Integración funcional - Functional integration

La integración funcional es una colección de resultados en matemáticas y física donde el dominio de una integral ya no es una región del espacio, sino un espacio de funciones . Las integrales funcionales surgen en probabilidad , en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en el enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica de partículas y campos.

En una integral ordinaria (en el sentido de integración de Lebesgue ) hay una función a integrar (el integrando) y una región del espacio sobre la cual integrar la función (el dominio de integración). El proceso de integración consiste en sumar los valores del integrando para cada punto del dominio de integración. Hacer este procedimiento riguroso requiere un procedimiento limitante, donde el dominio de integración se divide en regiones cada vez más pequeñas. Para cada región pequeña, el valor del integrando no puede variar mucho, por lo que puede ser reemplazado por un solo valor. En una integral funcional, el dominio de integración es un espacio de funciones. Para cada función, el integrando devuelve un valor para sumar. Hacer este procedimiento riguroso plantea desafíos que continúan siendo temas de investigación actual.

La integración funcional fue desarrollada por Percy John Daniell en un artículo de 1919 y Norbert Wiener en una serie de estudios que culminaron en sus artículos de 1921 sobre el movimiento browniano . Desarrollaron un método riguroso (ahora conocido como la medida de Wiener ) para asignar una probabilidad a la trayectoria aleatoria de una partícula. Richard Feynman desarrolló otra integral funcional, la integral de trayectoria , útil para calcular las propiedades cuánticas de los sistemas. En la integral de trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula se reemplaza por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada una ponderada de manera diferente según sus propiedades clásicas.

La integración funcional es fundamental para las técnicas de cuantificación en física teórica. Las propiedades algebraicas de las integrales funcionales se utilizan para desarrollar series utilizadas para calcular propiedades en electrodinámica cuántica y el modelo estándar de física de partículas.

Integración funcional

Considerando estándar integración Riemann resume una función f ( x ) en un intervalo continuo de valores de x , la integración funcional resume un funcional G [ f ], que puede ser pensado como una "función de una función de" sobre un rango continuo (o espacio ) de funciones f . La mayoría de las integrales funcionales no pueden evaluarse con exactitud, pero deben evaluarse mediante métodos de perturbación . La definición formal de una integral funcional es

${\ Displaystyle \ int G [f] [Df] \ equiv \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} G [f] \ prod _ {x} df (x).}$

Sin embargo, en la mayoría de los casos, las funciones f ( x ) se pueden escribir en términos de una serie infinita de funciones ortogonales como , y luego la definición se convierte en ${\ Displaystyle f (x) = f_ {n} H_ {n} (x)}$

${\ Displaystyle \ int G [f] [Df] \ equiv \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} G (f_ { 1}, f_ {2}, \ ldots) \ prod _ {n} df_ {n},}$

que es un poco más comprensible. Se muestra que la integral es una integral funcional con D mayúscula . A veces se escribe entre corchetes: [ Df ] o D [ f ], para indicar que f es una función.

Ejemplos

La mayoría de las integrales funcionales son en realidad infinitas, pero entonces el límite del cociente de dos integrales funcionales relacionadas aún puede ser finito. Las integrales funcionales que se pueden evaluar con exactitud suelen comenzar con la siguiente integral gaussiana :

${\ Displaystyle {\ frac {\ int e ^ {i \ int - {\ frac {1} {2}} f (x) \ cdot K (x, y) \ cdot f (y) \, dx \, dy + \ int J (x) \ cdot f (x) \, dx} [Df]} {\ int e ^ {i \ int - {\ frac {1} {2}} f (x) \ cdot K (x, y) \ cdot f (y) \, dx \, dy} [Df]}} = e ^ {i {\ frac {1} {2}} \ int J (x) \ cdot K ^ {- 1} ( x, y) \ cdot J (y) \, dx \, dy}.}$

Al diferenciar funcionalmente esto con respecto a J ( x ) y luego establecerlo en 0, esto se convierte en un exponencial multiplicado por un polinomio en f . Por ejemplo, ajuste , encontramos: ${\ Displaystyle K (x, y) = \ Box \ delta (xy)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ int f (a) f (b) e ^ {i \ int f (x) \ Box f (x) \, dx ^ {4}} [Df]} {\ int e ^ {i \ int f (x) \ Box f (x) \, dx ^ {4}} [Df]}} = K ^ {- 1} (a, b) = {\ frac {1} {| ab | ^ {2}}},}$

donde una , b y x son vectores de 4 dimensiones. Esto proviene de la fórmula para la propagación de un fotón en electrodinámica cuántica. Otra integral útil es la función delta funcional :

${\ Displaystyle \ int e ^ {i \ int f (x) g (x) \, dx} [Df] = \ delta [g] = \ prod _ {x} \ delta {\ big (} g (x) {\grande )},}$

que es útil para especificar restricciones. Las integrales funcionales también se pueden hacer sobre funciones valoradas por Grassmann , donde , lo cual es útil en electrodinámica cuántica para cálculos que involucran fermiones . ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ psi (x) \ psi (y) = - \ psi (y) \ psi (x)}$

Aproximaciones a las integrales de ruta

Las integrales funcionales donde el espacio de integración consta de caminos ( ν = 1) se pueden definir de muchas formas diferentes. Las definiciones se dividen en dos clases diferentes: las construcciones derivadas de la teoría de Wiener producen una integral basada en una medida , mientras que las construcciones que siguen la integral de ruta de Feynman no. Incluso dentro de estas dos amplias divisiones, las integrales no son idénticas, es decir, se definen de manera diferente para diferentes clases de funciones.

La integral de Wiener

En la integral de Wiener , se asigna una probabilidad a una clase de trayectorias de movimiento browniano . La clase consta de los caminos w que se sabe que atraviesan una pequeña región del espacio en un momento dado. Se supone que el paso a través de diferentes regiones del espacio son independientes entre sí, y se supone que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria browniana tiene una distribución gaussiana con una varianza que depende del tiempo ty de una constante de difusión D :

${\ Displaystyle \ Pr {\ big (} w (s + t), t \ mid w (s), s {\ big)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi Dt}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ | w (s + t) -w (s) \ | ^ {2}} {2Dt}} \ right).}$

La probabilidad para la clase de caminos se puede encontrar multiplicando las probabilidades de comenzar en una región y luego estar en la siguiente. La medida de Wiener se puede desarrollar considerando el límite de muchas regiones pequeñas.

• Cálculo de Itō y Stratonovich

La integral de Feynman

• Fórmula de Trotter o fórmula de producto de Lie .
• La idea de Kac de las rotaciones de Wick.
• Usando x-punto-punto-cuadrado o i S [x] + x-punto-cuadrado.
• Cartier DeWitt-Morette se basa en integradores en lugar de medidas

La integral de Lévy

• Mecánica cuántica fraccional
• Ecuación fraccional de Schrödinger
• Proceso Lévy
• Mecánica estadística fraccionada

Ver también

• Integral de ruta de Feynman
• Función de partición (teoría cuántica de campos)
• Aproximación del punto de silla
• Minlos, RA (2001) [1994], "Integral over trayectories" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Referencias

Otras lecturas

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4 (2): 8674 .
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); Tapa blanda ISBN  981-238-107-4 (también disponible en línea: archivos PDF )
• Laskin, Nick (2000). "Mecánica cuántica fraccional". Revisión E física . 62 (3): 3135. arXiv : 0811.1769 . Código Bibliográfico : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103 / PhysRevE.62.3135 .
• Laskin, Nick (2002). "Ecuación de Schrödinger fraccional". Revisión E física . 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph / 0206098 . Código Bibliográfico : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103 / PhysRevE.66.056108 . PMID  12513557 .
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. Integrales continuas . Moscú, Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1990. (en ruso). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov , Integrales funcionales en teoría cuántica de campos y física estadística, Springer 1983
• Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, Un enfoque unificado para la integración infinita dimensional, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)