Modelo Beltrami – Klein - Beltrami–Klein model

Muchas líneas hiperbólicas que pasan por el punto P no intersecan la línea a en el modelo de Beltrami Klein

Un mosaico hiperbólico triheptagonal en una proyección del modelo Beltrami-Klein

En geometría, el modelo de Beltrami-Klein , también llamado modelo proyectivo , modelo de disco de Klein y el modelo de Cayley-Klein , es un modelo de geometría hiperbólica en el que los puntos están representados por los puntos en el interior del disco unitario ( on -bola de unidad dimensional ) y las líneas están representadas por los acordes , segmentos de línea recta con puntos finales ideales en la esfera límite .

El modelo Beltrami-Klein lleva el nombre del geómetro italiano Eugenio Beltrami y el alemán Felix Klein, mientras que "Cayley" en el modelo Cayley-Klein se refiere al geómetro inglés Arthur Cayley .

El modelo de Beltrami-Klein es análogo a la proyección gnomónica de la geometría esférica , en el sentido de que las geodésicas ( grandes círculos en geometría esférica) se asignan a líneas rectas.

Este modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos y círculos están distorsionados, mientras que el modelo de disco de Poincaré los conserva.

En este modelo, las líneas y los segmentos son segmentos euclidianos rectos, mientras que en el modelo de disco de Poincaré , las líneas son arcos que se encuentran con el límite ortogonalmente .

Historia

Este modelo hizo su primera aparición para la geometría hiperbólica en dos memorias de Eugenio Beltrami publicadas en 1868, primero para la dimensión n = 2 y luego para la n general , estos ensayos demostraron la equivalencia de la geometría hiperbólica con la geometría euclidiana ordinaria .

Los papeles de Beltrami permanecieron poco notados hasta hace poco y el modelo recibió el nombre de Klein ("El modelo de disco de Klein"). Esto sucedió de la siguiente manera. En 1859 Arthur Cayley usó la definición de ángulo de relación cruzada debida a Laguerre para mostrar cómo se podía definir la geometría euclidiana utilizando geometría proyectiva . Su definición de distancia más tarde se conoció como la métrica de Cayley .

En 1869, el joven (veinte años) Felix Klein se familiarizó con el trabajo de Cayley. Recordó que en 1870 dio una charla sobre la obra de Cayley en el seminario de Weierstrass y escribió:

"Terminé con una pregunta sobre si podría existir una conexión entre las ideas de Cayley y Lobachevsky . Me dieron la respuesta de que estos dos sistemas estaban conceptualmente muy separados".

Más tarde, Felix Klein se dio cuenta de que las ideas de Cayley dan lugar a un modelo proyectivo del plano no euclidiano.

Como dice Klein, "me dejé convencer por estas objeciones y dejé de lado esta idea ya madura". Sin embargo, en 1871, volvió a esta idea, la formuló matemáticamente y la publicó.

Fórmula de distancia

La función de distancia para el modelo de Beltrami-Klein es una métrica de Cayley-Klein . Dados dos puntos distintos p y q en la bola unidad abierta, la línea recta única conectándolos intersecta el límite en dos puntos ideales , un y b , etiquetarlos de manera que los puntos son, en orden, una , p , q , b y | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces: ${\ Displaystyle d (p, q) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left | aq \ right | \, \ left | pb \ right |} {\ left | ap \ right | \, \ izquierda | qb \ derecha |}}}$

Las barras verticales indican distancias euclidianas entre los puntos entre ellos en el modelo, log es el logaritmo natural y se necesita el factor de la mitad para dar al modelo la curvatura estándar de -1.

Cuando uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r, entonces la distancia hiperbólica es:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ right) = \ operatorname {artanh} r}$ Donde artanh es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica .

El modelo de disco de Klein

Líneas en el modelo proyectivo del plano hiperbólico

En dos dimensiones, el modelo de Beltrami-Klein se denomina modelo de disco de Klein . Es un disco y el interior del disco es un modelo de todo el plano hiperbólico . Las líneas en este modelo están representadas por cuerdas del círculo límite (también llamado absoluto ). Los puntos del círculo límite se denominan puntos ideales ; aunque bien definidos , no pertenecen al plano hiperbólico. Tampoco los puntos fuera del disco, que a veces se denominan puntos ultra ideales .

El modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos están distorsionados y los círculos en el plano hiperbólico en general no son circulares en el modelo. Solo los círculos que tienen su centro en el centro del círculo delimitador no se distorsionan. Todos los demás círculos están distorsionados, al igual que los horociclos e hiperciclos.

Propiedades

Los acordes que se encuentran en el círculo límite son líneas paralelas limitantes .

Dos cuerdas son perpendiculares si, cuando se extienden fuera del disco, cada una atraviesa el polo del otro. (El polo de un acorde es un punto ultra ideal: el punto fuera del disco donde se encuentran las tangentes al disco en los puntos finales del acorde.) Los acordes que pasan por el centro del disco tienen su polo en el infinito, ortogonal al dirección de la cuerda (esto implica que los ángulos rectos en los diámetros no se distorsionan).

Construcciones con brújula y regla

Así es como se pueden usar construcciones de compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico .

• El polo de una línea . Si bien el polo no es un punto en el plano hiperbólico (es un punto ultra ideal ), la mayoría de las construcciones utilizarán el polo de una línea de una o más formas.

Para una línea: construya las tangentes al círculo límite a través de los puntos ideales (finales) de la línea. el punto donde estas tangentes se cruzan es el polo.

Para diámetros del disco: el polo está al infinito perpendicular al diámetro.

• Para construir una perpendicular a una línea dada a través de un punto dado, dibuje el rayo desde el polo de la línea a través del punto dado. La parte del rayo que está dentro del disco es la perpendicular.

Cuando la línea es un diámetro del disco, entonces la perpendicular es la cuerda que es (euclidiana) perpendicular a ese diámetro y que pasa por el punto dado.

• Para encontrar el punto medio de un segmento dado : Dibuja las líneas a través de A y B que son perpendiculares a . (vea arriba) Dibuje las líneas que conectan los puntos ideales de estas líneas, dos de estas líneas se cruzarán con el segmento y lo harán en el mismo punto. Este punto es el punto medio (hiperbólico) de . ${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle AB}$
• Para bisecar un ángulo dado : Dibuja los rayos AB y AC. Dibuja tangentes al círculo donde los rayos se cruzan con el círculo límite. Dibuja una línea desde A hasta el punto donde se cruzan las tangentes. La parte de esta línea entre A y el círculo límite es la bisectriz. ${\ Displaystyle \ angle BAC}$
• La perpendicular común de dos líneas es la cuerda que cuando se extiende pasa por ambos polos de las cuerdas.

Cuando una de las cuerdas es un diámetro del círculo delimitador, entonces la perpendicular común es la cuerda que es perpendicular al diámetro y que cuando se alarga pasa por el polo de la otra cuerda.

• Para reflejar un punto P en una línea l : Desde un punto R en la línea l dibuje el rayo a través de P. Sea X el punto ideal donde el rayo interseca al absoluto. Dibuja el rayo desde el polo de la línea 1 hasta X, sea Y el otro punto de intersección con el absoluto. Dibuja el segmento RY. La reflexión del punto P es el punto donde el rayo desde el polo de la línea 1 a través de P se cruza con RY.

Círculos, hiperciclos y horociclos

Círculos en el modelo de Klein-Beltrami de geometría hiperbólica.

Si bien las líneas en el plano hiperbólico son fáciles de dibujar en el modelo de disco de Klein, no es lo mismo con círculos, hiperciclos y horociclos .

Los círculos (el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia determinada de un punto dado, su centro) en el modelo se vuelven elipses cada vez más aplanadas a medida que están más cerca del borde. También se deforman los ángulos en el modelo de disco de Klein.

Para construcciones en el plano hiperbólico que contengan círculos, hiperciclos , horociclos o ángulos no rectos es mejor utilizar el modelo de disco de Poincaré o el modelo de semiplano de Poincaré .

Relación con el modelo de disco de Poincaré

Proyecciones combinadas del modelo de disco de Klein (amarillo) al modelo de disco de Poincaré (rojo) a través del modelo de hemisferio (azul)

El modelo de Beltrami-Klein (K en la imagen) es una proyección ortográfica del modelo hemisférico y una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con como centro el centro del hiperboloide (O).

Tanto el modelo de disco de Poincaré como el modelo de disco de Klein son modelos del plano hiperbólico. Una ventaja del modelo de disco de Poincaré es que es conforme (los círculos y ángulos no se distorsionan); una desventaja es que las líneas de la geometría son arcos circulares ortogonales al círculo límite del disco.

Los dos modelos están relacionados a través de una proyección en o desde el modelo hemisférico . El modelo de Klein es una proyección ortográfica al modelo de hemisferio mientras que el modelo de disco de Poincaré es una proyección estereográfica .

Al proyectar las mismas líneas en ambos modelos en un disco, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales . (los puntos ideales permanecen en el mismo lugar) también el polo de la cuerda es el centro del círculo que contiene el arco .

Si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo de Beltrami-Klein, entonces el punto correspondiente en el modelo del disco de Poincaré está a una distancia de u en el mismo radio: ${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s ^ {2}}}}} = {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s ^ {2}) }}\derechos}}.}$

Por el contrario, si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo del disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein es una distancia de s en el mismo radio: ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}.}$

Relación del modelo de disco con el modelo hiperboloide

Tanto el modelo hiperboloide como el modelo de disco de Klein son modelos del plano hiperbólico.

El disco de Klein (K, en la imagen) es una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con el centro del hiperboloide (O) como centro y el plano de proyección tangente al punto más cercano del hiperboloide.

Tensor de distancia y métrico

El panal dodecaédrico hiperbólico regular , {5,3,4}

Dados dos puntos distintos U y V en la bola unitaria abierta del modelo en el espacio euclidiano , la línea recta única que los conecta interseca la esfera unitaria en dos puntos ideales A y B , etiquetados de modo que los puntos estén, en orden a lo largo de la línea, A , U , V , B . Tomando el centro de la bola unitaria del modelo como origen, y asignando vectores de posición u , v , a , b respectivamente a los puntos U , V , A , B , tenemos que ‖ a - v ‖> ‖ a - u ‖ y ‖ u - b ‖> ‖ v - b ‖ , donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana . Entonces, la distancia entre U y V en el espacio hiperbólico modelado se expresa como

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left \ | \ mathbf {v} - \ mathbf {a} \ derecha \ | \, \ izquierda \ | \ mathbf {b} - \ mathbf {u} \ derecha \ |} {\ izquierda \ | \ mathbf {u} - \ mathbf {a} \ derecha \ | \, \ izquierda \ | \ mathbf {b} - \ mathbf {v} \ right \ |}},}$

donde se necesita el factor de la mitad para hacer la curvatura  -1.

El tensor métrico asociado está dado por

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g (\ mathbf {x}, d \ mathbf {x}) = {\ frac {\ left \ | d \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}} {1 - \ izquierda \ | \ mathbf {x} \ derecha \ | ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl ( } 1- \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}} = {\ frac {(1- \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}) \ left \ | d \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} + (\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ izquierda \ | \ mathbf {x} \ derecha \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}}$

Relación con el modelo hiperboloide

Mosaico hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide como se ve en la perspectiva de Beltrami-Klein.

Reproducir medios

Animación de mosaico hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide que gira en la perspectiva de Beltrami-Klein.

El modelo hiperboloide es un modelo de geometría hiperbólica dentro del espacio de Minkowski ( n + 1) dimensional . El producto interior de Minkowski viene dado por

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ cdots -x_ {n} y_ {n} \,}$

y la norma por . El plano hiperbólico está incrustado en este espacio como los vectores x con ‖ x ‖ = 1 y x ₀ (el "componente temporal") positivo. La distancia intrínseca (en la incrustación) entre los puntos u y v se da entonces por ${\ Displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}}$

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}).}$

Esto también se puede escribir en forma homogénea.

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {\ mathbf {u}} {\ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | }} \ cdot {\ frac {\ mathbf {v}} {\ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |}} \ right),}$

lo que permite reescalar los vectores por conveniencia.

El modelo de Beltrami-Klein se obtiene a partir del modelo hiperboloide reescalando todos los vectores de modo que el componente temporal sea 1, es decir, proyectando el hiperboloide incrustado a través del origen en el plano x ₀ = 1 . La función de distancia, en su forma homogénea, no se modifica. Dado que las líneas intrínsecas (geodésicas) del modelo hiperboloide son la intersección de la incrustación con planos a través del origen de Minkowski, las líneas intrínsecas del modelo de Beltrami-Klein son las cuerdas de la esfera.

Relación con el modelo de bola de Poincaré

Tanto el modelo de bola de Poincaré como el modelo de Beltrami-Klein son modelos del espacio hiperbólico n- dimensional en la bola unitaria n- dimensional en R ⁿ . Si es un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein está dado por ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.}$

Por el contrario, a partir de un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo de disco de Poincaré viene dado por ${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}}) \ right) s} {s \ cdot s}}.}$

Dados dos puntos en el límite del disco unitario, que tradicionalmente se denominan puntos ideales , la línea recta que los conecta en el modelo de Beltrami-Klein es la cuerda entre ellos, mientras que en el modelo de Poincaré correspondiente la línea es un arco circular en los dos. -subespacio dimensional generado por los dos vectores de puntos de límite, que se encuentran con el límite de la bola en ángulo recto. Los dos modelos están relacionados mediante una proyección desde el centro del disco; un rayo desde el centro que pasa por un punto de una línea del modelo pasa por el punto correspondiente de la línea en el otro modelo.

Ver también

• Modelo de semiplano de Poincaré
• Modelo de disco de Poincaré
• Métrica de Poincaré
• Geometría inversora

Notas

Referencias

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas , EUDEBA.
• Stahl, Saul (1993). El semiplano de Poincaré . Jones y Bartlett.
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009). "Diagramas hiperbólicos de Voronoi simplificados". 2010 Congreso Internacional sobre Ciencias Computacionales y sus Aplicaciones . págs. 74–80. arXiv : 0903.3287 . doi : 10.1109 / ICCSA.2010.37 . ISBN   978-1-4244-6461-6 .