Ecuación de Hamilton-Jacobi - Hamilton–Jacobi equation

En física , la ecuación de Hamilton-Jacobi , llamada así por William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . La ecuación de Hamilton-Jacobi es particularmente útil para identificar cantidades conservadas para sistemas mecánicos, lo que puede ser posible incluso cuando el problema mecánico en sí no se puede resolver por completo.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula se puede representar como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera el "enfoque más cercano" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica .

En matemáticas , la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extrema en generalizaciones de problemas a partir del cálculo de variaciones . Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de la programación dinámica .

Notación

Variables en negrita, como representar una lista de coordenadas generalizadas ,

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo (consulte la notación de Newton ). Por ejemplo,

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, como

Función principal de Hamilton

Definición

Deje que la matriz de Hesse sea ​​invertible. La relación

muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange forman un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Invertir la matriz transforma este sistema en

Sea fijo un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. La existencia y unicidad teoremas garantizar que, para cada el problema de valores iniciales con las condiciones y cuenta con una solución localmente único Además, que haya una suficientemente pequeño intervalo de tiempo tal que extremales con diferentes velocidades iniciales haría no se cruzan en el último significa que, por cualquiera y cualquiera puede haber como máximo un extremo para el cual y Sustituir en la acción funcional da como resultado la función principal de Hamilton

Fórmula para los momentos: p i ( q , t ) = ∂S / ∂q i

Los momentos se definen como las cantidades. Esta sección muestra que la dependencia de on desaparece, una vez que se conoce el HPF.

De hecho, sea ​​fijo un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. Para cada instante de tiempo y un punto , sea ​​el extremo (único) de la definición de la función principal de Hamilton. Llame a la velocidad en . Luego

Prueba  -

Si bien la siguiente prueba asume que el espacio de configuración es un subconjunto abierto de la técnica subyacente, se aplica igualmente a espacios arbitrarios . En el contexto de esta prueba, la letra caligráfica denota la acción funcional y la cursiva la función principal de Hamilton.

Paso 1. Sea una ruta en el espacio de configuración y un campo vectorial a lo largo . (Para cada uno, el vector se llama perturbación , variación infinitesimal o desplazamiento virtual del sistema mecánico en el punto ). Recuerde que la variación de la acción en el punto en la dirección viene dada por la fórmula

donde se debe sustituir y después de calcular las derivadas parciales en el lado derecho. (Esta fórmula se deriva de la definición de derivado de Gateaux a través de la integración por partes).

Suponga que es un extremo. Dado que ahora satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, el término integral desaparece. Si el punto de partida es fijo, entonces, por la misma lógica que se usó para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, Por lo tanto,

Paso 2. Sea el extremo (único) de la definición de HPF, un campo vectorial a lo largo y una variación de "compatible" con En términos precisos,

Por definición de HPF y derivado de Gateaux,

Aquí, lo tomamos en cuenta y lo abandonamos por compacidad.

Paso 3. Ahora sustituimos y en la expresión para del Paso 1 y comparamos el resultado con la fórmula derivada en el Paso 2. El hecho de que, para el campo vectorial se eligió arbitrariamente, completa la demostración.

Formulación matemática

Dado el hamiltoniano de un sistema mecánico, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton ,

Alternativamente, como se describe a continuación, la ecuación de Hamilton-Jacobi puede derivarse de la mecánica hamiltoniana tratándola como la función generadora de una transformación canónica del hamiltoniano clásico

Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas de con respecto a las coordenadas generalizadas

Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contiene constantes indeterminadas, la primera de ellas denotada como y la última procedente de la integración de .

La relación entre y luego describe la órbita en el espacio de fase en términos de estas constantes de movimiento . Además, las cantidades

También son constantes del movimiento, y estas ecuaciones se pueden invertir para encontrar en función de todos los y las constantes y el tiempo.

Comparación con otras formulaciones de mecánica.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la función de las coordenadas generalizadas y el tiempo . Los momentos generalizados no aparecen, excepto como derivados de . Sorprendentemente, la función es igual a la acción clásica .

A modo de comparación, en las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange equivalentes de la mecánica de Lagrange , los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema de ecuaciones , generalmente de segundo orden, para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados .

Dado que el HJE es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton , el HJE puede ser útil en otros problemas del cálculo de variaciones y, de manera más general, en otras ramas de las matemáticas y la física , como los sistemas dinámicos , la geometría simpléctica. y caos cuántico . Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se pueden utilizar para determinar las geodésicas en una variedad de Riemann , un problema variacional importante en la geometría de Riemann .

Derivación mediante una transformación canónica

Cualquier transformación canónica que implique una función generadora de tipo 2 conduce a las relaciones

y las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables y el nuevo hamiltoniano tienen la misma forma:

Para derivar el HJE, se elige una función generadora de tal manera que haga al nuevo hamiltoniano . Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero, y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales.

de modo que las nuevas coordenadas y momentos generalizados son constantes de movimiento . Como son constantes, en este contexto los nuevos momentos generalizados generalmente se denotan , es decir, y las nuevas coordenadas generalizadas se denotan típicamente como , así .

Estableciendo la función generadora igual a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria :

el HJE surge automáticamente

Cuando se resuelven , estos también nos dan las ecuaciones útiles

o escrito en componentes para mayor claridad

Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales en función de las constantes y , por lo tanto, resolver el problema original.

Acción y funciones de Hamilton

La función principal S de Hamilton y la función clásica H están estrechamente relacionadas con la acción . El diferencial total de es:

entonces la derivada del tiempo de S es

Por lo tanto,

entonces S es en realidad la acción clásica más una constante indeterminada.

Cuando H no depende explícitamente del tiempo,

en este caso, W es lo mismo que una acción abreviada .

Separación de variables

El HJE es más útil cuando se puede resolver mediante la separación aditiva de variables , que identifica directamente las constantes de movimiento . Por ejemplo, el tiempo t puede separarse si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En ese caso, la derivada del tiempo en el HJE debe ser una constante, generalmente denotada ( ), dando la solución separada

donde la función independiente del tiempo a veces se denomina función característica de Hamilton . La ecuación reducida de Hamilton-Jacobi se puede escribir

Para ilustrar la separabilidad de otras variables, se supone que una determinada coordenada generalizada y su derivada aparecen juntas como una sola función.

en el hamiltoniano

En ese caso, la función S se puede dividir en dos funciones, una que depende solo de q k y otra que depende solo de las coordenadas generalizadas restantes

La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (denotada aquí como ), produciendo una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para

En casos afortunados, la función se puede dividir completamente en funciones

En tal caso, el problema recae en las ecuaciones diferenciales ordinarias .

La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de coordenadas generalizadas . Para coordenadas ortogonales y hamiltonianas que no tienen dependencia del tiempo y son cuadráticas en los momentos generalizados, serán completamente separables si la energía potencial es separable aditivamente en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de coordenadas en el término de momento correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel ). A modo de ilustración, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales .

Ejemplos en varios sistemas de coordenadas

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, se puede escribir el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservador U

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que existan funciones: tales que puedan escribirse en la forma análoga

Sustitución de la solución completamente separada

en el HJE cede

Esta ecuación puede resolverse mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación para

donde es una constante del movimiento que elimina la dependencia de la ecuación de Hamilton-Jacobi

La siguiente ecuación diferencial ordinaria involucra la coordenada generalizada

donde es nuevamente una constante del movimiento que elimina la dependencia y reduce el HJE a la ecuación diferencial ordinaria final

cuya integración completa la solución para .

Coordenadas cilíndricas elípticas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas elípticas se puede escribir

donde los focos de las elipses se encuentran en el eje-. La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tenga una forma análoga

donde: , y son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada

en el HJE cede

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria

produce la ecuación reducida de Hamilton-Jacobi (después de la reordenación y la multiplicación de ambos lados por el denominador)

que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes

que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para .

Coordenadas cilíndricas parabólicas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede escribir

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tenga una forma análoga

donde , y son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada

en el HJE cede

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria

produce la ecuación reducida de Hamilton-Jacobi (después de la reordenación y la multiplicación de ambos lados por el denominador)

que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes

que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para .

Ondas y partículas

Frentes y trayectorias de ondas ópticas

El HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda. Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como "rayos" u ondas. El frente de onda se puede definir como la superficie que ha alcanzado la luz emitida en un momento . Los rayos de luz y los frentes de onda son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro.

Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la "acción" es el tiempo de viaje a lo largo de un camino,

donde es el índice de refracción del medio y es una longitud de arco infinitesimal. A partir de la formulación anterior, se pueden calcular las trayectorias de los rayos utilizando la formulación de Euler-Lagrange; alternativamente, se pueden calcular los frentes de onda resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi. Conocer a uno conduce a conocer al otro.

La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que se derivan de un principio variacional: calcule las trayectorias usando las ecuaciones de Euler-Lagrange o los frentes de onda usando la ecuación de Hamilton-Jacobi.

El frente de onda en el tiempo , para un sistema inicialmente en el tiempo , se define como la colección de puntos tales que . Si se conoce, el impulso se deduce inmediatamente.

Una vez que se conoce, las tangentes a las trayectorias se calculan resolviendo la ecuación

porque , ¿dónde está el lagrangiano? Las trayectorias se recuperan luego del conocimiento de .

Relación con la ecuación de Schrödinger

Las isosuperficies de la función se pueden determinar en cualquier momento

t . El movimiento de una isosuperficie en función del tiempo se define por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntos de la isosuperficie. El movimiento de tal isosuperficie puede considerarse como una onda que se mueve a través del espacio, aunque no obedece exactamente a la ecuación de onda . Para mostrar esto, sea S la fase de una onda

donde se introduce una constante (constante de

Planck ) para hacer adimensional el argumento exponencial; los cambios en la amplitud de la onda se pueden representar siendo un número complejo . La ecuación de Hamilton-Jacobi se reescribe luego como

que es la ecuación de Schrödinger .

Por el contrario, partiendo de la ecuación de Schrödinger y nuestro ansatz para , se puede deducir que

El límite clásico ( ) de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntico a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi,

Aplicaciones

HJE en un campo gravitacional

Usando la relación energía-momento en la forma

para una partícula de masa en

reposo que viaja en un espacio curvo, donde están las coordenadas contravariantes del tensor métrico (es decir, la métrica inversa ) resueltas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein , y es la velocidad de la luz . Estableciendo el cuatro-momento igual al cuatro-gradiente de la acción ,

da la ecuación de Hamilton-Jacobi en la geometría determinada por la métrica :

en otras palabras, en un campo gravitacional .

HJE en campos electromagnéticos

Para una partícula de masa en reposo y carga eléctrica que se mueve en un campo electromagnético con

cuatro potenciales en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métrico tiene la forma

y se puede resolver para la función de acción principal de Hamilton para obtener una solución adicional para la trayectoria y el momento de la partícula:

,

donde y con el ciclo promedio del potencial vectorial.

Una onda polarizada circularmente

En el caso de polarización circular ,

,
,

Por eso

donde , lo que implica que la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular con un radio permanente y un valor invariable de impulso dirigido a lo largo de un vector de campo magnético.

Una onda plana monocromática polarizada linealmente

Para la onda plana, monocromática y polarizada linealmente con un campo dirigido a lo largo del eje

por eso

,
,

lo que implica la trayectoria de la partícula en forma de 8 con un eje largo orientado a lo largo del vector de campo eléctrico .

Una onda electromagnética con un campo magnético solenoidal.

Para la onda electromagnética con campo magnético axial (solenoide):

por eso

donde es la magnitud del campo magnético en un solenoide con el radio efectivo , la inductividad , el número de devanados y la magnitud de la corriente eléctrica a través de los devanados del solenoide. El movimiento de las partículas se produce a lo largo de la trayectoria de la figura 8 en un plano perpendicular al eje del solenoide con un ángulo azimutal arbitrario debido a la simetría axial del campo magnético del solenoide.

Ver también

Referencias

Otras lecturas