Deltaedro - Deltahedron

El deltaedro estrictamente convexo más grande es el icosaedro regular.

Este es un tetraedro truncado con hexágonos subdivididos en triángulos. Esta figura no es un deltaedro estrictamente convexo ya que las caras coplanares no están permitidas dentro de la definición.

En geometría, un deltaedro ( plural deltaedros ) es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros . El nombre se toma del delta griego en mayúsculas (Δ), que tiene la forma de un triángulo equilátero. Hay infinitos deltaedros, todos con un número par de caras según el lema del apretón de manos . De estos, solo ocho son convexos y tienen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 y 20 caras. El número de caras, aristas y vértices se enumera a continuación para cada uno de los ocho deltaedros convexos.

Los ocho deltaedros convexos

Solo hay ocho deltaedros estrictamente convexos: tres son poliedros regulares y cinco son sólidos de Johnson .

Deltaedro regular
Imagen	Nombre	Caras	Bordes	Vértices	Configuraciones de vértice	Grupo de simetría
	tetraedro	4	6	4	4 × 3 3	T d , [3,3]
	octaedro	8	12	6	6 × 3 4	O h , [4,3]
	icosaedro	20	30	12	12 × 3 5	Yo h , [5,3]
Johnson deltahedra
Imagen	Nombre	Caras	Bordes	Vértices	Configuraciones de vértice	Grupo de simetría
	bipirámide triangular	6	9	5	2 × 3 3 3 × 3 4	D 3 h , [3,2]
	bipirámide pentagonal	10	15	7	5 × 3 4 2 × 3 5	D 5 h , [5,2]
	difenoide desagradable	12	18	8	4 × 3 4 4 × 3 5	D 2d , [2,2]
	prisma triangular triaumentado	14	21	9	3 × 3 4 6 × 3 5	D 3 h , [3,2]
	bipirámide cuadrada giroelongada	dieciséis	24	10	2 × 3 4 8 × 3 5	D 4d , [4,2]

En el deltaedro de 6 caras, algunos vértices tienen grado 3 y algún grado 4. En los deltaedros de 10, 12, 14 y 16 caras, algunos vértices tienen grado 4 y algún grado 5. Estos cinco deltaedros irregulares pertenecen a la clase de sólidos de Johnson : poliedros convexos con polígonos regulares para las caras.

Los deltaedros conservan su forma incluso si los bordes pueden girar libremente alrededor de sus vértices para que los ángulos entre los bordes sean fluidos. No todos los poliedros tienen esta propiedad: por ejemplo, si relaja algunos de los ángulos de un cubo , el cubo puede deformarse en un prisma cuadrado no recto .

No hay deltaedro convexo de 18 caras. Sin embargo, el icosaedro de borde contraído da un ejemplo de un octadecaedro que puede hacerse convexo con 18 caras triangulares irregulares o hacerse con triángulos equiláteros que incluyen dos conjuntos coplanares de tres triángulos.

Casos no estrictamente convexos

Hay un número infinito de casos con triángulos coplanares, lo que permite secciones de los teselados triangulares infinitos . Si los conjuntos de triángulos coplanares se consideran una sola cara, se puede contar un conjunto más pequeño de caras, aristas y vértices. Las caras triangulares coplanares se pueden fusionar en caras poligonales rómbicas, trapezoidales, hexagonales u otras equiláteras. Cada cara tiene que ser una convexa poliamante tales como , , , , , , y , ...

Algunos ejemplos más pequeños incluyen:

Deltaedro coplanar

Imagen	Nombre	Caras	Bordes	Vértices	Configuraciones de vértice	Grupo de simetría
	Aumentada octaedro Aumento 1 tet + 1 oct	10	15	7	1 × 3 3 3 × 3 4 3 × 3 5 0 × 3 6	C 3v , [3]
		4 3	12
	Aumento del trapezoedro trigonal 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3 3 0 × 3 4 6 × 3 5 0 × 3 6	C 3v , [3]
		6	12
	Aumento 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3 3 1 × 3 4 4 × 3 5 1 × 3 6	C 2v , [2]
		2 2 2	11	7
	Aumento del tronco triangular 3 tets + 1 oct	14	21	9	3 × 3 3 0 × 3 4 3 × 3 5 3 × 3 6	C 3v , [3]
		1 3 1	9	6
	Aumento de octaedro alargado 2 tets + 2 octs	dieciséis	24	10	0 × 3 3 4 × 3 4 4 × 3 5 2 × 3 6	D 2 h , [2,2]
		4 4	12	6
	Aumento de tetraedro 4 tets + 1 oct	dieciséis	24	10	4 × 3 3 0 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6	T d , [3,3]
		4	6	4
	Aumento 3 tets + 2 octs	18	27	11	1 × 3 3 2 × 3 4 5 × 3 5 3 × 3 6	D 2 h , [2,2]
		2 1 2 2	14	9
	Icosaedro de borde contraído	18	27	11	0 × 3 3 2 × 3 4 8 × 3 5 1 × 3 6	C 2v , [2]
		12 2	22	10
	Aumento de bifrustum triangular 6 tets + 2 octs	20	30	12	0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 3 × 3 6	D 3 h , [3,2]
		2 6	15	9
	Aumento de cúpula triangular 4 tets + 3 octs	22	33	13	0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 4 × 3 6	C 3v , [3]
		3 3 1 1	15	9
	Aumento de bipirámide triangular 8 tets + 2 octs	24	36	14	2 × 3 3 3 × 3 4 0 × 3 5 9 × 3 6	D 3 h , [3]
		6	9	5
	Antiprisma hexagonal	24	36	14	0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 2 × 3 6	D 6d , [12,2 + ]
		12 2	24	12
	Aumento de tetraedro truncado 6 tets + 4 octs	28	42	dieciséis	0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 4 × 3 6	T d , [3,3]
		4 4	18	12
	Aumento de octaedro cuboctaedro tetrakis 8 tets + 6 octs	32	48	18	0 × 3 3 12 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6	O h , [4,3]
		8	12	6

Formas no convexas

Hay un número infinito de formas no convexas.

Algunos ejemplos de deltaedros de intersección de caras:

• Gran icosaedro : un sólido de Kepler-Poinsot , con 20 triángulos que se cruzan

  

Se pueden generar otros deltaedros no convexos agregando pirámides equiláteras a las caras de los 5 poliedros regulares:

triakis tetraedro	tetrakis hexaedro	triakis octaedro ( stella octangula )	pentakis dodecaedro	triakis icosaedro
12 triángulos	24 triángulos		60 triángulos

Otros aumentos del tetraedro incluyen:

Ejemplos: tetraedros aumentados

8 triángulos	10 triángulos	12 triángulos

También agregando pirámides invertidas a las caras:

• Dodecaedro excavado

Dodecaedro excavado	Un deltaedro toroidal
60 triángulos	48 triángulos

Ver también

• Politopo simple : politopos con todas las facetas simplex

Referencias

Otras lecturas

• Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für Mathischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
• Cundy, H. Martyn (diciembre de 1952), "Deltahedra", Mathematical Gazette , 36 : 263-266, doi : 10.2307 / 3608204 , JSTOR  3608204.
• Cundy, H. Martyn ; Rollett, A. (1989), "3.11. Deltahedra", Mathematical Models (3ª ed.), Stradbroke, Inglaterra: Tarquin Pub., Págs. 142-144.
• Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American , Nueva York: WH Freeman, págs. 40, 53 y 58-60.
• Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: A visual approach , California: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 págs. 35–36

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Deltahedron" , MathWorld
• Los ocho deltaedros convexos
• Deltaedro
• Deltaedro