de densidad	constante	${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {I}} (t) = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar}}$	${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = e ^ {- iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (0) e ^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar}}$

Equivalencia

Es evidente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en las imágenes de Schrödinger, Heisenberg e Interaction,

${\ Displaystyle \ langle \ psi \ mid A (t) \ mid \ psi \ rangle = \ langle \ psi (t) \ mid A \ mid \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi _ {I} (t ) \ mid A_ {I} (t) \ mid \ psi _ {I} (t) \ rangle ~,}$

como deben.

Ver también

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Notación bra-ket

Notas

Referencias

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. págs. 312–314. ISBN   0-471-16433-X .
• Albert Messiah , 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda Septentrional, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3ª ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN   0-471-88702-1
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3ª ed.). Pergamon Press . ISBN   978-0-08-020940-1 . Copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN   978-0306447907 .
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN   978-0201539295 .

enlaces externos

• Auxiliares pedagógicos de la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace del Cap. 2 para encontrar una introducción extensa y simplificada a la imagen de Heisenberg.