Modelo de semiplano de Poincaré - Poincaré half-plane model

En geometría no euclidiana , el modelo de semiplano de Poincaré es el semiplano superior , denotado a continuación como H , junto con una métrica , la métrica de Poincaré , que lo convierte en un modelo de geometría hiperbólica bidimensional . ${\ Displaystyle \ {(x, y) | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \}}$

De manera equivalente, el modelo de semiplano de Poincaré a veces se describe como un plano complejo donde la parte imaginaria (la coordenada y mencionada anteriormente) es positiva.

El modelo de semiplano de Poincaré lleva el nombre de Henri Poincaré , pero se originó con Eugenio Beltrami , quien lo usó, junto con el modelo de Klein y el modelo de disco de Poincaré (debido a Bernhard Riemann ), para mostrar que la geometría hiperbólica era igual a la geometría euclidiana. .

Este modelo es conforme, lo que significa que los ángulos medidos en un punto son los mismos en el modelo que en el plano hiperbólico real.

La transformada de Cayley proporciona una isometría entre el modelo de medio plano y el modelo de disco de Poincaré.

Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. ${\ Displaystyle n + 1}$

Métrico

La métrica del modelo en el semiplano es: ${\ Displaystyle \ {\ langle x, y \ rangle | y> 0 \},}$

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}} {y ^ {2}}}}$

donde s mide la longitud a lo largo de una línea (posiblemente curva). Las líneas rectas en el plano hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) están representadas en este modelo por arcos circulares perpendiculares al eje x (semicírculos cuyo origen está en el eje x ) y Rayos verticales rectos perpendiculares al eje x .

Cálculo de distancia

En general, la distancia entre dos puntos medidos en esta métrica a lo largo de dicha geodésica es:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) & = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {2y_ {1} y_ {2}}} \ right) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {y_ {1} y_ {2}}}} \\ & = 2 \ ln {\ frac {{\ sqrt {{ (x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}}} + {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ { 1})} ^ {2} + {(y_ {2} + y_ {1})} ^ {2}}}} {2 {\ sqrt {y_ {1} y_ {2}}}}}, \ end {alineado}}}$

donde arcosh y arsinh son funciones hiperbólicas inversas

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {arsinh} {x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right), \\\ operatorname {arcosh} { x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geq 1. \ end {alineado}}}$

Algunos casos especiales se pueden simplificar:

${\ Displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, y_ {1} \ rangle, \ langle x, y_ {2} \ rangle) = \ left | \ ln {\ frac {y_ {2}} {y_ {1 }}} \ derecha | = | \ ln (y_ {2}) - \ ln (y_ {1}) |}$ .

${\ Displaystyle \ operatorname {dist} \ left (\ langle x_ {1}, y \ rangle, \ langle x_ {2}, y \ rangle \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac { (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2}} {2y ^ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {| x_ {2} -x_ {1 } |} {2y}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, r \ rangle, \ langle x \ pm r \ sin \ phi, r \ cos \ phi \ rangle) = \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ phi \ derecha) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ phi}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ phi} {\ cos \ phi} }\derecho)}$

Otra forma de calcular la distancia entre dos puntos que están en un semicírculo (euclidiano) es:

${\ Displaystyle \ operatorname {dist} (AB) = \ left | \ ln \ left ({\ frac {| BA _ {\ infty} || AB _ {\ infty} |} {| AA _ {\ infty} || BB_ { \ infty} |}} \ right) \ right |.}$

¿Dónde están los puntos donde los semicírculos se encuentran con la línea límite y es la longitud euclidiana del segmento de línea que conecta los puntos P y Q en el modelo? ${\ Displaystyle A _ {\ infty}, B _ {\ infty}}$${\ Displaystyle | PQ |}$

Puntos y curvas especiales

• Los puntos ideales (puntos en el infinito) en el modelo de semiplano de Poincaré son de dos tipos:

• los puntos en el eje x , y
• un punto imaginario en el que es el punto ideal al que convergen todas las líneas ortogonales al eje x . ${\ Displaystyle y = \ infty}$

• Las líneas rectas , las geodésicas (la ruta más corta entre los puntos que contiene) se modelan mediante:

• semicírculos cuyo origen está en el eje x
• Rayos verticales rectos ortogonales al eje x

• Un círculo (curvas equidistantes de un punto central) con centro y radio se modela mediante: ${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle r}$

un círculo con centro y radio ${\ Displaystyle (x, y \ cosh (r))}$${\ Displaystyle y \ sinh (r)}$

• Un hiperciclo (una curva equidistante de una línea recta, su eje) se modela mediante:

• un arco circular que corta el eje x en los mismos dos puntos ideales que el semicírculo que modela su eje pero en un ángulo agudo u obtuso
• una línea recta que corta el eje x en el mismo punto que la línea vertical que modela su eje, pero en un ángulo agudo u obtuso .

• Un horociclo (una curva cuyas normales convergen asintóticamente en la misma dirección, su centro) se modela mediante:

• un círculo tangente al eje x (pero excluyendo el punto ideal de intersección, que es su centro)
• una línea paralela al eje x , en este caso el centro es el punto ideal en . ${\ Displaystyle y = \ infty}$

Sinopsis euclidiana

Un círculo euclidiano con centro y radio representa: ${\ Displaystyle (x_ {e}, y_ {e})}$${\ Displaystyle r_ {e}}$

• cuando el círculo está completamente dentro del semiplano, un círculo hiperbólico con centro

${\ Displaystyle \ left (x_ {e}, {\ sqrt {y_ {e} ^ {2} -r_ {e} ^ {2}}} \ right)}$

y radio

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {y_ {e} + r_ {e}} {y_ {e} -r_ {e}}} \ right).}$

• cuando el círculo está completamente dentro del semiplano y toca el límite un horociclo centrado alrededor del punto ideal ${\ displaystyle (x_ {e}, 0)}$
• cuando el círculo se cruza con el límite ortogonal una línea hiperbólica ${\ Displaystyle (y_ {e} = 0)}$
• cuando el círculo cruza el límite no ortogonal, un hiperciclo.

Construcciones con brújula y regla

Así es como se pueden usar construcciones de compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico . Por ejemplo, cómo construir el semicírculo en el semiplano euclidiano que modela una línea en el plano hiperbólico a través de dos puntos dados.

Creando la línea a través de dos puntos existentes

Dibuja el segmento de línea entre los dos puntos. Construye la bisectriz perpendicular del segmento de recta. Encuentre su intersección con el eje x . Dibuja el círculo alrededor de la intersección que pasa por los puntos dados. Borre la parte que está sobre o debajo del eje x .

O en el caso especial en el que los dos puntos dados se encuentran en una línea vertical, dibuje esa línea vertical a través de los dos puntos y borre la parte que está sobre o debajo del eje x .

Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto

• Si los dos puntos no están en una línea vertical:

Dibuja la línea radial (semicírculo) entre los dos puntos dados como en el caso anterior. Construya una tangente a esa línea en el punto no central. Suelta una perpendicular desde el punto central dado hasta el eje x . Encuentre la intersección de estas dos líneas para obtener el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasa por el punto no central dado.

• Si los dos puntos dados se encuentran en una línea vertical y el centro dado está por encima del otro punto dado:

Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Dibuja una línea horizontal a través del punto no central. Construya la tangente al círculo en su intersección con esa línea horizontal.

El punto medio entre la intersección de la tangente con la línea vertical y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasa por el punto no central dado.

• Si los dos puntos dados se encuentran en una línea vertical y el centro dado está debajo del otro punto dado:

Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Dibuja una línea tangente al círculo que pasa por el punto no central dado. Dibuja una línea horizontal a través de ese punto de tangencia y encuentra su intersección con la línea vertical.

El punto medio entre esa intersección y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasa por el punto no central dado.

Dado un círculo, encuentre su centro (hiperbólico)

Suelta una p perpendicular desde el centro euclidiano del círculo hasta el eje x .

Sea el punto q la intersección de esta línea y el eje x .

Dibuja una línea tangente al círculo que pasa por q .

Dibuja el semicírculo h con centro q pasando por el punto donde se unen la tangente y el círculo.

El centro (hiperbólico) es el punto donde h y p se cruzan.

Otras construcciones

• Creando el punto que es la intersección de dos líneas existentes, si se cruzan:

Encuentre la intersección de los dos semicírculos dados (o líneas verticales).

• Creando uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan):

Encuentra la intersección del semicírculo (o línea vertical) dado con el círculo dado.

• Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan):

Encuentra la intersección de los dos círculos dados.

Grupos de simetría

El grupo lineal proyectivo PGL (2, C ) actúa sobre la esfera de Riemann mediante las transformaciones de Möbius . El subgrupo que mapea el semiplano superior, H , sobre sí mismo es PSL (2, R ), las transformadas con coeficientes reales, y estos actúan de forma transitiva e isométrica en el semiplano superior, convirtiéndolo en un espacio homogéneo .

Hay cuatro grupos de Lie estrechamente relacionados que actúan en el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias y preservan la distancia hiperbólica.

• El grupo lineal especial SL (2, R ) que consiste en el conjunto de matrices 2 × 2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1. Tenga en cuenta que muchos textos (incluida Wikipedia) suelen decir SL (2, R ) cuando en realidad se refieren a PSL (2, R ).
• El grupo S * L (2, R ) que consiste en el conjunto de matrices 2 × 2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1 o −1. Tenga en cuenta que SL (2, R ) es un subgrupo de este grupo.
• El grupo lineal especial proyectivo PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± I }, que consta de las matrices en SL (2, R ) módulo más o menos la matriz identidad.
• El grupo PS ^* L (2, R ) = S ^* L (2, R ) / {± I } = PGL (2, R ) es nuevamente un grupo proyectivo, y nuevamente, módulo más o menos la matriz de identidad. PSL (2, R ) está contenido como un subgrupo normal de índice dos, siendo la otra clase lateral el conjunto de matrices de 2 × 2 con entradas reales cuyo determinante es igual a -1, módulo más o menos la identidad.

La relación de estos grupos con el modelo de Poincaré es la siguiente:

• El grupo de todas las isometrías de H , a veces denotado como Isom ( H ), es isomorfo a PS ^* L (2, R ). Esto incluye tanto las isometrías que conservan la orientación como las que invierten la orientación. El mapa de inversión de orientación (el mapa de espejo) es . ${\ Displaystyle z \ rightarrow - {\ overline {z}}}$
• El grupo de isometrías que conservan la orientación de H , a veces denotado como Isom ⁺ ( H ), es isomorfo a PSL (2, R ).

Los subgrupos importantes del grupo de isometría son los grupos fucsianos .

También se ve con frecuencia el grupo modular SL (2, Z ). Este grupo es importante de dos formas. Primero, es un grupo de simetría del retículo de puntos cuadrado 2x2 . Por lo tanto, las funciones que son periódicas en una cuadrícula, como las formas modulares y las funciones elípticas , heredarán una simetría SL (2, Z ) de la cuadrícula. En segundo lugar, SL (2, Z ) es, por supuesto, un subgrupo de SL (2, R ) y, por tanto, tiene un comportamiento hiperbólico incrustado en él. En particular, SL (2, Z ) se puede utilizar para teselar el plano hiperbólico en celdas de igual área (Poincaré).

Simetría isométrica

La acción de grupo del grupo lineal especial proyectivo en se define por ${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} \ cdot z = {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {(ac | z | ^ {2} + bd + (ad + bc) \ Re (z)) + i (ad-bc) \ Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}}.}$

Tenga en cuenta que la acción es transitiva : para cualquiera , existe tal que . También es fiel, en que si para todos entonces g = e . ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle gz_ {1} = z_ {2}}$${\ Displaystyle gz = z}$${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {H},}$

El subgrupo estabilizador o isotropía de un elemento es el conjunto del cual no se modifica z : gz = z . El estabilizador de i es el grupo de rotación${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle {\ rm {SO}} (2) = \ left. \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {pmatrix}} \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Dado que cualquier elemento se asigna a i por algún elemento de , esto significa que el subgrupo de isotropía de cualquier z es isomorfo a SO (2). Por lo tanto, . Alternativamente, el paquete de vectores tangentes de longitud unitaria en el semiplano superior, llamado paquete unitario tangente , es isomorfo a . ${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} = {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R}) / {\ rm {SO}} (2)}$${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

El semiplano superior está teselado en conjuntos regulares libres por el grupo modular ${\ Displaystyle {\ rm {SL}} (2, \ mathbb {Z}).}$

Geodésicas

Las geodésicas para este tensor métrico son arcos circulares perpendiculares al eje real (semicírculos cuyo origen está en el eje real) y líneas verticales rectas que terminan en el eje real.

La geodésica de velocidad unitaria que sube verticalmente, a través del punto i viene dada por

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = ie ^ {t} .}$

Debido a que PSL (2, R ) actúa de manera transitiva por isometrías del semiplano superior, esta geodésica se mapea en las otras geodésicas mediante la acción de PSL (2, R ). Por tanto, la geodésica de velocidad unitaria general viene dada por

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2 } \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = {\ frac {aie ^ {t} + b} {cie ^ {t} + d}}.}$

Esto proporciona una descripción básica del flujo geodésico en el haz tangente de longitud unitaria ( haz de líneas complejas ) en el semiplano superior. A partir de este modelo, se puede obtener el flujo en superficies arbitrarias de Riemann , como se describe en el artículo sobre el flujo de Anosov .

El modelo en tres dimensiones

La métrica del modelo en el medio espacio.

${\ Displaystyle \ {\ langle x, y, z \ rangle | z> 0 \} \,}$

es dado por

${\ Displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2}} {z ^ {2}}} \,}$

donde s mide la longitud a lo largo de una línea posiblemente curva. Las líneas rectas en el espacio hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) están representadas en este modelo por arcos circulares normales al plano z = 0 (semicírculos cuyo origen está en el z = 0 - plano) y rayos verticales rectos normales al plano z = 0 .

La distancia entre dos puntos medidos en esta métrica a lo largo de dicha geodésica es:

${\ Displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {( z_ {2} -z_ {1})} ^ {2}} {2z_ {1} z_ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {(z_ {2} -z_ {1})} ^ {2} }} {2 {\ sqrt {z_ {1} z_ {2}}}}} \ right) \ ,.}$

El modelo en n dimensiones

Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. ${\ Displaystyle n + 1}$

Ver también

Referencias

Notas

Fuentes