Poliedro de Schönhardt - Schönhardt polyhedron
En geometría , el poliedro Schönhardt es el más simple no convexo poliedro que no puede ser triangulada en tetraedros sin añadir nuevos vértices. Lleva el nombre del matemático alemán Erich Schönhardt , quien lo describió en 1928. Los mismos poliedros también se han estudiado en relación con el teorema de rigidez de Cauchy como un ejemplo en el que poliedros con dos formas diferentes tienen caras de las mismas formas.
Construcción
El poliedro de Schönhardt puede estar formado por dos triángulos equiláteros congruentes en dos planos paralelos, de modo que la línea que pasa por los centros de los triángulos sea perpendicular a los planos. Los dos triángulos deben retorcerse entre sí, de modo que no se traduzcan entre sí ni reflejen 180 grados entre sí.
El casco convexo de estos dos triángulos forma un poliedro convexo que es combinatoriamente equivalente a un octaedro regular ; junto con las aristas de los triángulos, tiene seis aristas que conectan los dos triángulos entre sí, con dos longitudes diferentes y tres diagonales interiores . El poliedro de Schönhardt se forma quitando los tres bordes de conexión más largos y reemplazándolos por las tres diagonales del casco convexo. Un procedimiento equivalente es comenzar con un octaedro regular y girar una cara dentro de su plano, sin romper ningún borde. Con un giro de 60 ° se forma un prisma triangular; con un giro de 120 ° hay dos tetraedros que comparten el vértice central; cualquier cantidad de giro entre estos dos casos da un poliedro de Schönhardt.
Alternativamente, el poliedro de Schönhardt se puede formar eliminando tres tetraedros disjuntos de este casco convexo: cada uno de los tetraedros eliminados es el casco convexo de cuatro vértices de los dos triángulos, dos de cada triángulo. Esta eliminación hace que el más largo de los tres bordes de conexión sea reemplazado por tres nuevos bordes con ángulos diedros cóncavos , formando un poliedro no convexo.
Propiedades
El poliedro de Schönhardt es combinatoriamente equivalente al octaedro regular : sus vértices, aristas y caras se pueden colocar en correspondencia uno a uno con las características de un octaedro regular. Sin embargo, a diferencia del octaedro regular, tres de sus bordes tienen ángulos diedros cóncavos , y estos tres bordes forman una combinación perfecta de la gráfica del octaedro; este hecho es suficiente para demostrar que no se puede triangular.
Los seis vértices del poliedro de Schönhardt se pueden utilizar para formar quince pares de vértices desordenados. Doce de estos quince pares forman aristas del poliedro: hay seis aristas en las dos caras del triángulo equilátero y seis aristas que conectan los dos triángulos. Los tres bordes restantes forman diagonales del poliedro, pero se encuentran completamente fuera del poliedro.
Imposibilidad de triangulación
Es imposible dividir el poliedro de Schönhardt en tetraedros cuyos vértices son vértices del poliedro. Más fuertemente, no hay ningún tetraedro que se encuentre completamente dentro del poliedro de Schönhardt y tenga vértices del poliedro como sus cuatro vértices. Porque, entre cualesquiera cuatro vértices del poliedro de Schönhardt, al menos un par de vértices de estos cuatro vértices debe ser una diagonal del poliedro, que se encuentra completamente fuera del poliedro.
Saltar poliedro
En relación con la teoría de los poliedros flexibles , las instancias del poliedro de Schönhardt forman un "poliedro saltarín": un poliedro que tiene dos estados rígidos diferentes, ambos con las mismas formas de cara y la misma orientación (convexa o cóncava) de cada borde. Un modelo cuya superficie está hecha de un material rígido pero algo deformable, como cartulina, puede "saltar" entre las dos formas, aunque un modelo sólido o un modelo hecho de un material más rígido como el vidrio no podría cambiar de forma en de esta manera. Esto contrasta con el teorema de rigidez de Cauchy , según el cual, para cada poliedro convexo , no hay otro poliedro que tenga las mismas formas de caras y orientaciones de bordes ( Grünbaum 1975 ).
Construcciones relacionadas
Se demostró por Rambau (2005) que el poliedro Schönhardt se puede generalizar a otros poliedros, combinatoria equivalente a antiprismas , que no puede ser triangulada. Estos poliedros se forman conectando k -gones regulares en dos planos paralelos, retorcidos entre sí, de tal manera que k de los 2 k bordes que conectan los dos k -gones tienen diedros cóncavos. Otro poliedro que no se puede triangular es el icosaedro de Jessen , equivalente combinatoriamente a un icosaedro regular .
En otra dirección, Bagemihl (1948) construyó un poliedro que comparte con el poliedro de Schönhardt la propiedad de que no tiene diagonales internas . El tetraedro y el poliedro de Császár no tienen diagonales en absoluto: cada par de vértices en estos poliedros forma una arista. Sigue siendo una pregunta abierta si hay otros poliedros (con límite múltiple ) sin diagonales ( Ziegler 2008 ), aunque existen superficies no múltiples sin diagonales y cualquier número de vértices superior a cinco (Szabó 1984 , 2009 ).
Aplicaciones
Ruppert y Seidel (1992) utilizaron el poliedro de Schönhardt como base para una prueba de que es NP-completo para determinar si un poliedro no convexo se puede triangular.
Referencias
- Bagemihl, F. (1948), "On indecomposable polyhedra", American Mathematical Monthly , 55 (7): 411–413, doi : 10.2307 / 2306130 , JSTOR 2306130
- Grünbaum, Branko (1975), Conferencias sobre matemáticas perdidas (PDF) , págs. 41–42.
- Rambau, J. (2005), "Sobre una generalización del poliedro de Schönhardt" (PDF) , en Goodman, Jacob E .; Pach, János ; Welzl, Emo (eds.), Geometría combinatoria y computacional , Publicaciones MSRI, 52 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 501–516
- Ruppert, J .; Seidel, R. (1992), "Sobre la dificultad de triangular poliedros no convexos tridimensionales", Geometría discreta y computacional , 7 : 227–253, doi : 10.1007 / BF02187840
- Schönhardt, E. (1928), "Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder" , Mathematische Annalen , 98 : 309–312, doi : 10.1007 / BF01451597
- Szabó, Sándor (1984), "Poliedros sin diagonales", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi : 10.1007 / BF02109370
- Szabó, Sándor (2009), "Poliedros sin diagonales II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi : 10.1007 / s10998-009-10181-x
- Ziegler, Günter M. (2008), "Superficies poliédricas de alto género", en Bobenko, AI; Schröder, P .; Sullivan, JM ; et al. (eds.), Geometría diferencial discreta , Seminarios de Oberwolfach, 38 , Springer-Verlag, págs. 191–213, arXiv : math / 0412093 , doi : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7, matemáticas.MG/0412093
enlaces externos
- Tres objetos intraédricos , D. Eppstein . Incluye un modelo 3d giratorio del poliedro de Schönhardt.