Diagrama de Coxeter-Dynkin - Coxeter–Dynkin diagram

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos de Coxeter finitos fundamentales

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos afines fundamentales de Coxeter

En geometría , un diagrama de Coxeter-Dynkin (o diagrama de Coxeter , gráfico de Coxeter ) es un gráfico con bordes etiquetados numéricamente (llamados ramas ) que representan las relaciones espaciales entre una colección de espejos (o hiperplanos reflectantes ). Describe una construcción caleidoscópica : cada "nodo" del gráfico representa un espejo ( faceta de dominio ) y la etiqueta adjunta a una rama codifica el orden del ángulo diedro entre dos espejos (en una cresta de dominio ), es decir, la cantidad por la cual el ángulo entre los planos reflectantes se pueden multiplicar por para obtener 180 grados. Una rama sin etiqueta representa implícitamente el orden 3 (60 grados).

Cada diagrama representa un grupo de Coxeter , y los grupos de Coxeter se clasifican por sus diagramas asociados.

Los diagramas de Dynkin son objetos estrechamente relacionados, que difieren de los diagramas de Coxeter en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas con "4" o más están dirigidas , mientras que los diagramas de Coxeter no están dirigidas ; en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional ( cristalográfica ), a saber, que las únicas etiquetas de rama permitidas son 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin corresponden y se utilizan para clasificar los sistemas de raíces y, por lo tanto, las álgebras de Lie semisimple .

Descripción

Las ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin están etiquetadas con un número racional p , que representa un ángulo diedro de 180 ° / p . Cuando p = 2, el ángulo es de 90 ° y los espejos no tienen interacción, por lo que la rama se puede omitir del diagrama. Si una rama no está etiquetada, se supone que tiene p = 3 , lo que representa un ángulo de 60 °. Dos espejos paralelos tienen una rama marcada con "∞". En principio, n espejos se pueden representar mediante un gráfico completo en el que se dibujan todas las n ( n - 1) / 2 ramas. En la práctica, casi todas las configuraciones interesantes de espejos incluyen varios ángulos rectos, por lo que se omiten las ramas correspondientes.

Los diagramas se pueden etiquetar por su estructura gráfica. Las primeras formas estudiadas por Ludwig Schläfli son los ortosquemas que tienen gráficos lineales que generan politopos regulares y panales regulares . Plagioschemes son simplices representados por los gráficos de ramificación, y cycloschemes son simplices representados por los gráficos cíclicos.

Matriz de Schläfli

Cada diagrama de Coxeter tiene una matriz de Schläfli correspondiente (llamada así por Ludwig Schläfli ), con elementos de la matriz a _{i, j} = a _{j, i} = −2cos ( π / p ) donde p es el orden de ramificación entre los pares de espejos. Como matriz de cosenos , también se le llama matriz de Gramian en honor a Jørgen Pedersen Gram . Todas las matrices de Schläfli del grupo Coxeter son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. Está estrechamente relacionada con la matriz de Cartan , utilizada en los diagramas de Dynkin de gráficos similares pero dirigidos en los casos limitados de p = 2, 3, 4 y 6, que NO son simétricos en general.

El determinante de la matriz de Schläfli, llamado Schläflian , y su signo determina si el grupo es finito (positivo), afín (cero), indefinido (negativo). Esta regla se llama Criterio de Schläfli .

Los valores propios de la matriz de Schläfli determinan si un grupo de Coxeter es de tipo finito (todos positivos), de tipo afín (todos no negativos, al menos uno es cero) o de tipo indefinido (de lo contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide, por ejemplo, en grupos hiperbólicos y otros grupos Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para grupos Coxeter hiperbólicos. Usamos la siguiente definición: Un grupo de Coxeter con diagrama conectado es hiperbólico si no es de tipo finito ni afín, pero cada subdiagrama conectado propiamente dicho es de tipo finito o afín. Un grupo de Coxeter hiperbólico es compacto si todos los subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

Los grupos finitos y afines también se denominan elípticos y parabólicos respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se denominan Lannér, en honor a F. Lannér, que enumeró los grupos hiperbólicos compactos en 1950, y Koszul (o cuasi-Lannér) para los grupos paracompactos.

Grupos de Coxeter de rango 2

Para el rango 2, el tipo de un grupo de Coxeter está completamente determinado por el determinante de la matriz de Schläfli, ya que es simplemente el producto de los valores propios: tipo finito (determinante positivo), tipo afín (determinante cero) o hiperbólico (determinante negativo) . Coxeter utiliza una notación de corchetes equivalente que enumera secuencias de órdenes de rama como un sustituto de los diagramas gráficos de rama de nodo. Soluciones racionales [p / q],, también existen, con mcd (p, q) = 1, que definen dominios fundamentales superpuestos. Por ejemplo, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. y 6/5.

Escribe	Finito					Afín	Hiperbólico
Geometría					...
Coxeter	[]	[2]	[3]	[4]	[pag]	[∞]	[∞]	[iπ / λ]
Pedido	2	4	6	8	2 p	∞
Las líneas de espejo están coloreadas para corresponder a los nodos del diagrama de Coxeter. Los dominios fundamentales se colorean alternativamente.

Diagramas de grupo de Coxeter de rango 2
Orden p	Grupo	Diagrama de Coxeter		Matriz de Schläfli
				${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 2 & a_ {12} \\ a_ {21} & 2 \ end {matrix}} \ right]}$	Determinante (4-a 21 * a 12 )
Finito (determinante> 0)
2	Yo 2 (2) = A 1 xA 1		[2]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	4
3	Yo 2 (3) = A 2		[3]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	3
3/2			[3/2]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
4	Yo 2 (4) = B 2		[4]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	2
4/3			[4/3]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & {\ sqrt {2}} \\ {\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
5	Yo 2 (5) = H 2		[5]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - \ phi \\ - \ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle (5 - {\ sqrt {5}}) / 2}$ ~ 1.38196601125
5/4			[5/4]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & \ phi \\\ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
5/2			[5/2]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1- \ phi \\ 1- \ phi & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle (5 + {\ sqrt {5}}) / 2}$ ~ 3.61803398875
5/3			[5/3]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & \ phi -1 \\\ phi -1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
6	Yo 2 (6) = G 2		[6]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	1
6/5			[6/5]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & {\ sqrt {3}} \\ {\ sqrt {3}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
8	Yo 2 (8)		[8]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \\ - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle 2 - {\ sqrt {2}}}$ ~ 0.58578643763
10	Yo 2 (10)		[10]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {(5 + {\ sqrt {5}}) / 2}} \\ - {\ sqrt {(5 + {\ sqrt {5}}) ) / 2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle (3 - {\ sqrt {5}}) / 2}$ ~ 0.38196601125
12	Yo 2 (12)		[12]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} \\ - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$ ~ 0.26794919243
pag	Yo 2 (p)		[pag]	${\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \ cos (\ pi / p) \\ - 2 \ cos (\ pi / p) & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle 4 \ sin ^ {2} (\ pi / p)}$
Afín (determinante = 0)
∞	Yo 2 (∞) = =${\ Displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$		[∞]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 y -2 \\ - 2 y 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0
Hiperbólico (determinante≤0)
∞			[∞]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 y -2 \\ - 2 y 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0
∞			[iπ / λ]	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2cosh (2 \ lambda) \\ - 2cosh (2 \ lambda) & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ Displaystyle -4 \ sinh ^ {2} (2 \ lambda) \ leq 0}$

Visualizaciones geométricas

El diagrama de Coxeter-Dynkin puede verse como una descripción gráfica del dominio fundamental de los espejos. Un espejo representa un hiperplano dentro de un espacio esférico o euclidiano o hiperbólico dimensional dado. (En los espacios 2D, un espejo es una línea y en 3D un espejo es un plano).

Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para los grupos euclidianos 2D y 3D, y los grupos esféricos 2D. Para cada uno, el diagrama de Coxeter se puede deducir identificando los espejos del hiperplano y etiquetando su conectividad, ignorando los ángulos diedros de 90 grados (orden 2).

Grupos de Coxeter en el plano euclidiano con diagramas equivalentes. Las reflexiones se etiquetan como nodos de gráfico R 1, R 2, etc. y están coloreadas según su orden de reflexión. Las reflexiones a 90 grados están inactivas y, por lo tanto, se eliminan del diagrama. Los espejos paralelos están conectados por una rama etiquetada con ∞. El grupo prismático x se muestra como una duplicación del , pero también se puede crear como dominios rectangulares al duplicar los triángulos. El es una duplicación de la triángulo. ${\ Displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
Muchos grupos de Coxeter en el plano hiperbólico pueden extenderse desde los casos euclidianos como una serie de soluciones hiperbólicas.
Grupos de Coxeter en 3 espacios con diagramas. Los espejos (caras triangulares) están etiquetados por el vértice opuesto 0..3. Las ramas están coloreadas según su orden de reflexión. llena 1/48 del cubo. llena 1/24 del cubo. llena 1/12 del cubo. ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	Grupos de Coxeter en la esfera con diagramas equivalentes. Un dominio fundamental está delineado en amarillo. Los vértices del dominio (y las ramas del gráfico) se colorean según su orden de reflexión.

Grupos de Coxeter finito

Consulte también familias de politopos para obtener una tabla de politopos uniformes de nodo final asociados con estos grupos.

• Se dan tres símbolos diferentes para los mismos grupos: como una letra / número, como un conjunto de números entre corchetes y como el diagrama de Coxeter.
• Los grupos D _n bifurcados son la mitad o una versión alternativa de los grupos C _n regulares .
• Los grupos D _n y E _n bifurcados también están etiquetados con una forma de superíndice [3 ^{a , b , c} ] donde a , b , c son los números de segmentos en cada una de las tres ramas.

Diagramas de Coxeter-Dynkin finitos conectados (rangos 1 a 9)

Rango	Grupos de Simple Lie			Grupos de mentiras excepcionales
	${\ Displaystyle {A} _ {1+}}$	${\ Displaystyle {B} _ {2+}}$	${\ Displaystyle {D} _ {2+}}$	${\ Displaystyle {E} _ {3-8}}$	${\ Displaystyle {F} _ {3-4}}$	${\ Displaystyle {G} _ {2}}$	${\ Displaystyle {H} _ {2-4}}$	${\ Displaystyle {I} _ {2} (p)}$
1	A 1 = []
2	A 2 = [3]	B 2 = [4]	D 2 = A 1 A 1			G 2 = [6]	H 2 = [5]	Yo 2 [p]
3	A 3 = [3 2 ]	B 3 = [3,4]	D 3 = A 3	E 3 = UNA 2 UNA 1	F 3 = B 3		H 3
4	A 4 = [3 3 ]	B 4 = [3 2 , 4]	D 4 = [3 1,1,1 ]	E 4 = A 4	F 4		H 4
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 = [3 3 , 4]	D 5 = [3 2,1,1 ]	E 5 = D 5
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 = [3 4 , 4]	D 6 = [3 3,1,1 ]	E 6 = [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 = [3 5 , 4]	D 7 = [3 4,1,1 ]	E 7 = [3 3,2,1 ]
8	A 8 = [3 7 ]	B 8 = [3 6 , 4]	D 8 = [3 5,1,1 ]	E 8 = [3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 = [3 7 , 4]	D 9 = [3 6,1,1 ]
10+	..	..	..	..

Aplicación con politopos uniformes

Al construir politopos uniformes, los nodos se marcan como activos por un anillo si un punto generador está fuera del espejo, creando un nuevo borde entre un punto generador y su imagen reflejada. Un nodo sin anillo representa un espejo inactivo que no genera nuevos puntos. Un anillo sin nodo se llama agujero .

Se pueden usar dos espejos ortogonales para generar un cuadrado, , visto aquí con un punto generador rojo y 3 copias virtuales en los espejos. El generador tiene que estar fuera de ambos espejos en este caso ortogonal para generar un interior. El marcado del anillo supone que los anillos activos tienen generadores a la misma distancia de todos los espejos, mientras que un rectángulo también puede representar una solución no uniforme.

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de politopos uniformes y teselaciones uniformes . Cada politopo uniforme con simetría reflectante pura (todos menos unos pocos casos especiales tienen simetría reflectante pura) se puede representar mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin con permutaciones de marcas . Cada politopo uniforme se puede generar utilizando tales espejos y un solo punto generador: las imágenes de espejo crean nuevos puntos como reflejos, luego los bordes de politopo se pueden definir entre los puntos y un punto de imagen de espejo. Las caras se generan por la reflexión repetida de un borde que finalmente se envuelve alrededor del generador original; la forma final, así como cualquier faceta de dimensiones superiores, también se crean al reflejar la cara para encerrar un área.

Para especificar el vértice generador, uno o más nodos están marcados con anillos, lo que significa que el vértice no está en el espejo o espejos representados por los nodos anillados. (Si se marcan dos o más espejos, el vértice es equidistante de ellos). Un espejo está activo (crea reflejos) solo con respecto a los puntos que no están en él. Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo. Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Todos los politopos regulares , representados por el símbolo de Schläfli { p , q , r , ... }, pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionado de una línea de nodos y ramas etiquetados por p , q , r , ..., con el primer nodo anillado.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex. Dos anillos corresponden a los bordes de simplex y tienen un grado de libertad, con solo el punto medio como la solución uniforme para longitudes de borde iguales. En general , los puntos del generador de anillos k están en las caras (k-1) del símplex, y si todos los nodos están anillados, el punto generador está en el interior del símplex.

El caso especial de politopos uniformes con simetría no reflectante está representado por un marcado secundario donde se elimina el punto central de un nodo anillado (llamado agujero ). Estas formas son alternancias de politopos con simetría reflectante, lo que implica que se eliminan todos los demás vértices. El politopo resultante tendrá una subsimetría del grupo Coxeter original . Una alternancia truncada se llama desaire .

• Un solo nodo representa un solo espejo. A esto se le llama grupo A ₁ . Si está anillado, esto crea un segmento de línea perpendicular al espejo, representado como {}.
• Dos nodos separados representan dos espejos perpendiculares . Si ambos nodos están anillados, se puede crear un rectángulo o un cuadrado si el punto está a la misma distancia de ambos espejos.
• Dos nodos unidos por una rama de orden n pueden crear un n -gon si el punto está en un espejo, y un 2 n -gon si el punto está fuera de ambos espejos. Esto forma el grupo I ₁ (n).
• Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de polígono infinito I ₁ (∞), también llamado Ĩ ₁ .
• Tres espejos en un triángulo forman imágenes que se ven en un caleidoscopio tradicional y se pueden representar mediante tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos repetidos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como una línea (con las 2 ramas ignoradas). Estos generarán mosaicos uniformes .
• Tres espejos pueden generar poliedros uniformes ; Incluir números racionales da el conjunto de triángulos de Schwarz .
• Tres espejos con uno perpendicular a los otros dos pueden formar los prismas uniformes .

Hay 7 construcciones reflectantes uniformes dentro de un triángulo general, basadas en 7 posiciones del generador topológico dentro del dominio fundamental. Cada espejo activo genera un borde, con dos espejos activos tienen generadores en los lados del dominio y tres espejos activos tienen el generador en el interior. Se pueden resolver uno o dos grados de libertad para una posición única para longitudes de borde iguales del poliedro o mosaico resultante.

Ejemplo 7 generadores en simetría octaédrica , triángulo de dominio fundamental (4 3 2), con octava generación de desaire como alternancia

Los duales de los politopos uniformes a veces se marcan con una barra oblicua perpendicular que reemplaza los nodos anillados, y una barra oblicua para los nódulos de los agujeros de los desaire. Por ejemplo,representa un rectángulo (como dos espejos ortogonales activos), yrepresenta su polígono dual , el rombo .

Ejemplo de poliedros y mosaicos

Por ejemplo, el grupo B ₃ Coxeter tiene un diagrama:. Esto también se llama simetría octaédrica .

Hay 7 poliedros uniformes convexos que se pueden construir a partir de este grupo de simetría y 3 a partir de sus subimetrías de alternancia , cada uno con un diagrama de Coxeter-Dynkin marcado de forma única. El símbolo de Wythoff representa un caso especial del diagrama de Coxeter para gráficos de rango 3, con los 3 órdenes de rama nombrados, en lugar de suprimir el orden de 2 ramas. El símbolo de Wythoff puede manejar la forma de desaire , pero no las alternancias generales sin todos los nodos anillados.

Poliedros octaédricos uniformes
Simetría : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= o	= o	=
Poliedros duales a uniformes
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Las mismas construcciones se pueden hacer en (ortogonales) grupos de Coxeter inconexos como los uniformes prismas , y pueden ser vistos más claramente como embaldosados de diedros y hosohedrons sobre la esfera, como este [6] x [] o [6,2] familia:

Poliedros esféricos diédricos hexagonales uniformes
Simetría : [6,2] , (* 622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2 * 3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Duales a uniformes
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

En comparación, el [6,3], La familia produce un conjunto paralelo de 7 teselaciones uniformes del plano euclidiano y sus teselaciones duales. De nuevo hay 3 alternancias y alguna versión de media simetría.

Azulejos uniformes hexagonales / triangulares v t mi
Simetría : [6,3], (* 632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3 * 3)
{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}	s {3,6}
6 3	3.12 2	(3,6) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Duales uniformes
V6 3	V3.12 2	V (3,6) 2	V6 3	V3 6	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3 4 .6	V3 6

En el plano hiperbólico [7,3], La familia produce un conjunto paralelo de mosaicos uniformes y sus mosaicos duales. Solo hay 1 alternancia ( desaire ) ya que todos los pedidos de sucursales son impares. Se pueden ver muchas otras familias hiperbólicas de teselaciones uniformes en teselaciones uniformes en el plano hiperbólico .

Azulejos uniformes heptagonales / triangulares v t mi
Simetría: [7,3], (* 732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Duales uniformes
V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grupos de Affine Coxeter

Las familias de teselaciones euclidianas uniformes convexas están definidas por los grupos afines de Coxeter . Estos grupos son idénticos a los grupos finitos con la inclusión de un nodo agregado. En los nombres de las letras, se les asigna la misma letra con un "~" encima de la letra. El índice se refiere al grupo finito, por lo que el rango es el índice más 1. ( Ernst Witt símbolos para los grupos afines se dan como también )

1. ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$: los diagramas de este tipo son ciclos. (También P _n )
2. ${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$está asociado con la familia de teselaciones regulares del hipercubo { 4, 3, ...., 4 }. (También R _n )
3. ${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$relacionado con C por un espejo eliminado. (También S _n )
4. ${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$relacionado con C por dos espejos quitados. (También Q _n )
5. ${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$, , . (También T ₇ , T ₈ , T ₉ )${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$
6. ${\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$forma la teselación regular {3,4,3,3}. (También U ₅ )
7. ${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$forma 30-60-90 dominios fundamentales triangulares. (También V ₃ )
8. ${\ Displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$son dos espejos paralelos. (= = ) (También W ₂ )${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1}}$

Los grupos compuestos también se pueden definir como proyectos ortogonales. El uso más común , como ,${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {1} ^ {2}}$representa dominios de tablero de ajedrez cuadrados o rectangulares en el plano euclidiano. Y${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1} {\ tilde {G}} _ {2}}$ representa los dominios fundamentales del prisma triangular en el espacio tridimensional euclidiano.

Gráficos de Affine Coxeter hasta (2 a 10 nodos)

Rango	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1+}}$(P 2+ )	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3+}}$(S 4+ )	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1+}}$(R 2+ )	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {4+}}$(Q 5+ )	${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}$(T n + 1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) ${\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
2	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$= [∞]		${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{1}}$= [∞]
3	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$= [3 [3] ] *		${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$= [4,4] *		${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$= [6,3] *
4	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$= [3 [4] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$= [4,3 1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$= [4,3,4] *	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {3}}$= [3 1,1 , 3 −1 , 3 1,1 ] = ${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
5	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$= [3 [5] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$= [4,3,3 1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$= [4,3 2 , 4] *	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$= [3 1,1,1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$= [3,4,3,3] *
6	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$= [3 [6] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$= [4,3 2 , 3 1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$= [4,3 3 , 4] *	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$= [3 1,1 , 3,3 1,1 ] *
7	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$= [3 [7] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$= [4,3 3 , 3 1,1 ]	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$= [4,3 4 , 4]	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$= [3 1,1 , 3 2 , 3 1,1 ]	${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= [3 2,2,2 ]
8	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$= [3 [8] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$= [4,3 4 , 3 1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{7}}$= [4,3 5 , 4]	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$= [3 1,1 , 3 3 , 3 1,1 ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= [3 3,3,1 ] *
9	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$= [3 [9] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}$= [4,3 5 , 3 1,1 ]	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{8}}$= [4,3 6 , 4]	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$= [3 1,1 , 3 4 , 3 1,1 ]	${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$= [3 5,2,1 ] *
10	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$= [3 [10] ] *	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}$= [4,3 6 , 3 1,1 ]	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{9}}$= [4,3 7 , 4]	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {9}}$= [3 1,1 , 3 5 , 3 1,1 ]
11	...	...	...	...

Grupos de Coxeter hiperbólico

Hay muchos grupos Coxeter hiperbólicos infinitos . Los grupos hiperbólicos se clasifican como compactos o no, y los grupos compactos tienen dominios fundamentales delimitados. Los grupos hiperbólicos compactos simplex ( Lannér simplices ) existen en el rango 3 a 5. Los grupos paracompactos simplex ( Koszul simplices ) existen hasta el rango 10. Los grupos hipercompactos ( politopos de Vinberg ) se han explorado pero no se han determinado completamente. En 2006, Allcock demostró que hay infinitos politopos de Vinberg compactos para dimensiones de hasta 6, e infinitos politopos de Vinberg de volúmenes finitos para dimensiones de hasta 19, por lo que no es posible una enumeración completa. Todos estos dominios reflexivos fundamentales, tanto simples como no implícitos, a menudo se denominan politopos de Coxeter o, a veces, con menos precisión, poliedros de Coxeter .

Grupos hiperbólicos en H ²

Modelo de disco de Poincaré de triángulos de dominio fundamental

Ejemplo de triángulos rectángulos [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3, ∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞, 4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞, ∞]
Ejemplo de triángulos generales [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3, ∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3, ∞, ∞)]	[(6,6,6)]	[(∞, ∞, ∞)]

Los grupos de triángulos hiperbólicos bidimensionales existen como diagramas de Coxeter de rango 3, definidos por el triángulo (pqr) para:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} <1.}$

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos triangulares compactos, incluidos gráficos lineales y triangulares. Las gráficas lineales existen para triángulos rectángulos (con r = 2).

Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos

Lineal	Cíclico
∞ [p, q],: 2 (p + q) <pq ... ... ...	∞ [(p, q, r)], : p + q + r> 9 ...

Los grupos paracompactos Coxeter de rango 3 existen como límites a los compactos.

Grupo de triángulo aritmético

Los grupos de triángulos hiperbólicos que también son grupos aritméticos forman un subconjunto finito. Mediante una búsqueda por computadora, Kisao Takeuchi determinó la lista completa en su artículo de 1977 Grupos de triángulos aritméticos . Hay 85 en total, 76 compactos y 9 paracompactos.

Polígonos hiperbólicos de Coxeter sobre triángulos

Dominios fundamentales de los grupos cuadriláteros

o [∞, 3, ∞] [iπ / λ 1 , 3, iπ / λ 2 ] (* 3222)	o [((3, ∞, 3)), ∞] [((3, iπ / λ 1 , 3)), iπ / λ 2 ] (* 3322)	o [(3, ∞) [2] ] [(3, iπ / λ 1 , 3, iπ / λ 2 )] (* 3232)	o [(4, ∞) [2] ] [(4, iπ / λ 1 , 4, iπ / λ 2 )] (* 4242)	(* 3333)
Dominios con vértices ideales
[iπ / λ 1 , ∞, iπ / λ 2 ] (* ∞222)	(* ∞∞22)	[(iπ / λ 1 , ∞, iπ / λ 2 , ∞)] (* 2∞2∞)	(* ∞∞∞∞)	(* 4444)

Se pueden construir otros caleidoscopios hiperbólicos H ^{2 a} partir de polígonos de orden superior. Al igual que los grupos de triángulos, estos caleidoscopios se pueden identificar mediante una secuencia cíclica de órdenes de intersección de espejos alrededor del dominio fundamental, como (abcd ...), o de manera equivalente en notación orbifold como * abcd .... Los diagramas de Coxeter-Dynkin para estos caleidoscopios poligonales pueden ser visto como un dominio fundamental degenerado (n-1) - simplex , con un orden cíclico de ramas a, b, c ... y las n * (n-3) / 2 ramas restantes están etiquetadas como infinitas (∞) representando los espejos que no se cruzan. El único ejemplo no hiperbólico es la simetría euclidiana de cuatro espejos en un cuadrado o rectángulo como, [∞, 2, ∞] (orbifold * 2222). Otra representación de rama para espejos que no se cruzan de Vinberg da ramas infinitas como líneas punteadas o discontinuas, por lo que este diagrama se puede mostrar como, con las cuatro ramas de orden 2 suprimidas alrededor del perímetro.

Por ejemplo, un dominio de cuadrilátero (abcd) tendrá dos ramas de orden infinito que conectan espejos ultraparalelos. El ejemplo hiperbólico más pequeño es, [∞, 3, ∞] o [iπ / λ ₁ , 3, iπ / λ ₂ ] (orbifold * 3222), donde (λ ₁ , λ ₂ ) son la distancia entre los espejos ultraparalelos. La expresión alternativa es, con tres ramas de orden 2 suprimidas alrededor del perímetro. De manera similar (2 3 2 3) (orbifold * 3232) se puede representar como y (3 3 3 3), (orbifold * 3333) se puede representar como un gráfico completo .

El dominio cuadrilátero más alto (∞ ∞ ∞ ∞) es un cuadrado infinito, representado por un gráfico tetraédrico completo con 4 ramas perimetrales como vértices ideales y dos ramas diagonales como infinito (mostradas como líneas de puntos) para espejos ultraparalos :.

Compacto (grupos Lannér simplex)

Los grupos hiperbólicos compactos se denominan grupos de Lannér en honor a Folke Lannér, quien los estudió por primera vez en 1950. Solo existen como gráficos de rango 4 y 5. Coxeter estudió los grupos coxeter hiperbólicos lineales en su artículo de 1954 Panales regulares en el espacio hiperbólico , que incluía dos soluciones racionales en el espacio 4 hiperbólico : [5 / 2,5,3,3] = y [5,5 / 2,5,3] = .

Rangos 4-5

El dominio fundamental de cualquiera de los dos grupos en bifurcación, [5,3 ^1,1 ] y [5,3,3 ^1,1 ], es el doble que el de un grupo lineal correspondiente, [5,3,4] y [5 , 3, 3, 4] respectivamente. Johnson da los nombres de las letras como símbolos de Witt extendidos .

Paracompacto (grupos Koszul simplex)

Un ejemplo de mosaico apeirogonal de orden 3 , {∞, 3} con un apeirogon verde y su horociclo circunscrito

Los grupos Coxeter hiperbólicos paracompactos (también llamados no compactos) contienen subgrupos afines y tienen dominios fundamentales asintóticos simplex. El grupo Coxeter hiperbólico paracompacto más alto es el rango 10. Estos grupos llevan el nombre del matemático francés Jean-Louis Koszul . También se denominan grupos cuasi-Lannér que amplían los grupos compactos de Lannér. M. Chein determinó que la lista estaba completa mediante una búsqueda informática y se publicó en 1969.

Por Vinberg, todos menos ocho de estos 72 simples compactos y paracompactos son aritméticos. Dos de los grupos no aritméticos son compactos: y . Los otros seis grupos no aritméticos son todos paracompactos, con cinco grupos tridimensionales, , , , y y un grupo de 5 dimensiones .

Simplices ideales

Dominios fundamentales ideales de , [(∞, ∞, ∞)] visto en el modelo de disco de Poincaré

Hay 5 grupos Coxeter hiperbólicos que expresan simplices ideales , gráficos en los que la eliminación de cualquier nodo da como resultado un grupo Coxeter afín. Por tanto, todos los vértices de este simplex ideal están en infinito.

Rango	Grupo ideal		Subgrupos afines
3	[(∞, ∞, ∞)]		[∞]
4	[4 [4] ]		[4,4]
4	[3 [3,3] ]		[3 [3] ]
4	[(3,6) [2] ]		[3,6]
6	[(3,3,4) [2] ]		[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

Rangos 4 a 10

Las celdas euclidianas infinitas como un mosaico hexagonal , debidamente escaladas, convergen en un único punto ideal en el infinito, como el panal de mosaico hexagonal , {6,3,3}, como se muestra con esta celda única en una proyección de modelo de disco de Poincaré .

Hay un total de 58 grupos Coxeter hiperbólicos paracompactos del rango 4 al 10. Los 58 se agrupan a continuación en cinco categorías. Johnson da los símbolos de letras como símbolos de Witt extendidos , usando PQRSTWUV de los símbolos afines de Witt y agregando LMNOXYZ. Estos grupos hiperbólicos reciben una línea superior, o un sombrero, para ciclosquemas. La notación de corchetes de Coxeter es una representación lineal del grupo Coxeter.

Grupos paracompactos hiperbólicos

Rango	Cuenta total	Grupos
4	23	${\ Displaystyle {\ widehat {BR}} _ {3}}$ = [(3,3,4,4)]: ${\ displaystyle {\ widehat {CR}} _ {3}}$= [(3,4 3 )]: ${\ Displaystyle {\ widehat {RR}} _ {3}}$= [4 [4] ]: ${\ Displaystyle {\ widehat {AV}} _ {3}}$= [(3 3 , 6)]: ${\ Displaystyle {\ widehat {BV}} _ {3}}$ = [(3,4,3,6)]: ${\ Displaystyle {\ widehat {HV}} _ {3}}$ = [(3,5,3,6)]: ${\ Displaystyle {\ widehat {VV}} _ {3}}$= [(3,6) [2] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$= [3,3 [3] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$= [4,3 [3] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$= [5,3 [3] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {VP}} _ {3}}$= [6,3 [3] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$= [6,3 1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {O}} _ {3}}$= [3,4 1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {M}} _ {3}}$= [4 1,1,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {R}} _ {3}}$ = [3,4,4]: ${\ Displaystyle {\ overline {N}} _ {3}}$= [4 3 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {V}} _ {3}}$ = [3,3,6]: ${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ = [4,3,6]: ${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ = [5,3,6]: ${\ Displaystyle {\ overline {Y}} _ {3}}$ = [3,6,3]: ${\ Displaystyle {\ overline {Z}} _ {3}}$ = [6,3,6]:	${\ Displaystyle {\ overline {DP}} _ {3}}$= [3 [] x [] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {PP}} _ {3}}$= [3 [3,3] ]:
5	9	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {4}}$= [3,3 [4] ]: ${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {4}}$= [4,3 [4] ]: ${\ Displaystyle {\ widehat {FR}} _ {4}}$= [(3 2 , 4,3,4)]: ${\ Displaystyle {\ overline {DP}} _ {4}}$= [3 [3] x [] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {N}} _ {4}}$ = [4,3, ((4,2,3))]: ${\ Displaystyle {\ overline {O}} _ {4}}$= [3,4,3 1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {4}}$= [4,3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {R}} _ {4}}$= [(3,4) 2 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {M}} _ {4}}$= [4,3 1,1,1 ]:
6	12	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {5}}$= [3,3 [5] ]: ${\ Displaystyle {\ widehat {AU}} _ {5}}$= [(3 5 , 4)]: ${\ Displaystyle {\ widehat {AR}} _ {5}}$= [(3,3,4) [2] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {5}}$= [4,3,3 2,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {O}} _ {5}}$= [3,4,3 1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {N}} _ {5}}$= [3, (3,4) 1,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {U}} _ {5}}$= [3 3 , 4,3]: ${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${\ Displaystyle {\ overline {R}} _ {5}}$ = [3,4,3,3,4]:	${\ Displaystyle {\ overline {Q}} _ {5}}$= [3 2,1,1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {M}} _ {5}}$= [4,3,3 1,1,1 ]: ${\ Displaystyle {\ overline {L}} _ {5}}$= [3 1,1,1,1,1 ]:
7	3	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {6}}$= [3,3 [6] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {Q}} _ {6}}$= [3 1,1 , 3,3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {6}}$= [4,3 2 , 3 2,1 ]:
8	4	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {7}}$= [3,3 [7] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {Q}} _ {7}}$= [3 1,1 , 3 2 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {7}}$= [4,3 3 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {T}} _ {7}}$= [3 3,2,2 ]:
9	4	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {8}}$= [3,3 [8] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {Q}} _ {8}}$= [3 1,1 , 3 3 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {8}}$= [4,3 4 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {T}} _ {8}}$= [3 4,3,1 ]:
10	4	${\ Displaystyle {\ overline {P}} _ {9}}$= [3,3 [9] ]:	${\ Displaystyle {\ overline {Q}} _ {9}}$= [3 1,1 , 3 4 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {9}}$= [4,3 5 , 3 2,1 ]:	${\ Displaystyle {\ overline {T}} _ {9}}$= [3 6,2,1 ]: