Modelo de disco de Poincaré - Poincaré disk model

Disco de Poincaré con líneas hiperbólicas paralelas

Maqueta en disco de Poincaré del alicatado truncado triheptagonal .

En geometría, el modelo de disco de Poincaré , también llamado modelo de disco conforme , es un modelo de geometría hiperbólica bidimensional en el que los puntos de la geometría están dentro del disco unitario , y las líneas rectas consisten en todos los arcos circulares contenidos dentro de ese disco. que son ortogonales al límite del disco, más todos los diámetros del disco.

El grupo de isometrías que conservan la orientación del modelo de disco viene dado por el grupo unitario especial SU (1,1) .

Junto con el modelo de Klein y el modelo de medio espacio de Poincaré , fue propuesto por Eugenio Beltrami, quien usó estos modelos para mostrar que la geometría hiperbólica era equivalente a la geometría euclidiana . Lleva el nombre de Henri Poincaré , porque su redescubrimiento de esta representación catorce años después se hizo más conocido que la obra original de Beltrami.

El modelo de bolas Poincaré es el modelo similar para 3 o n geometría hiperbólica -dimensional en el que los puntos de la geometría están en el n -dimensional bola unidad .

Propiedades

Líneas

Disco de Poincaré con 3 líneas rectas ultraparalelas (hiperbólicas)

Las líneas rectas hiperbólicas consisten en todos los arcos de círculos euclidianos contenidos dentro del disco que son ortogonales al límite del disco, más todos los diámetros del disco.

Construcción de brújula y regla

La línea hiperbólica única que pasa por dos puntos P y Q que no se encuentran en un diámetro del círculo límite se puede construir mediante:

• Sea P 'la inversión en el círculo límite del punto P
• sea ​​Q 'la inversión en el círculo límite del punto Q
• sea ​​M el punto medio del segmento PP '
• sea ​​N el punto medio del segmento QQ '
• Trace la línea m a través de M perpendicular al segmento PP '
• Dibuje la línea n a través de N perpendicular al segmento QQ '
• sea ​​C donde la línea my la línea n se intersecan.
• Dibuja el círculo c con centro C y pasando por P (y Q).
• La parte del círculo c que está dentro del disco es la línea hiperbólica.

Si P y Q están en un diámetro del círculo límite, ese diámetro es la línea hiperbólica.

Otra forma es:

• sea ​​M el punto medio del segmento PQ
• Trace la línea m a través de M perpendicular al segmento PQ
• Sea P 'la inversión en el círculo límite del punto P
• sea ​​N el punto medio del segmento PP '
• Dibuje la línea n a N perpendicular al segmento PP '
• sea ​​C donde la línea my la línea n se intersecan.
• Dibuja el círculo c con centro C y pasando por P (y Q).
• La parte del círculo c que está dentro del disco es la línea hiperbólica.

Distancia

Las distancias en este modelo son métricas de Cayley-Klein . Dados dos puntos distintos p y q en el interior del disco, la línea hiperbólica único conectándolos intersecta el límite en dos puntos ideales , un y b , etiquetarlos de manera que los puntos son, en orden, una , p , q , b y | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces . ${\ Displaystyle d (p, q) = \ ln {\ frac {\ left | aq \ right | \, \ left | pb \ right |} {\ left | ap \ right | \, \ left | qb \ right | }}}$

Las barras verticales indican la longitud euclidiana del segmento de línea que conecta los puntos entre ellos en el modelo (no a lo largo del arco del círculo), ln es el logaritmo natural .

Otra forma de calcular la distancia hiperbólica entre dos puntos es ${\ Displaystyle \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {2 | pq | ^ {2} | r | ^ {2}} {(| r | ^ {2} - | op | ^ {2} ) (| r | ^ {2} - | oq | ^ {2})}} \ derecha)}$

donde y son las distancias de p respectivo q hacia el centro del disco, la distancia entre p y q , el radio del círculo límite del disco y es la función hiperbólica inversa de coseno hiperbólico . ${\ Displaystyle | op |}$${\ Displaystyle | oq |}$${\ Displaystyle | pq |}$${\ Displaystyle | r |}$${\ Displaystyle \ operatorname {arcosh}}$

Cuando el disco utilizado es el disco unitario abierto y uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r, entonces la distancia hiperbólica es: donde es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica . ${\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ right) = 2 \ operatorname {artanh} r}$${\ Displaystyle \ operatorname {artanh}}$

Cuando el disco utilizado es el disco unitario abierto y el punto se encuentra entre el origen y el punto (es decir, los dos puntos están en el mismo radio, tienen el mismo ángulo polar y ), su distancia hiperbólica es . Esto se reduce a la fórmula anterior si . ${\ Displaystyle x '= (r', \ theta)}$${\ Displaystyle x = (r, \ theta)}$${\ Displaystyle 1> r> r '> 0}$${\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ cdot {\ frac {1-r '} {1 + r'}} \ right) = 2 (\ operatorname {artanh } r- \ operatorname {artanh} r ')}$${\ Displaystyle r '= 0}$

Círculos

Un círculo (el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto dado, su centro) es un círculo completamente dentro del disco que no toca ni cruza su límite. El centro hiperbólico del círculo en el modelo no corresponde en general al centro euclidiano del círculo, pero están en el mismo radio del círculo límite.

Hiperciclos

Un hiperciclo (el conjunto de todos los puntos en un plano que están en un lado y a una distancia dada de una línea dada, su eje) es un arco de círculo euclidiano o una cuerda del círculo límite que interseca el círculo límite en un ángulo no derecho. ángulo . Su eje es la línea hiperbólica que comparte los mismos dos puntos ideales . Esto también se conoce como curva equidistante.

Horociclos

Un horociclo (una curva cuyas geodésicas normales o perpendiculares convergen asintóticamente en la misma dirección), es un círculo dentro del disco que toca el círculo límite del disco. El punto donde toca el círculo límite no es parte del ciclo. Es un punto ideal y es el centro hiperbólico del horociclo.

Sinopsis euclidiana

Un círculo euclidiano:

• que está completamente dentro del disco es un círculo hiperbólico .

(Cuando el centro del disco no está dentro del círculo, el centro euclidiano siempre está más cerca del centro del disco que lo que se mantiene , es decir, el centro hiperbólico ).${\ Displaystyle t_ {e} <t_ {h}}$

• que está dentro del disco y toca el límite es un horociclo ;
• que interseca el límite ortogonalmente es una línea hiperbólica ; y
• que cruza el límite de forma no ortogonal es un hiperciclo .

Un acorde euclidiano del círculo límite:

• que pasa por el centro es una línea hiperbólica; y
• que no pasa por el centro es un hiperciclo.

Métrica y curvatura

Vista del modelo de " bola " de Poincaré del panal icosaédrico regular hiperbólico , {3,5,3}

Si u y v son dos vectores en bienes n -dimensional espacio vectorial R ⁿ con la norma euclidiana usual, ambos de los cuales tienen norma menor que 1, entonces podemos definir una invariante isométrica por

${\ Displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ frac {\ lVert uv \ rVert ^ {2}} {(1- \ lVert u \ rVert ^ {2}) (1- \ lVert v \ rVert ^ { 2})}} \ ,,}$

donde denota la norma euclidiana habitual. Entonces la función de distancia es ${\ Displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} d (u, v) & = \ operatorname {arcosh} (1+ \ delta (u, v)) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ sqrt {\ frac { \ delta (u, v)} {2}}} \\\, & = 2 \ ln {\ frac {\ lVert uv \ rVert + {\ sqrt {\ lVert u \ rVert ^ {2} \ lVert v \ rVert ^ {2} -2u \ cdot v + 1}}} {\ sqrt {(1- \ lVert u \ rVert ^ {2}) (1- \ lVert v \ rVert ^ {2})}}}. \ End {alineado}}}$

Tal función de distancia se define para cualesquiera dos vectores de norma menor que uno, y convierte el conjunto de tales vectores en un espacio métrico que es un modelo de espacio hiperbólico de curvatura constante -1. El modelo tiene la propiedad conforme de que el ángulo entre dos curvas que se cruzan en el espacio hiperbólico es el mismo que el ángulo en el modelo.

El tensor métrico asociado del modelo de disco de Poincaré viene dado por

${\ Displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {\ left (1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2} \ derecha) ^ {2}}} = {\ frac {4 \ lVert d \ mathbf {x} \ rVert ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ lVert \ mathbf {x} \ rVert ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}}$

donde x _i son las coordenadas cartesianas del espacio euclidiano ambiental. Las geodésicas del modelo de disco son círculos perpendiculares a la esfera límite S ^{n −1} .

Un marco ortonormal con respecto a esta métrica de Riemann está dado por

${\ Displaystyle e_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ left (1- | \ mathbf {x} | ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ { I}}},}$

con coframe doble de 1 formas

${\ Displaystyle \ theta ^ {i} = {\ frac {2} {1- | \ mathbf {x} | ^ {2}}} \, dx ^ {i}.}$

En dos dimensiones

En dos dimensiones, con respecto a estos marcos y la conexión Levi-Civita, las formas de conexión están dadas por la única matriz simétrica sesgada de formas 1 que está libre de torsión, es decir, que satisface la ecuación matricial . Resolviendo esta ecuación para los rendimientos ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 0 = d \ theta + \ omega \ wedge \ theta}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 (y \, dx-x \, dy)} {1- | \ mathbf {x} | ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}},}$

donde la matriz de curvatura es

${\ Displaystyle \ Omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega = d \ omega +0 = {\ frac {-4 \, dx \ wedge dy} {(1- | \ mathbf {x} | ^ {2 }) ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Por tanto, la curvatura del disco hiperbólico es

${\ Displaystyle K = \ Omega _ {2} ^ {1} (e_ {1}, e_ {2}) = - 1.}$

Relación con otros modelos de geometría hiperbólica

el modelo de disco de Poincaré (línea P ), y sus relaciones con los otros modelos

Relación con el modelo de disco de Klein

El modelo de disco de Klein (también conocido como modelo de Beltrami-Klein) y el modelo de disco de Poincaré son ambos modelos que proyectan todo el plano hiperbólico en un disco . Los dos modelos están relacionados a través de una proyección en o desde el modelo hemisférico . El modelo de disco de Klein es una proyección ortográfica al modelo de hemisferio, mientras que el modelo de disco de Poincaré es una proyección estereográfica .

Una ventaja del modelo de disco de Klein es que las líneas de este modelo son cuerdas rectas euclidianas . Una desventaja es que el modelo de disco de Klein no es conforme (los círculos y ángulos están distorsionados).

Al proyectar las mismas líneas en ambos modelos en un disco, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales . (los puntos ideales permanecen en el mismo lugar) también el polo de la cuerda en el modelo de disco de Klein es el centro del círculo que contiene el arco en el modelo de disco de Poincaré.

Un punto ( x , y ) en el modelo de disco de Poincaré se asigna en el modelo de Klein. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} \, \ {\ frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2 }}}\derecho)}$

Un punto ( x , y ) en el modelo de Klein se asigna en el modelo de disco de Poincaré. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} \, \ \ {\ frac {y} {1+ { \ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} \ right)}$

Para los puntos ideales y las fórmulas, los puntos son fijos. ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle x = x \, \ y = y}$

Si es un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de disco de Klein viene dado por: ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.}$

Por el contrario, a partir de un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo de disco de Poincaré viene dado por: ${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}}) \ right) s} {s \ cdot s}}.}$

Relación con el modelo de semiplano de Poincaré

El modelo de disco de Poincaré y el modelo de semiplano de Poincaré llevan el nombre de Henri Poincaré .

Si es un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de semiplano viene dado por: ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ frac {u + i} {iu + 1}}.}$

Un punto (x, y) en el modelo de disco se asigna en el modelo de medio plano. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {2x} {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} \, \ {\ frac {1-x ^ {2} -y ^ {2} } {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} \ derecha) \,}$

Un punto (x, y) en el modelo de medio plano se asigna al modelo de disco. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {2x} {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} \, \ {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1 } {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} \ right) \,}$

Relación con el modelo hiperboloide

El modelo hiperboloide se puede representar como la ecuación t ² = x ₁ ² + x ₂ ² +1, t> 1. Puede usarse para construir un modelo de disco de Poincaré como una proyección vista desde (t = -1, x ₁ = 0, x ₂ = 0), proyectando la mitad superior hiperboloide sobre el disco unitario en t = 0. La geodésica roja en el modelo del disco de Poincaré se proyecta a la geodésica marrón en el hiperboloide verde.

Reproducir medios

Animación de un mosaico hiperbólico {7,3} parcial del hiperboloide girado en la perspectiva de Poincaré.

El modelo de disco de Poincaré, así como el modelo de Klein , están relacionados proyectivamente con el modelo hiperboloide . Si tenemos un punto [ t ,  x ₁ , ...,  x _n ] en la hoja superior del hiperboloide del modelo hiperboloide, definiendo así un punto en el modelo hiperboloide, podemos proyectarlo sobre el hiperplano t  = 0 por intersecándolo con una línea trazada a través de [−1, 0, ..., 0]. El resultado es el punto correspondiente del modelo de disco de Poincaré.

Para las coordenadas cartesianas ( t ,  x _i ) en el hiperboloide y ( y _i ) en el plano, las fórmulas de conversión son:

${\ Displaystyle y_ {i} = {\ frac {x_ {i}} {1 + t}}}$

${\ Displaystyle (t, x_ {i}) = {\ frac {\ left (1+ \ sum {y_ {i} ^ {2}}, \, 2y_ {i} \ right)} {1- \ sum { y_ {i} ^ {2}}}} \ ,.}$

Compara las fórmulas de proyección estereográfica entre una esfera y un plano.

Construcciones de geometría analítica en el plano hiperbólico

Una construcción básica de la geometría analítica es encontrar una línea a través de dos puntos dados. En el modelo del disco de Poincaré, las líneas en el plano están definidas por porciones de círculos que tienen ecuaciones de la forma

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + 1 = 0 \ ,,}$

que es la forma general de un círculo ortogonal al círculo unitario, o bien por diámetros. Dados dos puntos U y V en el disco que no se encuentran en un diámetro, podemos resolver para el círculo de esta forma pasan por ambos puntos, y obtener

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x ^ {2} + y ^ {2} & {} + {\ frac {v_ {1} (u_ {2} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} +1) -v_ {2} (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} +1)} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} x \\ [8pt] & {} + {\ frac {u_ {2} (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} +1) -u_ {1} (u_ {2} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} +1)} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0 \,. \ End {alineado}} }$

Si los puntos U y V son puntos en los límites del disco no se extiende en los extremos de un diámetro, los anteriores a Simplifica

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + {\ frac {2 (v_ {1} -v_ {2})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} }} x - {\ frac {2 (u_ {2} -u_ {1})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0 \ ,.}$

Anglos

Podemos calcular el ángulo entre el arco circular cuyos extremos ( puntos ideales ) están dados por la unidad de vectores u y v , y el arco cuyos extremos son s y t , por medio de una fórmula. Dado que los puntos ideales son los mismos en el modelo de Klein y en el modelo de disco de Poincaré, las fórmulas son idénticas para cada modelo.

Si las líneas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = - u y t = - s , entonces simplemente estamos encontrando el ángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es

${\ Displaystyle \ cos (\ theta) = u \ cdot s \ ,.}$

Si v = - u pero no t = - s , la fórmula se convierte, en términos del producto de la cuña ( ), ${\ Displaystyle \ wedge}$

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ frac {P ^ {2}} {QR}},}$

dónde

${\ Displaystyle P = u \ cdot (st) \ ,,}$

${\ Displaystyle Q = u \ cdot u \ ,,}$

${\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ wedge t) \ cdot (s \ wedge t) \ ,.}$

Si ambos acordes no son diámetros, la fórmula general obtiene

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ frac {P ^ {2}} {QR}} \ ,,}$

dónde

${\ Displaystyle P = (uv) \ cdot (st) - (u \ wedge v) \ cdot (s \ wedge t) \ ,,}$

${\ Displaystyle Q = (uv) \ cdot (uv) - (u \ wedge v) \ cdot (u \ wedge v) \ ,,}$

${\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ wedge t) \ cdot (s \ wedge t) \ ,.}$

Usando la identidad de Binet-Cauchy y el hecho de que estos son vectores unitarios, podemos reescribir las expresiones anteriores puramente en términos del producto escalar , como

${\ Displaystyle P = (uv) \ cdot (st) + (u \ cdot t) (v \ cdot s) - (u \ cdot s) (v \ cdot t) \ ,.}$

${\ Displaystyle Q = (1-u \ cdot v) ^ {2} \ ,,}$

${\ Displaystyle R = (1-s \ cdot t) ^ {2} \ ,.}$

Realizaciones artísticas

El mosaico hiperbólico triangular (6,4,2) que inspiró a MC Escher

MC Escher exploró el concepto de representar el infinito en un plano bidimensional. Las discusiones con el matemático canadiense HSM Coxeter alrededor de 1956 inspiraron el interés de Escher por las teselaciones hiperbólicas , que son teselaciones regulares del plano hiperbólico. Los grabados en madera de Escher Circle Limit I-IV demuestran este concepto entre 1958 y 1960, siendo el último Circle Limit IV: Heaven and Hell en 1960. Según Bruno Ernst, el mejor de ellos es Circle Limit III .

Ver también

• Geometría hiperbólica
• Modelo Beltrami-Klein
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Métrica de Poincaré
• Pseudoesfera
• Modelo hiperboloide
• Geometría inversora
• Azulejos uniformes en plano hiperbólico

Referencias

Otras lecturas

• James W. Anderson, Geometría hiperbólica , segunda edición, Springer, 2005.
• Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante , Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255.
• Saul Stahl, El medio plano de Poincaré , Jones y Bartlett, 1993.

enlaces externos

• Medios relacionados con los modelos de discos de Poincaré en Wikimedia Commons