Octaedro - Octahedron
Octaedro regular | |
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Escribe | Sólido platónico |
Código corto | 4 <> 3z |
Elementos |
F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2) |
Caras por lados | 8 {3} |
Notación de Conway | O aT |
Símbolos de Schläfli | {3,4} |
r {3,3} o | |
Configuración de la cara | V4.4.4 |
Símbolo de Wythoff | 4 | 2 3 |
Diagrama de Coxeter | |
Simetría | O h , BC 3 , [4,3], (* 432) |
Grupo de rotacion | O , [4,3] + , (432) |
Referencias | U 05 , C 17 , W 2 |
Propiedades | deltaedro regular , convexo |
Ángulo diedro | 109.47122 ° = arcos (- 1 ⁄ 3 ) |
3.3.3.3 ( figura de vértice ) |
Cubo ( poliedro doble ) |
Neto |
En geometría , un octaedro (plural: octaedros, octaedros) es un poliedro con ocho caras, doce aristas y seis vértices. El término se usa más comúnmente para referirse al octaedro regular , un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros , cuatro de los cuales se encuentran en cada vértice .
Un octaedro regular es el poliedro dual de un cubo . Es un tetraedro rectificado . Es una bipirámide cuadrada en cualquiera de las tres orientaciones ortogonales . También es un antiprisma triangular en cualquiera de las cuatro orientaciones.
Un octaedro es el caso tridimensional del concepto más general de politopo cruzado .
Un octaedro regular es una bola 3 en la métrica de Manhattan ( ℓ 1 ) .
Octaedro regular
Dimensiones
Si la longitud del borde de un octaedro regular es a , el radio de una esfera circunscrita (una que toca el octaedro en todos los vértices) es
y el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del octaedro) es
mientras que el radio medio, que toca el centro de cada borde, es
Proyecciones ortogonales
El octaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un borde, vértice, cara y normal a una cara. El segundo y el tercero corresponden a los planos Coxeter B 2 y A 2 .
Centrado por | Borde | Cara normal |
Vértice | Rostro |
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Imagen | ||||
Simetría proyectiva |
[2] | [2] | [4] | [6] |
Baldosas esféricas
El octaedro también se puede representar como un mosaico esférico y proyectar en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas en la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
Proyección ortográfica | Proyección estereográfica |
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Coordenadas cartesianas
Un octaedro con una longitud de borde √ 2 se puede colocar con su centro en el origen y sus vértices en los ejes de coordenadas; las coordenadas cartesianas de los vértices son entonces
- (± 1, 0, 0);
- (0, ± 1, 0);
- (0, 0, ± 1).
En un sistema de coordenadas cartesianas x - y - z , el octaedro con coordenadas centrales ( a , b , c ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) tales que
Área y volumen
El área de la superficie A y el volumen V de un octaedro regular de longitud de borde a son:
Por lo tanto, el volumen es cuatro veces mayor que el de un tetraedro regular con la misma longitud de borde, mientras que el área de la superficie es el doble (porque tenemos 8 en lugar de 4 triángulos).
Si un octaedro se ha estirado para que obedezca a la ecuación
las fórmulas para el área de la superficie y el volumen se expanden para convertirse en
Además, el tensor de inercia del octaedro estirado es
Estos se reducen a las ecuaciones del octaedro regular cuando
Relaciones geométricas
El interior del compuesto de dos tetraedros duales es un octaedro, y este compuesto, llamado stella octangula , es su primera y única estelación . En consecuencia, un octaedro regular es el resultado de cortar de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro). Los vértices del octaedro se encuentran en los puntos medios de las aristas del tetraedro, y en este sentido se relaciona con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y el icosidodecaedro se relacionan con los otros sólidos platónicos. También se pueden dividir las aristas de un octaedro en la proporción de la media áurea para definir los vértices de un icosaedro . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes del octaedro de manera que cada cara esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la media áurea a lo largo de la dirección de su vector. Hay cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado de esta manera, y juntos definen un compuesto regular .
Los octaedros y los tetraedros se pueden alternar para formar un vértice, un borde y una teselación de espacio uniforme , denominada celosía de octetos por Buckminster Fuller . Este es el único mosaico de este tipo, excepto el mosaico regular de cubos , y es uno de los 28 panales uniformes convexos . Otro es un mosaico de octaedros y cuboctaedros .
El octaedro es único entre los sólidos platónicos por tener un número par de caras que se encuentran en cada vértice. En consecuencia, es el único miembro de ese grupo que posee planos de espejo que no atraviesan ninguna de las caras.
Usando la nomenclatura estándar para los sólidos de Johnson , un octaedro se llamaría bipirámide cuadrada . El truncamiento de dos vértices opuestos da como resultado un bifrustum cuadrado .
El octaedro está conectado en 4 , lo que significa que se necesitan cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro poliedros simpliciales bien cubiertos de 4 conectados , lo que significa que todos los conjuntos máximos independientes de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal , el difenoide chato y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.
El octaedro también se puede generar como el caso de un superelipsoide 3D con todos los valores establecidos en 1.
Simetría y coloraciones uniformes
Hay 3 colores uniformes del octaedro, nombrados por los colores de las caras triangulares que rodean cada vértice: 1212, 1112, 1111.
El grupo de simetría del octaedro es O h , de orden 48, el grupo hiperoctaédrico tridimensional . Los subgrupos de este grupo incluyen D 3d (orden 12), el grupo de simetría de un antiprisma triangular ; D 4h (orden 16), el grupo de simetría de una bipirámide cuadrada ; y T d (orden 24), el grupo de simetría de un tetraedro rectificado . Estas simetrías se pueden enfatizar con diferentes coloraciones de las caras.
Nombre | Octaedro |
Tetraedro rectificado ( tetraedro ) |
Antiprisma triangular | Bipirámide cuadrada | Fusil rómbico |
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Imagen (coloración de la cara) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
(1111) |
Diagrama de Coxeter | = |
|
|||
Símbolo de Schläfli | {3,4} | r {3,3} | s {2,6} sr {2,3} |
pies {2,4} {} + {4} |
ftr {2,2} {} + {} + {} |
Símbolo de Wythoff | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Simetría | O h , [4,3], (* 432) | T d , [3,3], (* 332) | D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) D 3 , [2,3] + , (322) |
D 4 h , [2,4], (* 422) | D 2 h , [2,2], (* 222) |
Orden | 48 | 24 | 12 6 |
dieciséis | 8 |
Redes
El octaedro regular tiene once arreglos de redes .
Doble
El octaedro es el poliedro dual del cubo .
Si la longitud de un borde del octaedro , entonces la longitud de un borde del cubo dual .
Facetas
El tetrahemihexaedro uniforme es una faceta de simetría tetraédrica del octaedro regular, que comparte el borde y el vértice . Tiene cuatro de las caras triangulares y 3 cuadrados centrales.
Octaedro |
Tetrahemihexaedro |
Octaedros irregulares
Los siguientes poliedros son combinatoriamente equivalentes al poliedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que se corresponden uno por uno con las características de un octaedro regular.
- Antiprismas triangulares : dos caras son equiláteras, se encuentran en planos paralelos y tienen un eje de simetría común. Los otros seis triángulos son isósceles.
- Bipirámides tetragonales , en las que al menos uno de los cuadriláteros ecuatoriales se encuentra en un plano. El octaedro regular es un caso especial en el que los tres cuadriláteros son cuadrados planos.
- Poliedro de Schönhardt , un poliedro no convexo que no se puede dividir en tetraedros sin introducir nuevos vértices.
- Octaedro bricard , un poliedro flexible autocruzado no convexo
Otros octaedros convexos
De manera más general, un octaedro puede ser cualquier poliedro con ocho caras. El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; Los octaedros irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas. Hay 257 octaedros convexos topológicamente distintos , excluidas las imágenes especulares. Más específicamente, hay 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 para octaedros con 6 a 12 vértices respectivamente. (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen arreglos intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de modo que es imposible distorsionar uno en el otro simplemente cambiando las longitudes de los bordes o los ángulos entre los bordes o las caras).
Algunos octaedros irregulares más conocidos incluyen los siguientes:
- Prisma hexagonal : dos caras son hexágonos regulares paralelos; seis cuadrados enlazan los pares correspondientes de bordes hexagonales.
- Pirámide heptagonal : una cara es un heptágono (generalmente regular) y las siete caras restantes son triángulos (generalmente isósceles). No es posible que todas las caras triangulares sean equiláteras.
- Tetraedro truncado : Las cuatro caras del tetraedro se truncan para convertirse en hexágonos regulares, y hay cuatro caras de triángulos equiláteros más donde se truncó cada vértice del tetraedro.
- Trapezoedro tetragonal : Las ocho caras son cometas congruentes .
- Hosoedro octogonal : degenerado en el espacio euclidiano, pero se puede realizar de forma esférica.
Octaedros en el mundo físico
Octaedros en la naturaleza
- Los cristales naturales de diamante , alumbre o fluorita son comúnmente octaédricos, como el panal tetraédrico-octaédrico que llena el espacio .
- Las placas de aleación de kamacita en los meteoritos de octaedrita están dispuestas en paralelo a las ocho caras de un octaedro.
- Muchos iones metálicos coordinan seis ligandos en una configuración octaédrica o octaédrica distorsionada .
- Patrones de Widmanstätten en níquel - cristales de hierro
Octaedros en el arte y la cultura
- Especialmente en los juegos de rol , este sólido se conoce como "d8", uno de los dados poliédricos más comunes .
- Si cada borde de un octaedro se reemplaza por una resistencia de un ohmio , la resistencia entre vértices opuestos es 1/2 ohmios, y entre vértices adyacentes 5/12 ohm.
- Se pueden disponer seis notas musicales en los vértices de un octaedro de tal manera que cada borde represente una díada consonante y cada cara represente una tríada consonante; ver hexany .
Armadura tetraédrica
Buckminster Fuller inventó un marco de repetición de tetraedros y octaedros en la década de 1950, conocido como marco espacial , comúnmente considerado como la estructura más fuerte para resistir tensiones en voladizo .
Poliedros relacionados
Un octaedro regular se puede convertir en un tetraedro agregando 4 tetraedros en caras alternas. Agregar tetraedros a las 8 caras crea el octaedro estrellado .
tetraedro | octaedro estrellado |
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El octaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
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{4,3} | t {4,3} |
r {4,3} r {3 1,1 } |
t {3,4} t {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
h {4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t {3,3} |
s {3,4} s {3 1,1 } |
= |
= |
= |
= o |
= o |
= |
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Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
También es uno de los ejemplos más simples de un hipersimplejo , un politopo formado por ciertas intersecciones de un hipercubo con un hiperplano .
El octaedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con los símbolos de Schläfli {3, n }, continuando hacia el plano hiperbólico .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } | |||||||||||
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Esférico | Euclides. | Hiper compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Tetraedro
El octaedro regular también puede considerarse un tetraedro rectificado y puede llamarse tetraedro . Esto se puede mostrar con un modelo de cara de 2 colores. Con esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica .
Compare esta secuencia de truncamiento entre un tetraedro y su dual:
Familia de poliedros tetraédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [3,3] , (* 332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t {3,3} | r {3,3} | t {3,3} | {3,3} | rr {3,3} | tr {3,3} | sr {3,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Las formas anteriores también se pueden realizar como cortes ortogonales a la diagonal larga de un tesseract . Si esta diagonal está orientada verticalmente con una altura de 1, entonces los primeros cinco cortes de arriba ocurren en alturas r ,3/8, 1/2, 5/8, ys , donde r es cualquier número en el rango 0 < r ≤1/4, y s es cualquier número en el rango3/4≤ s <1 .
El octaedro como tetraedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasirregulares y teselaciones con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde las teselaciones de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todas estas teselaciones son construcciones de Wythoff dentro de un dominio fundamental de simetría, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio.
* n 32 simetrías orbifold de teselaciones cuasirregulares : (3. n ) 2 | |||||||
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Construcción |
Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | ||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |
Figuras cuasirregulares |
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Vértice | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3,5) 2 | (3,6) 2 | (3,7) 2 | (3,8) 2 | (3.∞) 2 |
Antiprisma trigonal
Como antiprisma trigonal , el octaedro está relacionado con la familia de simetría diédrica hexagonal.
Poliedros esféricos diédricos hexagonales uniformes | ||||||||||||||
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Simetría : [6,2] , (* 622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2 * 3) | ||||||||||||
{6,2} | t {6,2} | r {6,2} | t {2,6} | {2,6} | rr {6,2} | tr {6,2} | sr {6,2} | s {2,6} | ||||||
Duales a uniformes | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Nombre antiprisma | Antiprisma digital | (Trigonal) Antiprisma triangular |
(Tetragonal) Antiprisma cuadrado |
Antiprisma pentagonal | Antiprisma hexagonal | Antiprisma heptagonal | Antiprisma octogonal | Antiprisma enneagonal | Antiprisma decagonal | Antiprisma hedecagonal | Antiprisma dodecagonal | ... | Antiprisma apeirogonal |
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Imagen de poliedro | ... | ||||||||||||
Imagen de mosaico esférico | Imagen de mosaico plano | ||||||||||||
Configuración de vértice | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Bipirámide cuadrada
Nombre de la bipirámide | Bipirámide digital |
Bipirámide triangular (Ver: J 12 ) |
Bipirámide cuadrada (Ver: O ) |
Bipirámide pentagonal (Ver: J 13 ) |
Bipirámide hexagonal | Bipirámide heptagonal | Bipirámide octagonal | Bipirámide enneagonal | Bipirámide decagonal | ... | Bipirámide apeirogonal |
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Imagen de poliedro | ... | ||||||||||
Imagen de mosaico esférico | Imagen de mosaico plano | ||||||||||
Configuración facial. | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Diagrama de Coxeter | ... |
Ver también
- Número octaédrico
- Número octaédrico centrado
- Octaedro giratorio
- Stella octangula
- Triakis octaedro
- Octaedro Hexakis
- Octaedro truncado
- Geometría molecular octaédrica
- Simetría octaédrica
- Gráfico octaédrico
- Esfera octaédrica
Referencias
enlaces externos
- Encyclopædia Britannica . 19 (11ª ed.). 1911. .
- Weisstein, Eric W. "Octaedro" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o4o - oct" .
- Red imprimible editable de un octaedro con vista 3D interactiva
- Modelo de papel del octaedro
- KJM MacLean, un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
- Los poliedros uniformes
-
Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Notación de Conway para Polyhedra Try: dP4