Kite (geometría) - Kite (geometry)

cometa
GeometricKite.svg
Una cometa, mostrando sus pares de lados de igual longitud y su círculo inscrito.
Escribe Cuadrilátero
Aristas y vértices 4
Grupo de simetría D 1 (*)
Polígono dual Trapecio isósceles

En geometría euclidiana , una cometa es un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados de igual longitud que son adyacentes entre sí. Por el contrario, un paralelogramo también tiene dos pares de lados de igual longitud, pero son opuestos entre sí en lugar de ser adyacentes. Los cuadriláteros de las cometas reciben su nombre de las cometas voladoras arrastradas por el viento , que a menudo tienen esta forma y que, a su vez, reciben el nombre de un pájaro . Las cometas también se conocen como deltoides , pero la palabra "deltoides" también puede referirse a una curva deltoidea , un objeto geométrico no relacionado.

Una cometa, como se definió anteriormente, puede ser convexa o cóncava , pero la palabra "cometa" a menudo se restringe a la variedad convexa. Una cometa cóncava a veces se llama "dardo" o "punta de flecha", y es un tipo de pseudotriángulo .

Casos especiales

El mosaico deltoidal trihexagonal está hecho de caras de cometa idénticas, con ángulos internos de 60-90-120 grados.

Es posible clasificar los cuadriláteros jerárquicamente (en el que algunas clases de cuadriláteros son subconjuntos de otras clases) o particionalmente (en el que cada cuadrilátero pertenece a una sola clase). Con una clasificación jerárquica, un rombo (un cuadrilátero con cuatro lados de la misma longitud) se considera un caso especial de una cometa, porque es posible dividir sus bordes en dos pares adyacentes de igual longitud, y un cuadrado es un caso especial de un rombo que tiene ángulos rectos iguales y, por lo tanto, también es un caso especial de una cometa. De acuerdo con esta clasificación, todas las cometas equiláteras son rombos y todas las cometas equiangulares (que son por definición equiláteras) son cuadrados. Sin embargo, con una clasificación de partición, los rombos y los cuadrados no se consideran cometas, y no es posible que una cometa sea equilátera o equiangular. Por la misma razón, con una clasificación de partición, las formas que cumplan con las restricciones adicionales de otras clases de cuadriláteros, como las cometas correctas que se analizan a continuación, no se considerarían cometas.

El resto de este artículo sigue una clasificación jerárquica, en la que los rombos, cuadrados y cometas derechas se consideran cometas. Al evitar la necesidad de tratar los casos especiales de manera diferente, esta clasificación jerárquica puede ayudar a simplificar el enunciado de teoremas sobre cometas.

Una cometa con tres ángulos iguales de 108 ° y un ángulo de 36 ° forma el casco convexo del laúd de Pitágoras .

Las cometas que también son cuadriláteros cíclicos (es decir, las cometas que se pueden inscribir en un círculo) son exactamente las que se forman a partir de dos triángulos rectángulos congruentes . Es decir, para estas cometas, los dos ángulos iguales en lados opuestos del eje de simetría son cada uno de 90 grados. Estas formas se llaman cometas derechas . Debido a que circunscriben un círculo y están inscritos en otro círculo, son cuadriláteros bicéntricos . Entre todos los cuadriláteros bicéntricos con un radio de dos círculos dado , el que tiene el área máxima es una cometa derecha.

Solo hay ocho polígonos que pueden enlosar el plano de tal manera que al reflejar cualquier mosaico en cualquiera de sus bordes se produce otro mosaico; un mosaico producido de esta manera se denomina teselado de bordes . Uno de ellos es un embaldosado por una cometa derecha, con ángulos de 60 °, 90 ° y 120 °. El alicatado que produce por sus reflejos es el deltoidal trihexagonal .

Cometa bicéntrica 001.svg
Una cometa correcta
Reuleaux kite.svg

Una cometa equidiagonal inscrita en un triángulo de Reuleaux

Entre todos los cuadriláteros, la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal con ángulos π / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Sus cuatro vértices se encuentran en las tres esquinas y en uno de los puntos medios laterales del triángulo de Reuleaux (arriba a la derecha).

En geometría no euclidiana , un cuadrilátero de Lambert es una cometa recta con tres ángulos rectos.

Caracterizaciones

Ejemplo de cometas convexas y cóncavas. La caja cóncava se llama dardo .

Un cuadrilátero es una cometa si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  • Dos pares disjuntos de lados adyacentes son iguales (por definición).
  • Una diagonal es la bisectriz perpendicular de la otra diagonal. (En el caso cóncavo es la extensión de una de las diagonales).
  • Una diagonal es una línea de simetría (divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes que son imágenes especulares entre sí).
  • Una diagonal divide en dos un par de ángulos opuestos.

Simetría

Las cometas son los cuadriláteros que tienen un eje de simetría a lo largo de una de sus diagonales . Cualquier cuadrilátero que no se cruce automáticamente y que tenga un eje de simetría debe ser una cometa (si el eje de simetría es una diagonal) o un trapezoide isósceles (si el eje de simetría pasa por los puntos medios de dos lados); estos incluyen como casos especiales el rombo y el rectángulo respectivamente, que tienen dos ejes de simetría cada uno, y el cuadrado que es a la vez una cometa y un trapezoide isósceles y tiene cuatro ejes de simetría. Si se permiten cruces, la lista de cuadriláteros con ejes de simetría debe ampliarse para incluir también los antiparalelogramos .

Propiedades básicas

Cada cometa es ortodiagonal , lo que significa que sus dos diagonales forman ángulos rectos entre sí. Además, una de las dos diagonales (el eje de simetría) es la bisectriz perpendicular de la otra, y también es la bisectriz del ángulo de los dos ángulos que encuentra.

Una de las dos diagonales de una cometa convexa la divide en dos triángulos isósceles ; el otro (el eje de simetría) divide la cometa en dos triángulos congruentes . Los dos ángulos interiores de una cometa que están en lados opuestos del eje de simetría son iguales.

Zona

Como es el caso más general, para cualquier orthodiagonal cuadrilátero , el área A de una cometa se puede calcular como la mitad del producto de las longitudes de las diagonales p y q :

Alternativamente, si un y b son las longitudes de dos lados desiguales, y θ es el ángulo entre los lados desiguales, entonces el área es

Círculos tangentes

Cada cometa convexa tiene un círculo inscrito ; es decir, existe un círculo que es tangente a los cuatro lados. Por tanto, toda cometa convexa es un cuadrilátero tangencial . Además, si una cometa convexa no es un rombo, existe otro círculo, fuera de la cometa, tangente a las líneas que pasan por sus cuatro lados; por lo tanto, toda cometa convexa que no sea un rombo es un cuadrilátero ex-tangencial .

Para cada cometa cóncava existen dos círculos tangentes a los cuatro lados (posiblemente extendidos): uno es el interior de la cometa y toca los dos lados opuestos al ángulo cóncavo, mientras que el otro círculo es exterior a la cometa y toca la cometa en el dos aristas incidentes al ángulo cóncavo.

Propiedades duales

Las cometas y los trapezoides isósceles son duales: la figura polar de una cometa es un trapezoide isósceles y viceversa. La dualidad de ángulo lateral de las cometas y los trapezoides isósceles se comparan en la siguiente tabla.

Trapecio isósceles cometa
Dos pares de ángulos adyacentes iguales Dos pares de lados adyacentes iguales
Un par de lados opuestos iguales Un par de ángulos opuestos iguales
Un eje de simetría a través de un par de lados opuestos. Un eje de simetría a través de un par de ángulos opuestos.
Círculo circunscrito Círculo inscrito

Azulejos y poliedros

Todas las cometas forman mosaicos en el plano mediante inversiones repetidas alrededor de los puntos medios de sus bordes, al igual que en general todos los cuadriláteros. Una cometa con ángulos π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 también puede enlosar el plano mediante la reflexión repetida a través de sus bordes; la teselación resultante, el mosaico trihexagonal deltoidal , superpone una teselación del plano por hexágonos regulares y triángulos isósceles.

El icositetraedro deltoideo , el hexecontaedro deltoideo y el trapezoedro son poliedros con facetas congruentes en forma de cometa . Hay un número infinito de mosaicos uniformes del plano hiperbólico por cometas, el más simple de los cuales es el mosaico deltoidal triheptagonal.

Las cometas y los dardos en los que los dos triángulos isósceles que forman la cometa tienen ángulos de vértice de 2π / 5 y 4π / 5 representan uno de los dos conjuntos de mosaicos esenciales en el mosaico de Penrose , un mosaico aperiódico del plano descubierto por el físico matemático Roger Penrose .

La auto-teselación transitiva de la esfera, el plano euclidiano y el plano hiperbólico con cometas ocurre como duales uniformes: CDel nodo f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel nodo f1.pngpara el grupo Coxeter [p, q], con cualquier conjunto de p, q entre 3 e infinito, ya que esta tabla muestra parcialmente hasta q = 6. Cuando p = q, las cometas se convierten en rombos ; cuando p = q = 4, se convierten en cuadrados .

Poliedros y mosaicos deltoidales
Poliedros Euclidiana Azulejos hiperbólicos
Rhombicdodecahedron.jpg
V4.3.4.3
Deltoidalicositetrahedron.jpg
V4.3.4.4
Deltoidalhexecontahedron.jpg
V4.3.4.5
Azulejos Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
V4.3.4.6
Revestimiento deltoidal triheptagonal.svg
V4.3.4.7
H2-8-3-deltoidal.svg
V4.3.4.8
... Tilde triapeirogonal deltoidal.png
V4.3.4.∞
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodo f1.png
Poliedros Euclidiana Azulejos hiperbólicos
Deltoidalicositetrahedron.jpg
V4.4.4.3
Coloración uniforme de baldosas cuadradas 1.png
V4.4.4.4
H2-5-4-deltoidal.svg
V4.4.4.5
H2chess 246d.png
V4.4.4.6
Deltoidal tetraheptagonal til.png
V4.4.4.7
H2chess 248d.png
V4.4.4.8
... H2chess 24id.png
V4.4.4.∞
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel nodo f1.png
Poliedros Azulejos hiperbólicos
Deltoidalhexecontahedron.jpg
V4.3.4.5
H2-5-4-deltoidal.svg
V4.4.4.5
H2-5-4-rhombic.svg
V4.5.4.5
Mosaico deltoidal pentahexagonal.png
V4.6.4.5
V4.7.4.5 V4.8.4.5 ... V4.∞.4.5
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel nodo f1.png
Euclidiana Azulejos hiperbólicos
Azulejos Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
V4.3.4.6
H2chess 246d.png
V4.4.4.6
Mosaico deltoidal pentahexagonal.png
V4.5.4.6
H2chess 266d.png
V4.6.4.6
V4.7.4.6 H2chess 268d.png
V4.8.4.6
... H2chess 26id.png
V4.∞.4.6
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nodo f1.png
Azulejos hiperbólicos
Revestimiento deltoidal triheptagonal.svg
V4.3.4.7
Deltoidal tetraheptagonal til.png
V4.4.4.7
V4.5.4.7 V4.6.4.7 V4.7.4.7 V4.8.4.7 ... V4.∞.4.7
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel nodo f1.png
Azulejos hiperbólicos
H2-8-3-deltoidal.svg
V4.3.4.8
H2chess 248d.png
V4.4.4.8
V4.5.4.8 H2chess 268d.png
V4.6.4.8
V4.7.4.8 H2chess 288d.png
V4.8.4.8
... H2chess 28id.png
V4.∞.4.8
CDel nodo f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png CDel nodo f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel nodo f1.png

Condiciones para cuando un cuadrilátero tangencial es una cometa

Un cuadrilátero tangencial es una cometa si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  • El área es la mitad del producto de las diagonales .
  • Las diagonales son perpendiculares . (Por lo tanto, las cometas son exactamente los cuadriláteros que son tanto tangenciales como ortodiagonales ).
  • Los dos segmentos de línea que conectan puntos opuestos de tangencia tienen la misma longitud.
  • Un par de longitudes de tangentes opuestas tienen la misma longitud.
  • Los bimedianos tienen la misma longitud.
  • Los productos de lados opuestos son iguales.
  • El centro del incírculo se encuentra en una línea de simetría que también es diagonal.

Si las diagonales de un cuadrilátero tangencial ABCD se intersecan en P , y las incircunciones de los triángulos ABP , BCP , CDP , DAP tienen radios r 1 , r 2 , r 3 y r 4 respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y solo si

Si los círculos de los mismos cuatro triángulos opuestos al vértice P tienen radios R 1 , R 2 , R 3 y R 4 respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y solo si

Referencias

enlaces externos