Nido de abeja tetraédrico-octaédrico - Tetrahedral-octahedral honeycomb

Nido de abeja cúbico alternado
Tipo	Panal uniforme
Familia	Panal hipercúbico alternado Panal simplectico
Indexación	J 21 , 31 , 51 , A 2 W 9 , G 1
Símbolos de Schläfli	h {4,3,4} {3 [4] } ht 0,3 {4,3,4} h {4,4} h {∞} ht 0,2 {4,4} h {∞} h { ∞} h {∞} h {∞} s {∞} s {∞} s {∞}
Diagramas de Coxeter	= = = =
Células	{3,3} {3,4}
Caras	triángulo {3}
Figura de borde	[{3,3}. {3,4}] 2 ( rectángulo )
Figura de vértice	( cuboctaedro )
Grupo de simetría	Fm 3 metros (225)
Grupo Coxeter	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ , [4,3 1,1 ]
Doble	Dodecahedrille rómbica dodecaedro panal Cell:
Propiedades	vértice-transitivo , borde-transitivo , cuasirregular panal

El nido de abeja tetraédrica-octaédricos , alternado panal cúbico es un relleno de espacio quasiregular teselación (o panal ) en euclidiana 3-espacio . Está compuesto por octaedros y tetraedros regulares alternados en una proporción de 1: 2.

Otros nombres incluyen medio panal cúbico , medio celulación cúbica o celulación esfenoidal tetragonal . John Horton Conway llama a este panal una tetroctaedrilla y su doble una dodecaedrilla .

Es un vértice transitivo con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice . Es de borde transitivo con 2 tetraedros y 2 octaedros alternando en cada borde.

Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.

Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.

Es parte de una familia infinita de panales uniformes llamados panales hipercúbicos alternos , formados como una alternancia de un panal hipercúbico y compuestos por facetas demihipercubo y politopo cruzado . También es parte de otra familia infinita de panales uniformes llamados panales simplecticos .

En este caso de 3 espacios, el panal cúbico se alterna, reduciendo las celdas cúbicas a tetraedros, y los vértices eliminados crean vacíos octaédricos. Como tal, puede representarse mediante un símbolo de Schläfli extendido h {4,3,4} que contiene la mitad de los vértices del panal cúbico {4,3,4}.

Hay un panal similar llamado panal tetraédrico-octaédrico girado que tiene capas giradas 60 grados, por lo que la mitad de los bordes tienen tetraedros y octaedros vecinos en lugar de alternarlos.

El panal tetraédrico-octaédrico puede duplicar su simetría colocando tetraedros en las células octaédricas, creando un panal no uniforme que consiste en tetraedros y octaedros (como antiprismas triangulares). Su figura de vértice es un triakis tetraedro truncado de orden 3 . Este panal es el dual del panal tetraédrico triakis truncado , con células tetraédricas triakis truncadas .

Coordenadas cartesianas

Para un panal cúbico alternado , con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 1, las coordenadas cartesianas de los vértices son: (Para todos los valores integrales: i , j , k con i + j + k par )

(yo, j, k)

Simetría

Hay dos construcciones reflectantes y muchas alternas de panal cúbico ; ejemplos:

Simetría	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ , [4,3 1,1 ] = ½ , [1 + , 4,3,4] ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ , [3 [4] ] = ½ , [1 + , 4,3 1,1 ] ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	[[(4,3,4,2 + )]]	[(4,3,4,2 + )]
Grupo espacial	Fm 3 metros (225)	F 4 3m (216)	Yo 4 3m (217)	P 4 3m (215)
Imagen
Tipos de tetraedros	1	2	3	4
Diagrama de Coxeter	=	= =

Rebanadas de panal cúbicas alternas

El panal cúbico alternado se puede cortar en secciones, donde se crean nuevas caras cuadradas desde el interior del octaedro. Cada rebanada contendrá pirámides cuadradas hacia arriba y hacia abajo y tetraedros sentados en sus bordes. Una segunda dirección de corte no necesita caras nuevas e incluye alternancia tetraédrica y octaédrica. Este panal de losa es un panal escaliforme en lugar de uniforme porque tiene células no uniformes.

Proyección por plegado

El panal cúbico alternado se puede proyectar ortogonalmente en el mosaico cuadrado plano mediante una operación de plegado geométrico que mapea un par de espejos entre sí. La proyección del panal cúbico alternado crea dos copias desplazadas de la disposición del vértice de mosaico cuadrado del plano:

Grupo Coxeter	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$
Diagrama de Coxeter
Imagen
Nombre	panal cúbico alternado	baldosas cuadradas

Celosía A3 / D3

Su disposición vértice representa un A ₃ de celosía o D ₃ de celosía . Esta celosía se conoce como celosía cúbica centrada en las caras en cristalografía y también se la conoce como celosía cúbica compactada, ya que sus vértices son los centros de una empaquetadura compacta con esferas iguales que logra la densidad media más alta posible. El panal tetraédrico-octaédrico es el caso tridimensional de un panal simplectico . Su celda de Voronoi es un dodecaedro rómbico , el dual de la figura del vértice cuboctaedro para el panal tet-oct.

El d ⁺
₃ El empaque se puede construir mediante la unión de dos celosías D ₃ (o A ₃ ). El d ⁺
_n el embalaje es solo una celosía para dimensiones uniformes. El número de besos es 2 ² = 4, (2 ^n-1 para n <8, 240 para n = 8 y 2n (n-1) para n> 8).

∪

La A ^*
₃ o D ^*
₃ celosía (también llamada A ⁴
₃ o D ⁴
₃ ) se puede construir mediante la unión de las cuatro celosías A ₃ , y es idéntica a la disposición de vértice del panal tetraédrico difenoide , panal doble del panal cúbico bitruncado uniforme : también es el cuerpo cúbico centrado , la unión de dos panales cúbicos en posiciones duales.

∪ ∪ ∪ = dual de = ∪ .

El número de besos de la D ^*
₃ celosía es 8 y su teselación Voronoi es un panal cúbico bitruncado , , que contiene todas las células de Voronoi octaédricas truncadas , .

Panales relacionados

Panales C3

El [4,3,4], , El grupo Coxeter genera 15 permutaciones de panales uniformes, 9 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal teseractic runcinated) es geométricamente idéntico al panal cúbico.

Panales C3
Grupo espacial	Fibrifold	Simetría extendida	Diagrama extendido	Orden	Panales
Pm 3 m (221)	4 - : 2	[4,3,4]		× 1	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Fm 3 metros (225)	2 - : 2	[1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	Medio	7 , 11 , 12 , 13
Yo 4 3m (217)	4 o : 2	[[(4,3,4,2 + )]]		Mitad × 2	(7) ,
Fd 3 metros (227)	2 + : 2	[[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	Trimestre × 2	10 ,
Tengo 3 m (229)	8 o : 2	[[4,3,4]]		× 2	(1) , 8 , 9

Panales B3

El [4,3 ^1,1 ], , El grupo Coxeter genera 9 permutaciones de panales uniformes, 4 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.

Panales B3
Grupo espacial	Fibrifold	Simetría extendida	Diagrama extendido	Orden	Panales
Fm 3 metros (225)	2 - : 2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	× 1	1 , 2 , 3 , 4
Fm 3 metros (225)	2 - : 2	<[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	× 2	(1) , (3)
Pm 3 m (221)	4 - : 2	<[4,3 1,1 ]>		× 2	5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11

Panales A3

Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos construidos por el grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin : ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$

Panales A3
Grupo espacial	Fibrifold	Simetría cuadrada	Simetría extendida	Diagrama extendido	Grupo extendido	Diagramas de panal
F 4 3m (216)	1 o : 2	a1	[3 [4] ]		${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	(Ninguna)
Fm 3 metros (225)	2 - : 2	d2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2 1 ↔ ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	1 ,   2
Fd 3 metros (227)	2 + : 2	g2	[[3 [4] ]] o [2 + [3 [4] ]]	↔	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2 2	3
Pm 3 m (221)	4 - : 2	d4	<2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 4 1 ↔ ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	4
Yo 3 (204)	8 −o	r8	[4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]]	↔	½ × 8 ↔ ½ × 2 ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	(*)
Tengo 3 m (229)	8 o : 2		[4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 8 ↔ × 2 ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	5

Panales cuasirregulares

Policora cuasirregular y panales: h {4, p, q}
Espacio	Finito	Afín	Compacto	Paracompacto
Símbolo Schläfli	h {4,3,3}	h {4,3,4}	h {4,3,5}	h {4,3,6}	h {4,4,3}	h {4,4,4}
	${\ Displaystyle \ left \ {3, {3 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ left \ {3, {4 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ left \ {3, {5 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ left \ {3, {6 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ left \ {4, {4 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ left \ {4, {4 \ atop 4} \ right \}}$
Diagrama de Coxeter	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Imagen
Figura de vértice r {p, 3}

Panal cúbico Cantic

Panal cúbico Cantic
Tipo	Panal uniforme
Símbolo Schläfli	h 2 {4,3,4}
Diagramas de Coxeter	= =
Células	t {3,4} r {4,3} t {3,3}
Caras	triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6}
Figura de vértice	pirámide rectangular
Grupos de Coxeter	[4,3 1,1 ], [3 [4] ], ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
Grupo de simetría	Fm 3 metros (225)
Doble	Medio octaedrilo achatado Celda:
Propiedades	vértice-transitivo

El panal cúbico cantico , la celulación cúbica cantica o el panal medio cúbico truncado es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por octaedros truncados , cuboctaedros y tetraedros truncados en una proporción de 1: 1: 2. Su figura de vértice es una pirámide rectangular .

John Horton Conway llama a este panal un tetraoctaedrilo truncado , y su octaedrilo doble mitad achatado .

 

Simetría

Tiene dos construcciones uniformes diferentes. La construcción se puede ver con tetraedros truncados de colores alternativos . ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$

Simetría	[4,3 1,1 ], = <[3 [4] ]> ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	[3 [4] ], ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
Grupo espacial	Fm 3 metros (225)	F 4 3m (216)
Colorante
Coxeter	=	=
Figura de vértice

Panales relacionados

Está relacionado con el panal cúbico cantelado . Los rombicuboctaedros se reducen a octaedros truncados y los cubos se reducen a tetraedros truncados.

cúbico cantelado	Cantic cúbico
, , rr {4,3} , r {4,3} , {4,3}	, , t {3,4} , r {4,3} , t {3,3}

Panal cúbico rúnico

Panal cúbico rúnico
Tipo	Panal uniforme
Símbolo Schläfli	h 3 {4,3,4}
Diagramas de Coxeter	=
Células	rr {4,3} {4,3} {3,3}
Caras	triángulo {3} cuadrado {4}
Figura de vértice	tronco triangular
Grupo Coxeter	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ , [4,3 1,1 ]
Grupo de simetría	Fm 3 metros (225)
Doble	cuarto de cubilo de celda:
Propiedades	vértice-transitivo

El panal cúbico rúnico o la celulación cúbica rúnica es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos y tetraedros en una proporción de 1: 1: 2. Su figura de vértice es un tronco triangular , con un tetraedro en un extremo, un cubo en el extremo opuesto y tres rombicuboctaedros alrededor de los lados trapezoidales.

John Horton Conway llama a este panal un 3-RCO-trille , y su cuarto de cubille doble .

Cuarto de cubille

El dual de un panal cúbico rúnico se llama cuarto cubille , con diagrama de Coxeter , con caras en 2 de 4 planos superiores del dominio fundamental de simetría , [4,3 ^1,1 ]. ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$

Las células se pueden ver como 1/4 del cubo diseccionado , usando 4 vértices y el centro. Existen cuatro celdas alrededor de 6 bordes y 3 celdas alrededor de 3 bordes.

Panales relacionados

Está relacionado con el panal cúbico runcinado , con un cuarto de los cubos alternados en tetraedros y la mitad expandidos en rombicuboctaedros.

Cúbico runcinado	Cúbico rúnico =
{4,3} , {4,3} , {4,3} , {4,3} , , ,	h {4,3} , rr {4,3} , {4,3} , ,

Este panal se puede dividir en planos de alicatados cuadrados truncados , utilizando los centros octágonos de los rombicuboctaedros, creando cúpulas cuadradas . Este panal escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter , y símbolo s ₃ {2,4,4}, con notación de coxeter simetría [2 ⁺ , 4,4].

.

---

Panal cúbico runcicantic

Panal cúbico runcicantic
Tipo	Panal uniforme
Símbolo Schläfli	h 2,3 {4,3,4}
Diagramas de Coxeter	=
Células	tr {4,3} t {4,3} t {3,3}
Caras	triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8}
Figura de vértice	esfenoides reflejados
Grupo Coxeter	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ , [4,3 1,1 ]
Grupo de simetría	Fm 3 metros (225)
Doble	media celda piramidal :
Propiedades	vértice-transitivo

El panal cúbico runcicantic o la celulación cúbica runcicantic es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por cuboctaedros truncados , cubos truncados y tetraedros truncados en una proporción de 1: 1: 2, con una figura de vértice esfenoidal reflejada . Se relaciona con el panal cúbico runcicantellated .

John Horton Conway llama a este panal un f-tCO-trille , y su mitad piramidal doble .

Media pirámide

El dual al panal cúbico runcitruncado se llama media pirámide , con diagrama de Coxeter . Existen caras en 3 de 4 hiperplanos del [4,3 ^1,1 ], grupo Coxeter. ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$

Las celdas son pirámides irregulares y se pueden ver como 1/12 de un cubo o 1/24 de un dodecaedro rómbico , cada una definida con tres esquinas y el centro del cubo.

Apeiroedros de sesgo relacionados

Existe un apeiroedro de sesgo uniforme relacionado con la misma disposición de vértices , pero se eliminan los triángulos y el cuadrado. Puede verse como tetraedros truncados y cubos truncados aumentados juntos.

Panales relacionados

Cúbico Runcicantic

Cúbico runcicantellated

Panal tetraédrico-octaédrico girado

Panal tetraédrico-octaédrico girado
Tipo	panal uniforme convexo
Diagramas de Coxeter
Símbolos de Schläfli	h {4,3,4}: g h {6,3} h {∞} s {3,6} h {∞} s {3 [3] } h {∞}
Células	{3,3} {3,4}
Caras	triángulo {3}
Figura de vértice	ortobicúpula triangular G3.4.3.4
Grupo espacial	P6 3 / mmc (194) [3,6,2 + , ∞]
Doble	panal dodecaédrico trapezo-rómbico
Propiedades	vértice-transitivo

El panal tetraédrico-octaédrico girado o el panal cúbico alternado girado es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional compuesto por octaedros y tetraedros en una proporción de 1: 2.

Es de vértice uniforme con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice.

No es uniforme en los bordes . Todos los bordes tienen 2 tetraedros y 2 octaedros, pero algunos se alternan y otros están emparejados.

Puede verse como capas reflectantes de esta capa alveolar:

Construcción por giro

Esta es una versión menos simétrica de otro panal de abejas, tetraédrico-octaédrico, en el que cada borde está rodeado por tetraedros y octaedros alternos. Se puede considerar que ambos consisten en capas de una celda de espesor, dentro de las cuales los dos tipos de celdas se alternan estrictamente. Debido a que las caras en los planos que separan estas capas forman un patrón regular de triángulos , las capas adyacentes se pueden colocar de modo que cada octaedro en una capa se encuentre con un tetraedro en la siguiente capa, o para que cada celda se encuentre con una celda de su propio tipo (la el límite de capa se convierte así en un plano de reflexión ). La última forma se llama girada .

La figura del vértice se llama ortobicúpula triangular , en comparación con el panal tetraédrico-octaédrico cuya figura de vértice cuboctaedro en una simetría inferior se llama girobicúpula triangular , por lo que el prefijo gyro- se invierte en el uso.

Figuras de vértice

Panal	Girado tet-oct	Reflectante tet-oct
Imagen
Nombre	ortobicupla triangular	girobicupla triangular
Figura de vértice
Simetría	D 3h , orden 12	D 3d , orden 12 (O h , orden de 48)

Construcción por alternancia

La geometría también se puede construir con una operación de alternancia aplicada a un panal prismático hexagonal . Las celdas del prisma hexagonal se convierten en octaedros y los vacíos crean bipirámides triangulares que se pueden dividir en pares de tetraedros de este panal. Este panal con bipirámides se llama panal ditetraédrico-octaédrico . Hay 3 diagramas de Coxeter-Dynkin , que pueden verse como 1, 2 o 3 colores de octaedros:

1. 
2. 
3. 

Panal cúbico alternado giroelongado

Panal de abeja cúbico alternado giroelongado
Tipo	Panal uniforme
Símbolo Schläfli	h {4,3,4}: ge {3,6} h 1 {∞}
Diagrama de Coxeter
Células	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Caras	triángulo {3} cuadrado {4}
Figura de vértice
Grupo espacial	P6 3 / mmc (194) [3,6,2 + , ∞]
Propiedades	vértice-transitivo

El panal cúbico alternado giroelongado o la celulación antiprismática triangular alargada es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1: 2: 2.

Es un vértice transitivo con 3 octaedros, 4 tetraedros, 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice.

Es uno de los 28 panales uniformes convexos .

El panal cúbico alterno alargado tiene la misma disposición de celdas en cada vértice, pero la disposición general es diferente. En la forma alargada , cada prisma se encuentra con un tetraedro en una de sus caras triangulares y un octaedro en la otra; en la forma giroelongada , el prisma se encuentra con el mismo tipo de deltaedro en cada extremo.

Panal cúbico alternado alargado

Panal cúbico alternado alargado
Tipo	Panal uniforme
Símbolo Schläfli	h {4,3,4}: e {3,6} g 1 {∞}
Células	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Caras	triángulo {3} cuadrado {4}
Figura de vértice	cúpula triangular unida a pirámide hexagonal isósceles
Grupo de simetría	[6, (3,2 + , ∞, 2 + )]?
Propiedades	vértice-transitivo

El panal de abeja cúbico alternado alargado o la celulación giroprismática triangular alargada es una teselación de relleno de espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1: 2: 2.

Es un vértice transitivo con 3 octaedros, 4 tetraedros, 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice. Cada prisma se encuentra con un octaedro en un extremo y un tetraedro en el otro.

Es uno de los 28 panales uniformes convexos .

Tiene una forma girada llamada panal cúbico alternado giroelongado con la misma disposición de celdas en cada vértice.

Ver también

• Teselación arquitectónica y catópica
• Panal cúbico
• Marco espacial

Notas

Referencias

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN   978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Nombrar los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Cataluña, teselados arquitectónicos y catóptricos, p. 292-298, incluye todas las formas no prismáticas)
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
• Branko Grünbaum , Azulejos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4 (1994), 49 - 56.
• Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito (1991)
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN   0-486-23729-X .
• Critchlow, Keith (1970). Order in Space: un libro fuente de diseño . Prensa vikinga. ISBN   0-500-34033-1 .
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [2]
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
  • (Prueba 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
• A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
• DMY Sommerville , Introducción a la geometría de n dimensiones. Nueva York, EP Dutton, 1930. 196 págs. (Edición de publicaciones de Dover, 1958) Capítulo X: Los politopos regulares
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas (3ª ed.). ISBN   0-387-98585-9 .

enlaces externos

• Diseño arquitectónico realizado con tetraedros y pirámides regulares basadas en cuadrados. (2003)
• Klitzing, Richard. "Panales euclidianos 3D x3o3o * b4o - octeto - O21" .
• Panales uniformes en 3 espacios: 11 octetos

v t mi Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2-9
Espacio	Familia	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Azulejos uniformes	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nido de abeja convexo uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme 4 panal	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	Panal de 24 celdas
E 5	Uniforme de 5 panales	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme de 6 panales	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme de 7 panales	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme de 8 panal	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme de 9 panales	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniforme ( n -1) - panal	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21